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已知$x^2=4$，根据平方根的意义有$x=\pm2$。
对照上面解方程的过程，你认为应怎样解方程$(x-1)^2=5$？
对照上面解方程的过程，你认为应怎样解方程$(x-1)^2=5$？
答案
将$x-1$看成整体，方程两边直接开平方，得$x-1=\pm\sqrt{5}$，解得$x_1=1+\sqrt{5}$，$x_2=1-\sqrt{5}$
解析
【分析】
题干给出的示例是对形如$a^2=b$（$b≥0$）的方程，可根据平方根的意义直接开平方求解。本题中方程左边是含未知数的完全平方式$(x-1)^2$，右边是正数5，符合直接开平方法的适用条件，因此我们可以把$x-1$看作一个整体，类比示例的方法先开平方，将一元二次方程降次转化为两个一元一次方程，再分别求解即可得到原方程的根。
【解析】
解：将$x-1$看成整体，方程两边直接开平方，得：
$x-1=\pm\sqrt{5}$
分别求解两个一元一次方程：
当$x-1=\sqrt{5}$时，解得$x=1+\sqrt{5}$；
当$x-1=-\sqrt{5}$时，解得$x=1-\sqrt{5}$。
【答案】
$x_1=1+\sqrt{5}$，$x_2=1-\sqrt{5}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；整体代换思想
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，通过类比引导的方式考察学生对直接开平方法的掌握和整体思想的运用，帮助学生理解解一元二次方程的核心是“降次”，为后续学习其他解法奠定基础。
【难度系数】
0.8
题干给出的示例是对形如$a^2=b$（$b≥0$）的方程，可根据平方根的意义直接开平方求解。本题中方程左边是含未知数的完全平方式$(x-1)^2$，右边是正数5，符合直接开平方法的适用条件，因此我们可以把$x-1$看作一个整体，类比示例的方法先开平方，将一元二次方程降次转化为两个一元一次方程，再分别求解即可得到原方程的根。
【解析】
解：将$x-1$看成整体，方程两边直接开平方，得：
$x-1=\pm\sqrt{5}$
分别求解两个一元一次方程：
当$x-1=\sqrt{5}$时，解得$x=1+\sqrt{5}$；
当$x-1=-\sqrt{5}$时，解得$x=1-\sqrt{5}$。
【答案】
$x_1=1+\sqrt{5}$，$x_2=1-\sqrt{5}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；整体代换思想
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，通过类比引导的方式考察学生对直接开平方法的掌握和整体思想的运用，帮助学生理解解一元二次方程的核心是“降次”，为后续学习其他解法奠定基础。
【难度系数】
0.8
例 解下列方程：
(1) $x^2 -16=0$；
(2) $9(x+1)^2 -4=0$。
(1) $x^2 -16=0$；
(2) $9(x+1)^2 -4=0$。
答案
（1）移项，得$x^2=16$，所以原方程的两个实数根为$x_1=4,x_2=-4$
（2）移项，得$9(x+1)^2=4$，开平方，得$3(x+1)=\pm2$，即$x_1=-\frac{1}{3},x_2=-\frac{5}{3}$
（2）移项，得$9(x+1)^2=4$，开平方，得$3(x+1)=\pm2$，即$x_1=-\frac{1}{3},x_2=-\frac{5}{3}$
解析
【分析】
这两道一元二次方程均无一次项，适合用直接开平方法求解。解题时先将常数项移到方程右侧，把左侧整理为完全平方的形式，再根据平方根的定义开平方，转化为两个一元一次方程求解即可。第(2)题需要把$(x+1)$看作一个整体处理，可降低解题难度。
【解析】
(1) 对原方程移项，得：$x^2 = 16$
根据平方根的定义开平方，得$x = \pm 4$
因此原方程的两个实数根为$x_1 = 4$，$x_2 = -4$。
(2) 对原方程移项，得：$9(x+1)^2 = 4$
将$(x+1)$看作整体，两边开平方得：$3(x+1) = \pm 2$
分两种情况计算：
当$3(x+1) = 2$时，解得$x = -\frac{1}{3}$；
当$3(x+1) = -2$时，解得$x = -\frac{5}{3}$。
因此原方程的两个实数根为$x_1 = -\frac{1}{3}$，$x_2 = -\frac{5}{3}$。
【答案】
（1）移项，得$x^2=16$，所以原方程的两个实数根为$x_1=4,x_2=-4$
（2）移项，得$9(x+1)^2=4$，开平方，得$3(x+1)=\pm2$，即$x_1=-\frac{1}{3},x_2=-\frac{5}{3}$
【知识点】
直接开平方法，平方根性质，整体代换思想
【点评】
这两道题是一元二次方程求解的基础题型，核心是掌握直接开平方法的适用条件，开平方时注意不要遗漏负根，第二题运用整体思想可以简化运算，熟练掌握后能快速求解同类方程。
