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要剪一块面积为 $32\ \mathrm{cm}^2$ 的矩形铁片，使它的长是宽的2倍，应该怎样剪这块铁皮？
答案
设铁皮的宽是 $x\ \mathrm{cm}$，列方程得 $2x · x=32$
解析
【分析】
要解决这个裁剪问题，核心是先求出矩形的长和宽。首先根据“长是宽的2倍”的数量关系，我们设较小的量宽为未知数，即可用含未知数的式子表示长；再结合矩形面积的计算公式，利用已知的面积数值建立等量关系列出方程，求解时注意边长为正数，要舍去不符合实际的负根，最终就能得到裁剪的尺寸。
【解析】
解：设这块矩形铁皮的宽为$ x\ \mathrm{cm} $，则它的长为$ 2x\ \mathrm{cm} $。
根据矩形面积公式$ 面积=长×宽 $，结合已知面积为$ 32\ \mathrm{cm}^2 $，可列方程：
$ 2x · x = 32 $
整理得：$ x^2 = 16 $
因为矩形的边长为正数，所以$ x = \sqrt{16} = 4 $（负根$ x=-4 $不符合实际，舍去）
则长为$ 2x = 2×4 = 8\ \mathrm{cm} $
即需要裁剪出长8cm、宽4cm的矩形铁片。
【答案】
裁剪成长为8cm、宽为4cm的矩形即可，所列方程为$ 2x· x=32 $
【知识点】
矩形面积公式，一元二次方程的应用，列方程解应用题
【点评】
本题是方程在实际几何问题中的基础应用，解题关键是找准题目中的等量关系，合理设未知数列出方程，求解时要注意结合实际意义对解进行取舍。
【难度系数】
0.9
要解决这个裁剪问题，核心是先求出矩形的长和宽。首先根据“长是宽的2倍”的数量关系，我们设较小的量宽为未知数，即可用含未知数的式子表示长；再结合矩形面积的计算公式，利用已知的面积数值建立等量关系列出方程，求解时注意边长为正数，要舍去不符合实际的负根，最终就能得到裁剪的尺寸。
【解析】
解：设这块矩形铁皮的宽为$ x\ \mathrm{cm} $，则它的长为$ 2x\ \mathrm{cm} $。
根据矩形面积公式$ 面积=长×宽 $，结合已知面积为$ 32\ \mathrm{cm}^2 $，可列方程：
$ 2x · x = 32 $
整理得：$ x^2 = 16 $
因为矩形的边长为正数，所以$ x = \sqrt{16} = 4 $（负根$ x=-4 $不符合实际，舍去）
则长为$ 2x = 2×4 = 8\ \mathrm{cm} $
即需要裁剪出长8cm、宽4cm的矩形铁片。
【答案】
裁剪成长为8cm、宽为4cm的矩形即可，所列方程为$ 2x· x=32 $
【知识点】
矩形面积公式，一元二次方程的应用，列方程解应用题
【点评】
本题是方程在实际几何问题中的基础应用，解题关键是找准题目中的等量关系，合理设未知数列出方程，求解时要注意结合实际意义对解进行取舍。
【难度系数】
0.9
例1 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并指出其二次项系数、一次项系数和常数项.
(1) $2x^2=-3x$；
(2) $(x-1)^2=9$；
(3) $x(x+3)=-2$.
(1) $2x^2=-3x$；
(2) $(x-1)^2=9$；
(3) $x(x+3)=-2$.
