9.如图所示。
(1)图中有几个三角形？
(2)说出$△ CDE$的边和角。
(3)AD是哪些三角形的边？$∠ C$是哪些三角形的角？

9.(1)图中有:△ABD,△ADC,△ADE,△EDC,△ACB,共5个三角形。
(2)△CDE的边:CD,CE,DE,角:∠C,∠CDE,∠DEC。
(3)AD是△ADB,△ADE,△ADC的边;∠C是△ABC,△ADC,△DEC的角。

【分析】
(1) 数三角形时要遵循有序计数的原则，避免重复或遗漏，可以按“从小到大”的顺序，先数单个的小三角形，再数由多个小三角形组合而成的三角形。
(2) 三角形的边是连接三个顶点的三条线段，三角形的角是三个顶点处的内角，确定△CDE的边和角只需对应它的三个顶点C、D、E逐一查找即可。
(3) 找AD是哪些三角形的边，只需找出所有以A、D为两个顶点的三角形；找∠C是哪些三角形的角，只需找出所有以C为顶点、且∠C为该三角形内角的三角形。
【解析】
(1) 按顺序计数：
单个小三角形：△ABD、△ADE、△CDE，共3个；
由2个小三角形组成的三角形：△ADC，共1个；
由3个小三角形组成的大三角形：△ACB，共1个；
总共有3+1+1=5个三角形。
(2) △CDE的三个顶点为C、D、E，相邻顶点连接的线段就是它的边，三个顶点处的内角就是它的角。
(3) 筛选包含线段AD的三角形，即可得到以AD为边的三角形；筛选包含内角∠C的三角形，即可得到所求结果。
【答案】
(1) 图中有5个三角形，分别是△ABD,△ADC,△ADE,△EDC,△ACB
(2) △CDE的边：CD,CE,DE；角：∠C,∠CDE,∠DEC
(3) AD是△ADB,△ADE,△ADC的边；∠C是△ABC,△ADC,△DEC的角
【知识点】
三角形的识别；三角形的边与角的概念
【点评】
本题是三角形相关的基础题，重点考查对三角形的辨认以及对三角形边、角基本概念的理解，解题时按规律计数即可避免漏数或重复数，熟练掌握三角形的基本定义是解题的关键。
【难度系数】
0.9

10.在$△ ABC$中，$∠ B=2∠ A$，$∠ C=∠ B+40°$。求$△ ABC$的各内角度数。

10.因为∠B=2∠A,∠C=∠B+40°,∠A+∠B+∠C=180°,所以∠A+2∠A+2∠A+40°=180°,解得∠A=28°,所以∠B=2∠A=56°,∠C=∠B+40°=96°。

【分析】
解题的核心是利用三角形内角和为180°的性质，结合题目给出的角之间的数量关系，将三个内角都用同一个角（∠A）表示，代入内角和公式构建方程求解。首先根据∠B=2∠A，可将∠B替换为2∠A，再根据∠C=∠B+40°，可将∠C替换为2∠A+40°，此时三个内角均可用∠A表示，代入内角和公式即可求出∠A的度数，再依次计算∠B和∠C的度数。
【解析】
解：根据三角形内角和定理可得：∠A+∠B+∠C=180°
已知∠B=2∠A，∠C=∠B+40°，则∠C=2∠A+40°，将其代入内角和公式：
∠A+2∠A+2∠A+40°=180°
合并同类项得：5∠A+40°=180°
移项计算得：5∠A=140°
解得：∠A=28°
则∠B=2∠A=2×28°=56°
∠C=∠B+40°=56°+40°=96°
【答案】
∠A=28°，∠B=56°，∠C=96°
【知识点】
三角形内角和定理，等量代换，一元一次方程求解
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，重点考察对三角形内角和定理的应用，通过将多个未知量转化为单个未知量构建方程的思路，是解决这类角度关系题的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8

11.如果一个三角形的一边长为5cm，另一边长为2cm，若第三边长为xcm。
(1)第三边长x的范围为。
(2)当第三边长为奇数时，求出这个三角形的周长，并指出它是什么三角形(按边分类)。

11.(1)3＜x＜7 【解析】根据三角形任意两边之和大于第三边,则x＜5+2,即x＜7。根据三角形任意两边之差小于第三边,则5-2＜x,即3＜x。综上所述3＜x＜7。
(2)因为第三边长为奇数,所以第三边长为5cm。所以三角形的周长=5+5+2=12(cm)。因为两条边的长为5cm,另外一条边的长为2cm,所以这个三角形是底边和腰不相等的等腰三角形。

