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2. 将下列方程化成一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项:
(1) $x^2=121$;
(2) $(x+1)^2 -12=0$;
(3) $-x^2=x+2$;
(4) $(3x-5)(2x+1)=16$.
(1) $x^2=121$;
(2) $(x+1)^2 -12=0$;
(3) $-x^2=x+2$;
(4) $(3x-5)(2x+1)=16$.
答案
(1) 化为一般形式为 $x^2-121=0$，二次项系数、一次项系数和常数项分别是：1，0，$-121$
(2) 化为一般形式为 $x^2+2x-11=0$，二次项系数、一次项系数和常数项分别是：1，2，$-11$
(3) 化为一般形式为 $x^2+x+2=0$，二次项系数、一次项系数和常数项分别是：1，1，2
(4) 化为一般形式为 $6x^2-7x-21=0$，二次项系数、一次项系数和常数项分别是：6，$-7$，$-21$
(2) 化为一般形式为 $x^2+2x-11=0$，二次项系数、一次项系数和常数项分别是：1，2，$-11$
(3) 化为一般形式为 $x^2+x+2=0$，二次项系数、一次项系数和常数项分别是：1，1，2
(4) 化为一般形式为 $6x^2-7x-21=0$，二次项系数、一次项系数和常数项分别是：6，$-7$，$-21$
解析
【分析】
解题首先要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题思路为：对每个方程依次进行去括号、移项、合并同类项操作，将所有项移到等号左侧，右侧化为0，若二次项系数为负，可两边同乘$-1$将二次项系数化为正数，最终得到一般形式后，对应提取三个系数即可，注意系数要包含符号，缺少某一项时该项系数为0。
【解析】
(1) 对$x^2=121$移项，将121移到等号左侧，得一般形式：$x^2 - 121 = 0$。
其中二次项系数为1，无一次项故一次项系数为0，常数项为$-121$。
(2) 先展开$(x+1)^2 -12=0$的完全平方项，得$x^2+2x+1-12=0$，合并常数项后得一般形式：$x^2+2x-11=0$。
其中二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为$-11$。
(3) 对$-x^2=x+2$移项，将右侧项全部移到左侧得$-x^2 -x -2=0$，两边同乘$-1$化为二次项系数为正的一般形式：$x^2+x+2=0$。
其中二次项系数为1，一次项系数为1，常数项为2。
(4) 先展开左侧多项式乘法：$(3x-5)(2x+1)=6x^2+3x-10x-5=6x^2-7x-5$，原方程化为$6x^2-7x-5=16$，移项合并常数项得一般形式：$6x^2-7x-21=0$。
其中二次项系数为6，一次项系数为$-7$，常数项为$-21$。
【答案】
(1) 一般形式为 $x^2-121=0$，二次项系数、一次项系数和常数项分别是：1，0，$-121$
(2) 一般形式为 $x^2+2x-11=0$，二次项系数、一次项系数和常数项分别是：1，2，$-11$
(3) 一般形式为 $x^2+x+2=0$，二次项系数、一次项系数和常数项分别是：1，1，2
(4) 一般形式为 $6x^2-7x-21=0$，二次项系数、一次项系数和常数项分别是：6，$-7$，$-21$
【知识点】
1. 一元二次方程一般形式
2. 整式化简运算
3. 等式变形规则
【点评】
本题是一元二次方程的基础常规题，核心考查对一元二次方程一般形式的认知，解题时需注意移项的符号变化，缺少的项对应的系数不要漏写0，通常将二次项系数化为正数更方便后续计算，熟练掌握整式的去括号、合并同类项是正确解题的前提。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题思路为：对每个方程依次进行去括号、移项、合并同类项操作，将所有项移到等号左侧，右侧化为0，若二次项系数为负，可两边同乘$-1$将二次项系数化为正数，最终得到一般形式后，对应提取三个系数即可，注意系数要包含符号，缺少某一项时该项系数为0。
【解析】
(1) 对$x^2=121$移项，将121移到等号左侧，得一般形式：$x^2 - 121 = 0$。
其中二次项系数为1，无一次项故一次项系数为0，常数项为$-121$。
(2) 先展开$(x+1)^2 -12=0$的完全平方项，得$x^2+2x+1-12=0$，合并常数项后得一般形式：$x^2+2x-11=0$。