答案
(1) 化为一般形式为 $2x^2+3x=0$，二次项系数、一次项系数和常数项分别是：2，3，0
(2) 化为一般形式为 $x^2-2x-8=0$，二次项系数、一次项系数和常数项分别是：1，$-2$，$-8$
(3) 化为一般形式为 $x^2+3x+2=0$，二次项系数、一次项系数和常数项分别是：1，3，2
(2) 化为一般形式为 $x^2-2x-8=0$，二次项系数、一次项系数和常数项分别是：1，$-2$，$-8$
(3) 化为一般形式为 $x^2+3x+2=0$，二次项系数、一次项系数和常数项分别是：1，3，2
解析
【分析】
解题的核心是先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$，$a、b、c$为常数），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题时依次对每个方程做如下操作：先去括号（如果有括号的话），再通过移项把所有项移到等号左侧，右侧变为0，最后合并同类项，将左侧按$x$的降幂排列就得到一般形式，再对应提取各项系数即可，注意系数要保留自身的符号，若没有常数项则常数项为0。
【解析】
(1) 对原方程$2x^2=-3x$移项，将右侧的$-3x$移到左侧变号，整理得一般形式：$2x^2+3x=0$。
其中二次项为$2x^2$，系数是2；一次项为$3x$，系数是3；没有单独的常数项，故常数项为0。
(2) 先展开原方程$(x-1)^2=9$的左侧，得$x^2-2x+1=9$，再将右侧的9移到左侧变号，合并同类项后得一般形式：$x^2-2x-8=0$。
其中二次项为$x^2$，系数是1；一次项为$-2x$，系数是$-2$；常数项是$-8$。
(3) 先去括号展开原方程$x(x+3)=-2$的左侧，得$x^2+3x=-2$，再将右侧的$-2$移到左侧变号，整理得一般形式：$x^2+3x+2=0$。
其中二次项为$x^2$，系数是1；一次项为$3x$，系数是3；常数项是2。
【答案】
(1) 一般形式为 $2x^2+3x=0$，二次项系数、一次项系数和常数项分别是：2，3，0
(2) 一般形式为 $x^2-2x-8=0$，二次项系数、一次项系数和常数项分别是：1，$-2$，$-8$
(3) 一般形式为 $x^2+3x+2=0$，二次项系数、一次项系数和常数项分别是：1，3，2
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 整式的化简运算
3. 移项法则
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，重点考查一般形式的转化方法，解题时要注意去括号、移项过程中的符号变化，提取各项系数时不要遗漏正负号，没有常数项时不要漏写常数项为0，掌握本题对后续学习一元二次方程的解法至关重要。
【难度系数】
0.9
解题的核心是先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$，$a、b、c$为常数），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题时依次对每个方程做如下操作：先去括号（如果有括号的话），再通过移项把所有项移到等号左侧，右侧变为0，最后合并同类项，将左侧按$x$的降幂排列就得到一般形式，再对应提取各项系数即可，注意系数要保留自身的符号，若没有常数项则常数项为0。
【解析】
(1) 对原方程$2x^2=-3x$移项，将右侧的$-3x$移到左侧变号，整理得一般形式：$2x^2+3x=0$。
其中二次项为$2x^2$，系数是2；一次项为$3x$，系数是3；没有单独的常数项，故常数项为0。
(2) 先展开原方程$(x-1)^2=9$的左侧，得$x^2-2x+1=9$，再将右侧的9移到左侧变号，合并同类项后得一般形式：$x^2-2x-8=0$。
其中二次项为$x^2$，系数是1；一次项为$-2x$，系数是$-2$；常数项是$-8$。
(3) 先去括号展开原方程$x(x+3)=-2$的左侧，得$x^2+3x=-2$，再将右侧的$-2$移到左侧变号，整理得一般形式：$x^2+3x+2=0$。
其中二次项为$x^2$，系数是1；一次项为$3x$，系数是3；常数项是2。
【答案】
(1) 一般形式为 $2x^2+3x=0$，二次项系数、一次项系数和常数项分别是：2，3，0
(2) 一般形式为 $x^2-2x-8=0$，二次项系数、一次项系数和常数项分别是：1，$-2$，$-8$
(3) 一般形式为 $x^2+3x+2=0$，二次项系数、一次项系数和常数项分别是：1，3，2
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 整式的化简运算