【分析】
本题考查三角形的基础性质应用，解题思路如下：(1)求第三边的取值范围，直接运用三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，列出关于x的不等式求解即可；(2)先在第一问求出的x范围内筛选出奇数的取值，再代入计算周长，最后根据边的长度特征判断三角形的类型（按边分类）。
【解析】
(1)根据三角形三边关系：
①任意两边之和大于第三边，可得：$ x ＜ 5 + 2 $，即$ x ＜ 7 $；
②任意两边之差小于第三边，可得：$ x ＞ 5 - 2 $，即$ x ＞ 3 $；
综上，第三边长x的范围为$ 3 ＜ x ＜ 7 $。
(2)已知x的取值范围是$ 3 ＜ x ＜ 7 $，且x为奇数，符合条件的x值为5，即第三边长为5cm。
三角形的周长为三边长之和：$ 5 + 5 + 2 = 12(cm) $。
该三角形有两条边长均为5cm，长度相等，因此按边分类属于底边和腰不相等的等腰三角形。
【答案】
(1)$\boldsymbol{3 ＜ x ＜ 7}$
(2)周长为$\boldsymbol{12cm}$，是底边和腰不相等的等腰三角形。
【知识点】
三角形三边关系；三角形周长计算；等腰三角形定义
【点评】
本题属于基础题，重点考查对三角形核心基础性质的掌握与运用，解题的关键是牢记三边关系的取值规则，第二问要注意结合限定条件筛选出符合要求的第三边长度，避免错漏取值。
【难度系数】
0.8

12.如图，在$△ BCD$中，$BC=3$，$BD=5$。
(1)若$CD$的长是偶数，直接写出$CD$的值：。
(2)若点$A$在$CB$的延长线上，点$E$，$F$在$CD$的延长线上，且$AE// BD$，$∠ A=55°$，$∠ BDE=125°$，求$∠ C$的度数。

12.(1)4或6
(2)因为AE//BD,所以∠CBD=∠A=55°。因为∠BDC=180°-∠BDE=180°-125°=55°,所以∠C=180°-∠BDC-∠CBD=180°-55°-55°=70°。

【分析】
(1) 要确定CD的取值，首先利用三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出CD的取值范围，再结合CD是偶数的条件，筛选出符合要求的数值即可。
(2) 要求∠C的度数，首先根据平行线的同位角相等性质，由AE//BD求出∠CBD的度数；再根据邻补角和为180°，由∠BDE的度数求出∠BDC的度数；最后利用三角形内角和为180°，计算得出∠C的度数。
【解析】
(1) 在△BCD中，根据三角形三边关系可得：
$BD-BC ＜ CD ＜ BD+BC$
代入$BC=3$，$BD=5$，得$2 ＜ CD ＜ 8$。
因为CD的长是偶数，所以CD的值为4或6。
(2) 因为$AE// BD$，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ CBD=∠ A=55°$。
因为$∠ BDE$与$∠ BDC$是邻补角，所以$∠ BDC=180°-∠ BDE=180°-125°=55°$。
在△BCD中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ C=180°-∠ BDC-∠ CBD=180°-55°-55°=70°$。
【答案】
(1) 4或6；(2) $70°$
【知识点】
三角形三边关系；平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何题，第一问需注意三角形三边关系的取值范围边界不可取等，不要漏解符合条件的偶数值；第二问解题的关键是准确梳理角之间的数量关系，熟练运用平行线性质和三角形内角和定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.85

13. 如图,在$△ ABC$中,D,E,F三点分别在AB,AC,BC上,过点D的直线与线段EF的交点为点M,已知$2∠1−∠2=150°,2∠2−∠1=30°$。
(1)试说明$DM// AC$的理由。
(2)若$DE// BC,∠C=52°$,求$∠3$的度数。

13.(1)由题意可知2∠1-∠2=150°,2∠2-∠1=30°,所以∠1=110°,∠2=70°,所以∠DME=180°-∠1=70°,所以∠DME=∠2,所以DM//AC。
(2)因为DE//BC,所以∠AED=∠C=52°。因为DM//AC,所以∠3=∠AED=52°。