【难度系数】
0.85
这两道一元二次方程均无一次项，适合用直接开平方法求解。解题时先将常数项移到方程右侧，把左侧整理为完全平方的形式，再根据平方根的定义开平方，转化为两个一元一次方程求解即可。第(2)题需要把$(x+1)$看作一个整体处理，可降低解题难度。
【解析】
(1) 对原方程移项，得：$x^2 = 16$
根据平方根的定义开平方，得$x = \pm 4$
因此原方程的两个实数根为$x_1 = 4$，$x_2 = -4$。
(2) 对原方程移项，得：$9(x+1)^2 = 4$
将$(x+1)$看作整体，两边开平方得：$3(x+1) = \pm 2$
分两种情况计算：
当$3(x+1) = 2$时，解得$x = -\frac{1}{3}$；
当$3(x+1) = -2$时，解得$x = -\frac{5}{3}$。
因此原方程的两个实数根为$x_1 = -\frac{1}{3}$，$x_2 = -\frac{5}{3}$。
【答案】
（1）移项，得$x^2=16$，所以原方程的两个实数根为$x_1=4,x_2=-4$
（2）移项，得$9(x+1)^2=4$，开平方，得$3(x+1)=\pm2$，即$x_1=-\frac{1}{3},x_2=-\frac{5}{3}$
【知识点】
直接开平方法，平方根性质，整体代换思想
【点评】
这两道题是一元二次方程求解的基础题型，核心是掌握直接开平方法的适用条件，开平方时注意不要遗漏负根，第二题运用整体思想可以简化运算，熟练掌握后能快速求解同类方程。
【难度系数】
0.85
1. 直接写出下列方程的解：
(1) $x^2=1$
(2) $x^2+1=0$
(3) $(x+1)^2=0$
(1) $x^2=1$
$x_1=-1,x_2=1$
；(2) $x^2+1=0$
方程没有实数根
；(3) $(x+1)^2=0$
$x_1=x_2=-1$
.答案
1. (1) $x_1=-1,x_2=1$ (2) 方程没有实数根 (3) $x_1=x_2=-1$
解析
【分析】
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题核心是利用平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有实数平方根。解题时先把方程整理为左边是含未知数的完全平方式、右边是常数的形式，再根据平方根的性质判断根的情况、求出根即可。
【解析】
(1) 对$x^2=1$直接开平方，得$x=\pm\sqrt{1}=\pm1$，因此方程的解为$x_1=1$，$x_2=-1$；
(2) 对$x^2+1=0$移项得$x^2=-1$，由于任意实数的平方都是非负数，不存在实数$x$满足$x^2=-1$，因此该方程没有实数根；
(3) 对$(x+1)^2=0$直接开平方，得$x+1=0$，解得$x=-1$，因此方程有两个相等的实数根，即$x_1=x_2=-1$。
【答案】
(1) $x_1=-1,x_2=1$ (2) 方程没有实数根 (3) $x_1=x_2=-1$
【知识点】
直接开平方法、平方根的性质、一元二次方程的解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，侧重考查对平方根性质和直接开平方法的掌握，难度较低，熟练掌握相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题核心是利用平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有实数平方根。解题时先把方程整理为左边是含未知数的完全平方式、右边是常数的形式，再根据平方根的性质判断根的情况、求出根即可。
【解析】
(1) 对$x^2=1$直接开平方，得$x=\pm\sqrt{1}=\pm1$，因此方程的解为$x_1=1$，$x_2=-1$；
(2) 对$x^2+1=0$移项得$x^2=-1$，由于任意实数的平方都是非负数，不存在实数$x$满足$x^2=-1$，因此该方程没有实数根；
(3) 对$(x+1)^2=0$直接开平方，得$x+1=0$，解得$x=-1$，因此方程有两个相等的实数根，即$x_1=x_2=-1$。
【答案】
(1) $x_1=-1,x_2=1$ (2) 方程没有实数根 (3) $x_1=x_2=-1$
【知识点】
直接开平方法、平方根的性质、一元二次方程的解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，侧重考查对平方根性质和直接开平方法的掌握，难度较低，熟练掌握相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 解下列方程：
(1) $2x^2 - 8 = 0$；
(2) $-7x^2 + 21 = 0$；
(3) $(x + 6)^2 - 9 = 0$；
(4) $3(x - 1)^2 - 6 = 0$。
(1) $2x^2 - 8 = 0$；
(2) $-7x^2 + 21 = 0$；
(3) $(x + 6)^2 - 9 = 0$；