3. 移项法则
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，重点考查一般形式的转化方法，解题时要注意去括号、移项过程中的符号变化，提取各项系数时不要遗漏正负号，没有常数项时不要漏写常数项为0，掌握本题对后续学习一元二次方程的解法至关重要。
【难度系数】
0.9
例2 根据题意列方程：
（1）两个连续整数的积是12，求这两个数；
（2）四个完全相同的正方形的面积之和是100 cm²，求正方形的边长；
（3）一个直角三角形的斜边长是10，两条直角边的长相差2，求较长的直角边长。
（1）两个连续整数的积是12，求这两个数；
（2）四个完全相同的正方形的面积之和是100 cm²，求正方形的边长；
（3）一个直角三角形的斜边长是10，两条直角边的长相差2，求较长的直角边长。
答案
(1) 设较小的整数为 $x$，列方程得 $x(x+1)=12$
(2) 设这个正方形的边长为 $x\ \mathrm{cm}$，列方程得 $4x^2=100$
(3) 设较长的直角边长为 $x$，列方程得 $x^2+(x-2)^2=100$
(2) 设这个正方形的边长为 $x\ \mathrm{cm}$，列方程得 $4x^2=100$
(3) 设较长的直角边长为 $x$，列方程得 $x^2+(x-2)^2=100$
解析
【分析】
列方程解决实际问题的核心是先合理设未知数，再根据题目中的等量关系列式，解题思路如下：
1. 第(1)问：连续整数的差为1，若设较小的整数为x，则较大的连续整数为x+1，等量关系为“两个数的乘积=12”，代入即可列方程；
2. 第(2)问：单个正方形的面积为边长的平方，四个相同正方形的面积和就是4倍的单个正方形面积，等量关系为“四个正方形的面积之和=100cm²”，设边长为x后代入即可列式；
3. 第(3)问：直角三角形满足勾股定理（两条直角边的平方和等于斜边的平方），设较长直角边为x，则较短直角边为x-2，代入勾股定理的等量关系即可列方程。
【解析】
(1) 设较小的整数为$x$，则较大的连续整数为$x+1$，根据两数的积为12，列方程得：$x(x+1)=12$；
(2) 设正方形的边长为$x\ \mathrm{cm}$，单个正方形的面积为$x^2\ \mathrm{cm^2}$，根据四个正方形面积之和为$100\ \mathrm{cm^2}$，列方程得：$4x^2=100$；
(3) 设较长的直角边长为$x$，则较短的直角边长为$x-2$，根据勾股定理，列方程得：$x^2+(x-2)^2=100$。
【答案】
(1) 设较小的整数为 $x$，列方程得 $x(x+1)=12$
(2) 设这个正方形的边长为 $x\ \mathrm{cm}$，列方程得 $4x^2=100$
(3) 设较长的直角边长为 $x$，列方程得 $x^2+(x-2)^2=100$
【知识点】
列一元二次方程、正方形面积公式、勾股定理
【点评】
本题是列方程的基础题型，重点考查从实际问题中提取等量关系的能力，解题时只要准确设出未知数，用含未知数的式子表示出相关联的量，再对应等量关系就能正确列出方程。
【难度系数】
0.8
列方程解决实际问题的核心是先合理设未知数，再根据题目中的等量关系列式，解题思路如下：
1. 第(1)问：连续整数的差为1，若设较小的整数为x，则较大的连续整数为x+1，等量关系为“两个数的乘积=12”，代入即可列方程；
2. 第(2)问：单个正方形的面积为边长的平方，四个相同正方形的面积和就是4倍的单个正方形面积，等量关系为“四个正方形的面积之和=100cm²”，设边长为x后代入即可列式；
3. 第(3)问：直角三角形满足勾股定理（两条直角边的平方和等于斜边的平方），设较长直角边为x，则较短直角边为x-2，代入勾股定理的等量关系即可列方程。
【解析】
(1) 设较小的整数为$x$，则较大的连续整数为$x+1$，根据两数的积为12，列方程得：$x(x+1)=12$；
(2) 设正方形的边长为$x\ \mathrm{cm}$，单个正方形的面积为$x^2\ \mathrm{cm^2}$，根据四个正方形面积之和为$100\ \mathrm{cm^2}$，列方程得：$4x^2=100$；
(3) 设较长的直角边长为$x$，则较短的直角边长为$x-2$，根据勾股定理，列方程得：$x^2+(x-2)^2=100$。
【答案】
(1) 设较小的整数为 $x$，列方程得 $x(x+1)=12$
(2) 设这个正方形的边长为 $x\ \mathrm{cm}$，列方程得 $4x^2=100$
(3) 设较长的直角边长为 $x$，列方程得 $x^2+(x-2)^2=100$
【知识点】
列一元二次方程、正方形面积公式、勾股定理