【分析】
(1)要证明$DM// AC$，可通过证明内错角相等推导：首先联立已知的两个关于$∠1$和$∠2$的等式，求解出两个角的度数；再根据邻补角的定义求出$∠ DME$的度数，若$∠ DME$和$∠2$相等，即可依据内错角相等，两直线平行证得结论。
(2)求$∠3$的度数时，先利用$DE// BC$的条件，根据两直线平行同位角相等，得到$∠ AED$和$∠ C$相等；再结合(1)证得的$DM// AC$，根据两直线平行内错角相等，即可得到$∠3$和$∠ AED$相等，进而求出$∠3$的度数。
【解析】
(1) 联立已知角度关系：
$\begin{cases}2∠1 - ∠2 = 150° \\2∠2 - ∠1 = 30° \end{cases}$
解方程组可得$∠1=110°$，$∠2=70°$。
因为$∠1$和$∠ DME$是邻补角，所以$∠ DME=180°-∠1=180°-110°=70°$，
因此$∠ DME=∠2$，根据内错角相等，两直线平行，可证$DM// AC$。
(2) 因为$DE// BC$，根据两直线平行，同位角相等，可得$∠ AED=∠ C=52°$。
又因为已证$DM// AC$，根据两直线平行，内错角相等，可得$∠3=∠ AED=52°$。
【答案】
(1) 理由见解析，可证$DM// AC$；
(2) $∠3=52°$
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；邻补角的性质
【点评】
本题是平行线相关定理的基础应用题型，解题核心是先通过已知角度关系求出对应角的度数，再结合平行线的判定和性质逐步推导，注重对基础定理的理解和灵活运用。
【难度系数】
0.7

14.如图，O是$△ ABC$内一点，连结OB和OC。
（1）你能说明$OB + OC ＜ AB + AC$吗？
（2）若$AB=5$，$AC=6$，$BC=7$，你能写出$OB+OC$的取值范围吗？

14.(1)如图,延长BO交AC于点D,由AB+AD＞BD,OD+CD＞CO可得AB+AC＞BO+CO,即BO+CO＜AB+AC。
(2)根据三角形的三边关系可得BO+CO＞BC,由(1)得BO+CO＜AB+AC,因为AB=5,AC=6,BC=7,所以7＜BO+CO＜11。

【分析】
（1）要证明OB+OC＜AB+AC，仅靠现有三角形无法直接推导，因此我们通过作辅助线构造新三角形：延长BO交AC于点D，分别在△ABD和△OCD中应用“三角形两边之和大于第三边”的性质得到两个不等式，再将两个不等式相加化简，消去公共线段即可得到结论。
（2）求OB+OC的取值范围需要分别确定它的上下限：下限可直接在△OBC中利用三边关系得到OB+OC＞BC；上限可直接使用第(1)问的结论得到OB+OC＜AB+AC，代入已知边长计算即可得到取值范围。
【解析】
(1) 作辅助线：延长BO交AC于点D。
在△ABD中，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得$AB + AD ＞ BD$，而$BD=BO+OD$，因此$AB + AD ＞ BO + OD$ ①；
在△OCD中，同理可得$OD + CD ＞ OC$ ②；
将①和②左右两边分别相加，可得$AB + AD + OD + CD ＞ BO + OD + OC$，两边同时减去OD，且$AD+CD=AC$，化简后得到$AB+AC＞BO+OC$，即$OB+OC＜AB+AC$。
(2) 在△OBC中，根据三角形三边关系可得$OB+OC＞BC$，已知$BC=7$，因此$OB+OC＞7$；
由(1)的结论可知$OB+OC＜AB+AC$，已知$AB=5$，$AC=6$，因此$OB+OC＜5+6=11$；
综上可得$OB+OC$的取值范围是$7＜OB+OC＜11$。
【答案】
14.(1)如图,延长BO交AC于点D,由AB+AD＞BD,OD+CD＞CO可得AB+AC＞BO+CO,即BO+CO＜AB+AC。
(2)根据三角形的三边关系可得BO+CO＞BC,由(1)得BO+CO＜AB+AC,因为AB=5,AC=6,BC=7,所以7＜BO+CO＜11。
【知识点】
三角形三边关系、不等式的性质、辅助线构造
【点评】
本题是三角形三边关系的典型应用题型，解题关键是通过作辅助线将分散的线段关系整合到不同的三角形中，利用三边关系推导不等式，再结合不等式的性质化简得到结论，需要熟练掌握此类构造辅助线转化线段关系的方法。
【难度系数】
0.7