(4) $3(x - 1)^2 - 6 = 0$。
答案
2. (1) $x_1=2,x_2=-2$ (2) $x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$ (3) $x_1=-9,x_2=-3$ (4) $x_1=1+\sqrt{2},x_2=1-\sqrt{2}$
解析
【分析】
这四道一元二次方程均符合可直接开平方的结构特征，解题思路为：先通过移项将含未知数的项留在等号左边，常数项移到等号右边；再将含未知数项的系数化为1，转化为$x^2=p$或$(x+m)^2=p$（$p≥0$）的形式；最后根据平方根的性质开平方，得到两个一元一次方程，求解即可得到原方程的根，注意开平方时不要遗漏负根。
【解析】
(1) 解方程$2x^2 - 8 = 0$：
移项，得$2x^2 = 8$，
两边同时除以2，得$x^2 = 4$，
开平方，得$x = \pm 2$。
(2) 解方程$-7x^2 + 21 = 0$：
移项，得$-7x^2 = -21$，
两边同时除以$-7$，得$x^2 = 3$，
开平方，得$x = \pm\sqrt{3}$。
(3) 解方程$(x + 6)^2 - 9 = 0$：
移项，得$(x + 6)^2 = 9$，
开平方，得$x + 6 = \pm 3$，
当$x+6=3$时，$x=-3$；当$x+6=-3$时，$x=-9$。
(4) 解方程$3(x - 1)^2 - 6 = 0$：
移项，得$3(x - 1)^2 = 6$，
两边同时除以3，得$(x - 1)^2 = 2$，
开平方，得$x - 1 = \pm\sqrt{2}$，
整理得$x = 1\pm\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $x_1=2,x_2=-2$；(2) $x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$；(3) $x_1=-9,x_2=-3$；(4) $x_1=1+\sqrt{2},x_2=1-\sqrt{2}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；移项法则；平方根的性质
【点评】
本题是用直接开平方法求解一元二次方程的基础训练题，解题步骤清晰固定，掌握“移项→系数化1→开平方→求解”的流程即可得分，需要注意开平方时要同时考虑正负两个平方根，避免漏解。
【难度系数】
0.85
这四道一元二次方程均符合可直接开平方的结构特征，解题思路为：先通过移项将含未知数的项留在等号左边，常数项移到等号右边；再将含未知数项的系数化为1，转化为$x^2=p$或$(x+m)^2=p$（$p≥0$）的形式；最后根据平方根的性质开平方，得到两个一元一次方程，求解即可得到原方程的根，注意开平方时不要遗漏负根。
【解析】
(1) 解方程$2x^2 - 8 = 0$：
移项，得$2x^2 = 8$，
两边同时除以2，得$x^2 = 4$，
开平方，得$x = \pm 2$。
(2) 解方程$-7x^2 + 21 = 0$：
移项，得$-7x^2 = -21$，
两边同时除以$-7$，得$x^2 = 3$，
开平方，得$x = \pm\sqrt{3}$。
(3) 解方程$(x + 6)^2 - 9 = 0$：
移项，得$(x + 6)^2 = 9$，
开平方，得$x + 6 = \pm 3$，
当$x+6=3$时，$x=-3$；当$x+6=-3$时，$x=-9$。
(4) 解方程$3(x - 1)^2 - 6 = 0$：
移项，得$3(x - 1)^2 = 6$，
两边同时除以3，得$(x - 1)^2 = 2$，
开平方，得$x - 1 = \pm\sqrt{2}$，
整理得$x = 1\pm\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $x_1=2,x_2=-2$；(2) $x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$；(3) $x_1=-9,x_2=-3$；(4) $x_1=1+\sqrt{2},x_2=1-\sqrt{2}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；移项法则；平方根的性质
【点评】
本题是用直接开平方法求解一元二次方程的基础训练题，解题步骤清晰固定，掌握“移项→系数化1→开平方→求解”的流程即可得分，需要注意开平方时要同时考虑正负两个平方根，避免漏解。
【难度系数】
0.85
3. 解下列方程：
(1) $x^2 -4x +4=5$；
(2) $9x^2 +6x +1=4$；
(3) $(x-3)^2=4(2x+1)^2$；
(4) $(x+1)^2 -4(x+1)+4=5$。
(1) $x^2 -4x +4=5$；
(2) $9x^2 +6x +1=4$；
(3) $(x-3)^2=4(2x+1)^2$；
(4) $(x+1)^2 -4(x+1)+4=5$。
答案
