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思维导图·发展创新意识
有理数的运算
基本运算
有理数的
加、减法
加法法则：
1. 两数相加，和取 的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的
2. 绝对值不相等的 两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的 . 互为相反数的两个数相加得
3. 一个数与0相加，仍得这个数
减法法则：减去一个数，等于加这个数的
有理数的
乘、除法
乘法法则：两数相乘，同号得 ，异号得 ，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积. 任何数与0相乘，
除法法则：两数相除，同号得 ，异号得 ，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商，0除以任何一个 的数，都得0
有理数的
乘方
有理数的乘方法则：负数的奇次幂是 ，负数的偶次幂是 . 正数的任何正整数次幂都是 ，0的任何正整数次幂都是0
有理数的
混合运算
混合运算法则：
1. 先 ，再 ，最后
2. 同级运算， 进行
3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行
有理数的
运算律
加法运算律
加法交换律：
加法结合律：
乘法运算律
乘法交换律：
乘法结合律：
分配律：
有理数的运算
基本运算
有理数的
加、减法
加法法则：
1. 两数相加，和取 的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的
2. 绝对值不相等的 两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的 . 互为相反数的两个数相加得
3. 一个数与0相加，仍得这个数
减法法则：减去一个数，等于加这个数的
有理数的
乘、除法
乘法法则：两数相乘，同号得 ，异号得 ，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积. 任何数与0相乘，
除法法则：两数相除，同号得 ，异号得 ，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商，0除以任何一个 的数，都得0
有理数的
乘方
有理数的乘方法则：负数的奇次幂是 ，负数的偶次幂是 . 正数的任何正整数次幂都是 ，0的任何正整数次幂都是0
有理数的
混合运算
混合运算法则：
1. 先 ，再 ，最后
2. 同级运算， 进行
3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行
有理数的
运算律
加法运算律
加法交换律：
加法结合律：
乘法运算律
乘法交换律：
乘法结合律：
分配律：
答案
解：
有理数加法法则：
1. 同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和
2. 绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差。互为相反数的两个数相加得0
减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数
有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积。任何数与0相乘，都得0
有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商，0除以任何一个不等于0的数，都得0
有理数乘方法则：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何正整数次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0
有理数混合运算法则：
1. 先乘方，再乘除，最后加减
2. 同级运算，从左到右进行
加法运算律：
加法交换律：$a+b=b+a$
加法结合律：$(a+b)+c=a+(b+c)$
乘法运算律：
乘法交换律：$ab=ba$
乘法结合律：$(ab)c=a(bc)$
分配律：$a(b+c)=ab+ac$
有理数加法法则：
1. 同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和
2. 绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差。互为相反数的两个数相加得0
减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数
有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积。任何数与0相乘，都得0
有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商，0除以任何一个不等于0的数，都得0
有理数乘方法则：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何正整数次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0
有理数混合运算法则：
1. 先乘方，再乘除，最后加减
2. 同级运算，从左到右进行
加法运算律：
加法交换律：$a+b=b+a$
加法结合律：$(a+b)+c=a+(b+c)$
乘法运算律：
乘法交换律：$ab=ba$
乘法结合律：$(ab)c=a(bc)$
分配律：$a(b+c)=ab+ac$
解析
【分析】
本题考查有理数运算相关的基础概念与法则，属于记忆类基础题。解题时只需对应回忆教材中有理数加法、减法、乘法、除法、乘方的运算法则，有理数混合运算的顺序，以及加法、乘法的运算律，逐一匹配填空即可，所有内容均为教材原文表述，熟练掌握基础概念即可完成作答。
【解析】
我们对应相关法则逐一填空：
1. 有理数加法法则：