其中二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为$-11$。
(3) 对$-x^2=x+2$移项，将右侧项全部移到左侧得$-x^2 -x -2=0$，两边同乘$-1$化为二次项系数为正的一般形式：$x^2+x+2=0$。
其中二次项系数为1，一次项系数为1，常数项为2。
(4) 先展开左侧多项式乘法：$(3x-5)(2x+1)=6x^2+3x-10x-5=6x^2-7x-5$，原方程化为$6x^2-7x-5=16$，移项合并常数项得一般形式：$6x^2-7x-21=0$。
其中二次项系数为6，一次项系数为$-7$，常数项为$-21$。
【答案】
(1) 一般形式为 $x^2-121=0$，二次项系数、一次项系数和常数项分别是：1，0，$-121$
(2) 一般形式为 $x^2+2x-11=0$，二次项系数、一次项系数和常数项分别是：1，2，$-11$
(3) 一般形式为 $x^2+x+2=0$，二次项系数、一次项系数和常数项分别是：1，1，2
(4) 一般形式为 $6x^2-7x-21=0$，二次项系数、一次项系数和常数项分别是：6，$-7$，$-21$
【知识点】
1. 一元二次方程一般形式
2. 整式化简运算
3. 等式变形规则
【点评】
本题是一元二次方程的基础常规题，核心考查对一元二次方程一般形式的认知，解题时需注意移项的符号变化，缺少的项对应的系数不要漏写0，通常将二次项系数化为正数更方便后续计算，熟练掌握整式的去括号、合并同类项是正确解题的前提。
【难度系数】
0.8
3. 如果2是方程$x^2 - c = 0$的一个根，那么常数c是多少？你能求出这个方程的其他根吗？
答案
$c=4$，另一个根为$-2$
解析
【分析】
解题时先利用方程根的定义思考：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，所以可以将已知根x=2代入原方程，得到关于c的方程，解出c的取值；再将c代回原方程，用直接开平方法求解一元二次方程，即可得到另一个根。
【解析】
解：
∵2是方程$x^2 - c = 0$的一个根
∴把$x=2$代入方程可得：
$2^2 - c = 0$
即$4 - c = 0$，解得$c=4$
将$c=4$代入原方程，得$x^2 - 4 = 0$
移项得$x^2 = 4$
开平方得$x = ±2$
∴该方程的另一个根为$-2$
【答案】
$c=4$，另一个根为$-2$
【知识点】
一元二次方程根的定义，直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题是基础题型，重点考查对一元二次方程根的概念的理解，以及简单一元二次方程的求解，解题时注意正数开平方有两个互为相反数的结果，避免漏解。
【难度系数】
0.9
解题时先利用方程根的定义思考：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，所以可以将已知根x=2代入原方程，得到关于c的方程，解出c的取值；再将c代回原方程，用直接开平方法求解一元二次方程，即可得到另一个根。
【解析】
解：
∵2是方程$x^2 - c = 0$的一个根
∴把$x=2$代入方程可得：
$2^2 - c = 0$
即$4 - c = 0$，解得$c=4$
将$c=4$代入原方程，得$x^2 - 4 = 0$
移项得$x^2 = 4$
开平方得$x = ±2$
∴该方程的另一个根为$-2$
【答案】
$c=4$，另一个根为$-2$
【知识点】
一元二次方程根的定义，直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题是基础题型，重点考查对一元二次方程根的概念的理解，以及简单一元二次方程的求解，解题时注意正数开平方有两个互为相反数的结果，避免漏解。
【难度系数】
0.9
4. 根据下列问题列方程,并将其化成一元二次方程的一般形式:
(1) 某篮球赛实行主客场制循环赛,即每两支球队都要比赛2场:在自己球队所在地(主场)和对方球队所在地(客场)各赛1场.已知一共要进行90场比赛,那么有多少支篮球队参赛?
(2) 如图,在一块长为16 m、宽为12 m的矩形荒地上建造一个矩形花圃,使花圃所占面积为荒地面积的一半,花圃四周修宽度相等的小路,求花圃四周小路的宽度.
[第4(2)题]
(1) 某篮球赛实行主客场制循环赛,即每两支球队都要比赛2场:在自己球队所在地(主场)和对方球队所在地(客场)各赛1场.已知一共要进行90场比赛,那么有多少支篮球队参赛?
(2) 如图,在一块长为16 m、宽为12 m的矩形荒地上建造一个矩形花圃,使花圃所占面积为荒地面积的一半,花圃四周修宽度相等的小路,求花圃四周小路的宽度.