【点评】
本题是列方程的基础题型，重点考查从实际问题中提取等量关系的能力，解题时只要准确设出未知数，用含未知数的式子表示出相关联的量，再对应等量关系就能正确列出方程。
【难度系数】
0.8
1. 判定下列方程是否为一元二次方程：
(1) $x^2 + 2x - \frac{1}{x} = 0$；
(2) $x(x - 4) = x^2 + 1$；
(3) $x^2 = x$；
(4) $(k - 1)x^2 - kx + 1 = 0$（$k$为常数）。
(1) $x^2 + 2x - \frac{1}{x} = 0$；
(2) $x(x - 4) = x^2 + 1$；
(3) $x^2 = x$；
(4) $(k - 1)x^2 - kx + 1 = 0$（$k$为常数）。
答案
(1) 不是
(2) 不是
(3) 是
(4) 当$k≠1$时，是
(2) 不是
(3) 是
(4) 当$k≠1$时，是
解析
【分析】
要判定一个方程是否为一元二次方程，需先明确其核心判定条件：①是整式方程（分母不含未知数）；②只含有1个未知数；③方程整理为最简形式后，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时逐个对照以上条件验证即可：先判断是否为整式方程，再化简方程判断最高次数，最后确认二次项系数是否非0，含参数的方程要分类讨论。
【解析】
首先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$，$a,b,c$为常数）。
(1) 方程$x^2 + 2x - \frac{1}{x} = 0$的分母中含有未知数$x$，属于分式方程，不满足整式方程的要求，因此不是一元二次方程。
(2) 先将原方程展开整理：左边$x(x-4)=x^2-4x$，移项合并同类项得$x^2-4x - x^2 -1=0$，即$-4x-1=0$，未知数最高次数为1，属于一元一次方程，因此不是一元二次方程。
(3) 将方程移项整理得$x^2 - x=0$，满足整式方程、仅含一个未知数$x$、未知数最高次数为2，且二次项系数为1$\ne0$，因此是一元二次方程。
(4) 该方程的二次项系数为$k-1$，当$k-1\ne0$即$k\ne1$时，满足二次项系数非0的要求，符合一元二次方程的定义；当$k=1$时，方程变为$-x+1=0$，是一元一次方程，因此仅当$k\ne1$时该方程是一元二次方程。
【答案】
(1) 不是
(2) 不是
(3) 是
(4) 当$k≠1$时，是
【知识点】
一元二次方程的判定、整式方程的概念、含参方程分类讨论
【点评】
本题是一元二次方程定义的基础应用题，判定时要注意先将方程化简为最简形式再判断最高次数，同时不要忽略整式方程的前提，以及含参数的方程要对二次项系数是否为0分类讨论，避免漏判错判。
【难度系数】
0.7
要判定一个方程是否为一元二次方程，需先明确其核心判定条件：①是整式方程（分母不含未知数）；②只含有1个未知数；③方程整理为最简形式后，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时逐个对照以上条件验证即可：先判断是否为整式方程，再化简方程判断最高次数，最后确认二次项系数是否非0，含参数的方程要分类讨论。
【解析】
首先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$，$a,b,c$为常数）。
(1) 方程$x^2 + 2x - \frac{1}{x} = 0$的分母中含有未知数$x$，属于分式方程，不满足整式方程的要求，因此不是一元二次方程。
(2) 先将原方程展开整理：左边$x(x-4)=x^2-4x$，移项合并同类项得$x^2-4x - x^2 -1=0$，即$-4x-1=0$，未知数最高次数为1，属于一元一次方程，因此不是一元二次方程。
(3) 将方程移项整理得$x^2 - x=0$，满足整式方程、仅含一个未知数$x$、未知数最高次数为2，且二次项系数为1$\ne0$，因此是一元二次方程。
(4) 该方程的二次项系数为$k-1$，当$k-1\ne0$即$k\ne1$时，满足二次项系数非0的要求，符合一元二次方程的定义；当$k=1$时，方程变为$-x+1=0$，是一元一次方程，因此仅当$k\ne1$时该方程是一元二次方程。
【答案】
(1) 不是
(2) 不是
(3) 是
(4) 当$k≠1$时，是
【知识点】
一元二次方程的判定、整式方程的概念、含参方程分类讨论
【点评】
本题是一元二次方程定义的基础应用题，判定时要注意先将方程化简为最简形式再判断最高次数，同时不要忽略整式方程的前提，以及含参数的方程要对二次项系数是否为0分类讨论，避免漏判错判。
【难度系数】
0.7