（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；
（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差，互为相反数的两个数相加得0；
2. 减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数；
3. 乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积，任何数与0相乘，都得0；
4. 除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商，0除以任何一个不等于0的数，都得0；
5. 乘方法则：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，正数的任何正整数次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0；
6. 混合运算法则：
（1）先乘方，再乘除，最后加减；
（2）同级运算，从左到右进行；
7. 运算律：
加法交换律：$a+b=b+a$；
加法结合律：$(a+b)+c=a+(b+c)$；
乘法交换律：$ab=ba$；
乘法结合律：$(ab)c=a(bc)$；
分配律：$a(b+c)=ab+ac$。
【答案】
加法法则：1. 同号；相同；和 2. 异号；差；0
减法法则：相反数
乘法法则：正；负；都得0
除法法则：正；负；不等于0
乘方法则：负数；正数；正数
混合运算法则：1. 乘方；乘除；加减 2. 从左到右
加法交换律：$a+b=b+a$
加法结合律：$(a+b)+c=a+(b+c)$
乘法交换律：$ab=ba$
乘法结合律：$(ab)c=a(bc)$
分配律：$a(b+c)=ab+ac$
【知识点】
有理数运算法则；有理数运算律；有理数混合运算顺序
【点评】
本题集中考察有理数运算相关的核心基础概念，这些法则和运算律是所有有理数运算的依据，熟练掌握相关内容是正确、高效进行有理数运算的前提，需要牢固记忆。
【难度系数】
0.9
本题考查有理数运算相关的基础概念与法则，属于记忆类基础题。解题时只需对应回忆教材中有理数加法、减法、乘法、除法、乘方的运算法则，有理数混合运算的顺序，以及加法、乘法的运算律，逐一匹配填空即可，所有内容均为教材原文表述，熟练掌握基础概念即可完成作答。
【解析】
我们对应相关法则逐一填空：
1. 有理数加法法则：
（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；
（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差，互为相反数的两个数相加得0；
2. 减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数；
3. 乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积，任何数与0相乘，都得0；
4. 除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商，0除以任何一个不等于0的数，都得0；
5. 乘方法则：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，正数的任何正整数次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0；
6. 混合运算法则：
（1）先乘方，再乘除，最后加减；
（2）同级运算，从左到右进行；
7. 运算律：
加法交换律：$a+b=b+a$；
加法结合律：$(a+b)+c=a+(b+c)$；
乘法交换律：$ab=ba$；
乘法结合律：$(ab)c=a(bc)$；
分配律：$a(b+c)=ab+ac$。
【答案】
加法法则：1. 同号；相同；和 2. 异号；差；0
减法法则：相反数
乘法法则：正；负；都得0
除法法则：正；负；不等于0
乘方法则：负数；正数；正数
混合运算法则：1. 乘方；乘除；加减 2. 从左到右
加法交换律：$a+b=b+a$
加法结合律：$(a+b)+c=a+(b+c)$
乘法交换律：$ab=ba$
乘法结合律：$(ab)c=a(bc)$
分配律：$a(b+c)=ab+ac$
【知识点】
有理数运算法则；有理数运算律；有理数混合运算顺序
【点评】
本题集中考察有理数运算相关的核心基础概念，这些法则和运算律是所有有理数运算的依据，熟练掌握相关内容是正确、高效进行有理数运算的前提，需要牢固记忆。
【难度系数】
0.9
一、选择题
1. 比-2小2的数是().
A.-4
B.-3
C.-1
D.0
1. 比-2小2的数是().
A.-4
B.-3
C.-1
D.0
答案
A
解析
【分析】首先理解题意，“比一个数小几”就是用这个数减去几，所以求比-2小2的数，只需用-2减去2列出算式，再根据有理数减法的计算法则算出结果，对照选项就能选出正确答案。
【解析】解：根据题意，求比-2小2的数可列算式：
$-2 - 2$
计算时，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，可得：
$-2 - 2 = -(2+2) = -4$
因此答案选A。
【答案】A
【知识点】有理数减法；正负数运算
【点评】本题是基础运算类题目，核心考查有理数减法的实际应用，解题关键是正确理解“比某数小几”的含义并准确列出算式，掌握有理数加减运算规则即可轻松解答。
【难度系数】0.9
【解析】解：根据题意，求比-2小2的数可列算式：
$-2 - 2$
计算时，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，可得：
$-2 - 2 = -(2+2) = -4$
因此答案选A。
【答案】A
【知识点】有理数减法；正负数运算
【点评】本题是基础运算类题目，核心考查有理数减法的实际应用，解题关键是正确理解“比某数小几”的含义并准确列出算式，掌握有理数加减运算规则即可轻松解答。
【难度系数】0.9
2.(2025云南)地球绕太阳公转的速度约是110 000 km/h. 110 000用科学记数法可以表示为().