[第4(2)题]
答案
(1) 设有 $x$ 支篮球队参赛.根据题意,得 $x(x-1)=90$,即 $x^2-x-90=0$
(2) 设花圃四周小路的宽度为 $x\ \mathrm{m}$.根据题意,得$(16-2x)(12-2x)=\frac{1}{2}×16×12$,即 $x^2-14x+24=0$
(2) 设花圃四周小路的宽度为 $x\ \mathrm{m}$.根据题意,得$(16-2x)(12-2x)=\frac{1}{2}×16×12$,即 $x^2-14x+24=0$
解析
【分析】
(1) 求解参赛球队数量问题：首先明确主客场赛制的比赛场次计算规则，设有x支球队参赛，每支球队需要与其余(x-1)支球队分别进行主场、客场各1场比赛，因此总比赛场次为x(x-1)，结合已知总场次为90即可列方程，再整理为一元二次方程的一般形式。
(2) 求解小路宽度问题：设小路宽度为x m，由于小路在花圃四周均匀分布，因此花圃的长为原荒地长减去左右两侧小路的宽度，即(16-2x)m，花圃的宽为原荒地宽减去上下两侧小路的宽度，即(12-2x)m；已知花圃面积是荒地面积的一半，结合矩形面积公式即可列方程，再整理为一般形式。
【解析】
(1) 设有x支篮球队参赛。
每支球队需和其余(x-1)支球队各进行2场比赛，总场次为90，因此列方程：
$x(x-1)=90$
展开移项整理为一元二次方程一般形式：
$x^2 - x - 90 = 0$
(2) 设花圃四周小路的宽度为$x\ \mathrm{m}$。
花圃的长为$(16-2x)\mathrm{m}$，宽为$(12-2x)\mathrm{m}$，荒地面积为$16×12\ \mathrm{m^2}$，花圃面积为荒地面积的一半，因此列方程：
$(16-2x)(12-2x)=\frac{1}{2}×16×12$
展开并整理为一元二次方程一般形式：
$x^2 -14x +24=0$
【答案】
(1) $x(x-1)=90$，一般形式为$x^2-x-90=0$
(2) $(16-2x)(12-2x)=\frac{1}{2}×16×12$，一般形式为$x^2-14x+24=0$
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 一元二次方程的一般形式
3. 列方程解应用题
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题型，解题核心是准确梳理题目中的等量关系，合理设未知数列方程，再通过整式运算整理为标准的一元二次方程一般形式，解题时要注意第二问中小路是四周分布，长和宽都需要减去2倍的小路宽度，避免漏算出错。
【难度系数】
0.8
(1) 求解参赛球队数量问题：首先明确主客场赛制的比赛场次计算规则，设有x支球队参赛，每支球队需要与其余(x-1)支球队分别进行主场、客场各1场比赛，因此总比赛场次为x(x-1)，结合已知总场次为90即可列方程，再整理为一元二次方程的一般形式。
(2) 求解小路宽度问题：设小路宽度为x m，由于小路在花圃四周均匀分布，因此花圃的长为原荒地长减去左右两侧小路的宽度，即(16-2x)m，花圃的宽为原荒地宽减去上下两侧小路的宽度，即(12-2x)m；已知花圃面积是荒地面积的一半，结合矩形面积公式即可列方程，再整理为一般形式。
【解析】
(1) 设有x支篮球队参赛。
每支球队需和其余(x-1)支球队各进行2场比赛，总场次为90，因此列方程：
$x(x-1)=90$
展开移项整理为一元二次方程一般形式：
$x^2 - x - 90 = 0$
(2) 设花圃四周小路的宽度为$x\ \mathrm{m}$。
花圃的长为$(16-2x)\mathrm{m}$，宽为$(12-2x)\mathrm{m}$，荒地面积为$16×12\ \mathrm{m^2}$，花圃面积为荒地面积的一半，因此列方程：
$(16-2x)(12-2x)=\frac{1}{2}×16×12$
展开并整理为一元二次方程一般形式：
$x^2 -14x +24=0$
【答案】
(1) $x(x-1)=90$，一般形式为$x^2-x-90=0$
(2) $(16-2x)(12-2x)=\frac{1}{2}×16×12$，一般形式为$x^2-14x+24=0$
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 一元二次方程的一般形式
3. 列方程解应用题
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题型，解题核心是准确梳理题目中的等量关系，合理设未知数列方程，再通过整式运算整理为标准的一元二次方程一般形式，解题时要注意第二问中小路是四周分布，长和宽都需要减去2倍的小路宽度，避免漏算出错。
【难度系数】
0.8
5. 为了求方程$x(x+2)=120$中$x$的值，列表如下：