3. (1) $x_1=2+\sqrt{5},x_2=2-\sqrt{5}$ (2) $x_1=\frac{1}{3},x_2=-1$ (3) $x_1=-\frac{5}{3},x_2=\frac{1}{5}$ (4) $x_1=1+\sqrt{5},x_2=1-\sqrt{5}$
解析
【分析】
这四道一元二次方程均可通过对式子变形构造完全平方式，利用直接开平方法降次求解。解题时先观察式子结构：若左边是完全平方式、右边为常数，直接开平方转化为两个一元一次方程求解；若方程两边都是平方的形式，利用“若$a^2=b^2$，则$a=\pm b$”转化为一次方程求解，第(4)题可将$(x+1)$看作整体简化运算。
【解析】
(1) 原方程左边利用完全平方公式因式分解得：$(x-2)^2=5$
开平方得：$x-2=\pm\sqrt{5}$
解得：$x_1=2+\sqrt{5}$，$x_2=2-\sqrt{5}$
(2) 原方程左边利用完全平方公式因式分解得：$(3x+1)^2=4$
开平方得：$3x+1=\pm2$
当$3x+1=2$时，$3x=1$，解得$x=\frac{1}{3}$
当$3x+1=-2$时，$3x=-3$，解得$x=-1$
即$x_1=\frac{1}{3}$，$x_2=-1$
(3) 开平方得：$x-3=\pm2(2x+1)$
当$x-3=2(2x+1)$时，$x-3=4x+2$，移项合并同类项得$-3x=5$，解得$x=-\frac{5}{3}$
当$x-3=-2(2x+1)$时，$x-3=-4x-2$，移项合并同类项得$5x=1$，解得$x=\frac{1}{5}$
即$x_1=-\frac{5}{3}$，$x_2=\frac{1}{5}$
(4) 将$(x+1)$看作整体，左边利用完全平方公式因式分解得：$[(x+1)-2]^2=5$，即$(x-1)^2=5$
开平方得：$x-1=\pm\sqrt{5}$
解得：$x_1=1+\sqrt{5}$，$x_2=1-\sqrt{5}$
【答案】
(1) $x_1=2+\sqrt{5},x_2=2-\sqrt{5}$ (2) $x_1=\frac{1}{3},x_2=-1$ (3) $x_1=-\frac{5}{3},x_2=\frac{1}{5}$ (4) $x_1=1+\sqrt{5},x_2=1-\sqrt{5}$
【知识点】
直接开平方法，完全平方公式，整体代换思想
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础训练题，核心是通过识别或构造完全平方式，将二次方程降次为一次方程求解，熟练掌握完全平方公式和直接开平方的运算规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
这四道一元二次方程均可通过对式子变形构造完全平方式，利用直接开平方法降次求解。解题时先观察式子结构：若左边是完全平方式、右边为常数，直接开平方转化为两个一元一次方程求解；若方程两边都是平方的形式，利用“若$a^2=b^2$，则$a=\pm b$”转化为一次方程求解，第(4)题可将$(x+1)$看作整体简化运算。
【解析】
(1) 原方程左边利用完全平方公式因式分解得：$(x-2)^2=5$
开平方得：$x-2=\pm\sqrt{5}$
解得：$x_1=2+\sqrt{5}$，$x_2=2-\sqrt{5}$
(2) 原方程左边利用完全平方公式因式分解得：$(3x+1)^2=4$
开平方得：$3x+1=\pm2$
当$3x+1=2$时，$3x=1$，解得$x=\frac{1}{3}$
当$3x+1=-2$时，$3x=-3$，解得$x=-1$
即$x_1=\frac{1}{3}$，$x_2=-1$
(3) 开平方得：$x-3=\pm2(2x+1)$
当$x-3=2(2x+1)$时，$x-3=4x+2$，移项合并同类项得$-3x=5$，解得$x=-\frac{5}{3}$
当$x-3=-2(2x+1)$时，$x-3=-4x-2$，移项合并同类项得$5x=1$，解得$x=\frac{1}{5}$
即$x_1=-\frac{5}{3}$，$x_2=\frac{1}{5}$
(4) 将$(x+1)$看作整体，左边利用完全平方公式因式分解得：$[(x+1)-2]^2=5$，即$(x-1)^2=5$
开平方得：$x-1=\pm\sqrt{5}$
解得：$x_1=1+\sqrt{5}$，$x_2=1-\sqrt{5}$
【答案】
(1) $x_1=2+\sqrt{5},x_2=2-\sqrt{5}$ (2) $x_1=\frac{1}{3},x_2=-1$ (3) $x_1=-\frac{5}{3},x_2=\frac{1}{5}$ (4) $x_1=1+\sqrt{5},x_2=1-\sqrt{5}$
【知识点】
直接开平方法，完全平方公式，整体代换思想
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础训练题，核心是通过识别或构造完全平方式，将二次方程降次为一次方程求解，熟练掌握完全平方公式和直接开平方的运算规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