A.$1.1×10^2$
B.$11×10^3$
C.$1.1×10^5$
D.$11×10^7$
A.$1.1×10^2$
B.$11×10^3$
C.$1.1×10^5$
D.$11×10^7$
答案
C
解析
【分析】
解题时先回忆科学记数法的定义：科学记数法是把一个大于10的数表示为$a×10^n$的形式，其中要求$1≤ a＜10$，$n$为正整数。我们可以分两步判断：第一步先看$a$的取值是否符合要求，排除不符合的选项；第二步再计算$n$的值，$n$等于原数的整数位数减1，最终确定正确结果。
【解析】
科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中$1≤ \vert a\vert ＜10$，$n$为整数。
1. 确定$a$的值：将110000的小数点向左移动，直到得到的数满足$1≤ a＜10$，可得$a=1.1$，据此可排除$a=11$的选项B、D。
2. 确定$n$的值：110000是6位整数，根据规则$n=\mathrm{原数的整数位数}-1$，因此$n=6-1=5$，据此排除$n=2$的选项A。
因此$110000=1.1×10^5$。
【答案】
C
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题考查科学记数法表示较大数的方法，解题核心是准确掌握$a$的取值范围和$n$的计算规则，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆科学记数法的定义：科学记数法是把一个大于10的数表示为$a×10^n$的形式，其中要求$1≤ a＜10$，$n$为正整数。我们可以分两步判断：第一步先看$a$的取值是否符合要求，排除不符合的选项；第二步再计算$n$的值，$n$等于原数的整数位数减1，最终确定正确结果。
【解析】
科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中$1≤ \vert a\vert ＜10$，$n$为整数。
1. 确定$a$的值：将110000的小数点向左移动，直到得到的数满足$1≤ a＜10$，可得$a=1.1$，据此可排除$a=11$的选项B、D。
2. 确定$n$的值：110000是6位整数，根据规则$n=\mathrm{原数的整数位数}-1$，因此$n=6-1=5$，据此排除$n=2$的选项A。
因此$110000=1.1×10^5$。
【答案】
C
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题考查科学记数法表示较大数的方法，解题核心是准确掌握$a$的取值范围和$n$的计算规则，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.9
3.(2026昆明五华区期中)我国古代用算筹(小棍形状的记数工具)来记数和计算.若算筹竖放表示正数,斜放表示负数.由图(1)(见下页)可列出算式(+2)+(-1)=1,由此可推断,由图(2)列出的算式为().
A.(+3)+(+4)=7
B.(+3)-(-4)=7
C.(-3)+(+4)=1
D.(+3)+(-4)=-1
A.(+3)+(+4)=7
B.(+3)-(-4)=7
C.(-3)+(+4)=1
D.(+3)+(-4)=-1
答案
D
解析
【分析】
首先明确题目给出的算筹记数规则：每根竖放的算筹表示+1，每根斜放的算筹表示-1，两类算筹代表的数相加就是总结果。解题时先数出图2中竖放、斜放算筹的数量，分别写出对应的正负数，再列出加法算式计算结果，最后匹配选项即可。
【解析】
根据题意可知：每根竖放算筹表示+1，每根斜放算筹表示-1。
观察图(2)：竖放算筹共3根，表示的数为+3；斜放算筹共4根，表示的数为-4。
因此可列出算式：$(+3)+(-4)=-1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
正负数的实际意义，有理数加法运算
【点评】
本题结合传统算筹记数的背景，考查正负数的应用和有理数加法计算，解题核心是准确理解题干给定的记数规则，再结合基础运算即可得出答案。
【难度系数】
0.8
首先明确题目给出的算筹记数规则：每根竖放的算筹表示+1，每根斜放的算筹表示-1，两类算筹代表的数相加就是总结果。解题时先数出图2中竖放、斜放算筹的数量，分别写出对应的正负数，再列出加法算式计算结果，最后匹配选项即可。
【解析】
根据题意可知：每根竖放算筹表示+1，每根斜放算筹表示-1。
观察图(2)：竖放算筹共3根，表示的数为+3；斜放算筹共4根，表示的数为-4。
因此可列出算式：$(+3)+(-4)=-1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
正负数的实际意义，有理数加法运算
【点评】
本题结合传统算筹记数的背景，考查正负数的应用和有理数加法计算，解题核心是准确理解题干给定的记数规则，再结合基础运算即可得出答案。
【难度系数】
0.8