可以发现，当$x=10$时，$x(x+2)=120$成立，所以$x=10$是方程$x(x+2)=120$的解。一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根，另外通过验证我们可得出$x=-12$也是方程$x(x+2)=120$的根。
（1）下面哪些数是方程的$x^2 - x -6=0$的根？
$-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.$
（2）试写出方程$x^2 -x=0$的根，你能写出几个？
可以发现，当$x=10$时，$x(x+2)=120$成立，所以$x=10$是方程$x(x+2)=120$的解。一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根，另外通过验证我们可得出$x=-12$也是方程$x(x+2)=120$的根。
（1）下面哪些数是方程的$x^2 - x -6=0$的根？
$-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.$
（2）试写出方程$x^2 -x=0$的根，你能写出几个？
答案
(1) $-2,3$
(2) $0,1$
(2) $0,1$
解析
【分析】
（1）判断给定的数是否为方程的根，核心依据是一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。我们既可以把每个数依次代入方程左边计算，验证结果是否等于右边的0；也可以直接解方程得到根，再和给出的数匹配即可。
（2）求解方程$x^2 -x=0$的根，可先提取公因式将方程变形为两个一次因式乘积为0的形式，根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”，即可求出所有根，一元二次方程最多有2个实数根。
【解析】
（1）方法1：代入验证
将给出的数分别代入$x^2 -x -6$计算：
当$x=-2$时，左边$=(-2)^2 - (-2) -6=4+2-6=0$，等于右边，是方程的根；
当$x=3$时，左边$=3^2 -3 -6=9-3-6=0$，等于右边，是方程的根；
其余数代入后左边结果均不等于0，因此不是方程的根。
方法2：解方程验证
将$x^2 -x -6=0$因式分解得$(x-3)(x+2)=0$，
即$x-3=0$或$x+2=0$，解得$x=3$或$x=-2$，和给出的数匹配，因此这两个是方程的根。
（2）对$x^2 -x=0$提取公因式得$x(x-1)=0$，
即$x=0$或$x-1=0$，解得$x=0$或$x=1$，因此方程的根为0和1，共2个。
【答案】
（1）$\boldsymbol{-2,3}$
（2）$\boldsymbol{0,1}$
【知识点】
一元二次方程的根的定义；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题围绕一元二次方程根的概念设计，考查基础的根的验证方法和简单一元二次方程的求解，属于基础概念应用题，掌握核心定义和基础运算方法就能轻松解题。
【难度系数】
0.9
（1）判断给定的数是否为方程的根，核心依据是一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。我们既可以把每个数依次代入方程左边计算，验证结果是否等于右边的0；也可以直接解方程得到根，再和给出的数匹配即可。
（2）求解方程$x^2 -x=0$的根，可先提取公因式将方程变形为两个一次因式乘积为0的形式，根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”，即可求出所有根，一元二次方程最多有2个实数根。
【解析】
（1）方法1：代入验证
将给出的数分别代入$x^2 -x -6$计算：
当$x=-2$时，左边$=(-2)^2 - (-2) -6=4+2-6=0$，等于右边，是方程的根；
当$x=3$时，左边$=3^2 -3 -6=9-3-6=0$，等于右边，是方程的根；
其余数代入后左边结果均不等于0，因此不是方程的根。
方法2：解方程验证
将$x^2 -x -6=0$因式分解得$(x-3)(x+2)=0$，
即$x-3=0$或$x+2=0$，解得$x=3$或$x=-2$，和给出的数匹配，因此这两个是方程的根。
（2）对$x^2 -x=0$提取公因式得$x(x-1)=0$，
即$x=0$或$x-1=0$，解得$x=0$或$x=1$，因此方程的根为0和1，共2个。
【答案】
（1）$\boldsymbol{-2,3}$
（2）$\boldsymbol{0,1}$
【知识点】
一元二次方程的根的定义；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题围绕一元二次方程根的概念设计，考查基础的根的验证方法和简单一元二次方程的求解，属于基础概念应用题，掌握核心定义和基础运算方法就能轻松解题。
【难度系数】
0.9
