课堂笔记
1.定义:由不在上的三条首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形。
2.性质:三角形三个内角的和等于。
3.性质:三角形任何两边的和第三边。
4.三角形可以按内角的大小进行分类:
(1)三个内角都是锐角的三角形是三角形。
(2)有一个内角是直角的三角形是三角形。
(3)有一个内角是钝角的三角形是三角形。

1.同一条直线 线段
2.180°
3.大于
4.(1)锐角 (2)直角 (3)钝角

【分析】
本题考查三角形的基础定义与基本性质，均为课本基础识记内容，解题时只需对应回忆三角形相关的基础概念逐一填空即可：首先回忆三角形的定义要素，再回忆内角和、三边关系的性质，最后对应按角分类的标准填写分类名称即可。
【解析】
1. 根据三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形，因此两个空依次填同一条直线、线段；
2. 根据三角形内角和性质：三角形三个内角的和等于180°；
3. 根据三角形三边关系性质：三角形任何两边的和大于第三边；
4. 三角形按内角大小分类的标准为：(1)三个内角都是锐角的三角形是锐角三角形；(2)有一个内角是直角的三角形是直角三角形；(3)有一个内角是钝角的三角形是钝角三角形，对应填空即可。
【答案】
1.同一条直线 线段
2.180°
3.大于
4.(1)锐角 (2)直角 (3)钝角
【知识点】
三角形的定义、三角形内角和定理、三角形的分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，均为三角形入门的核心识记知识点，熟练掌握该部分内容是后续学习三角形相关证明、计算的基础。
【难度系数】
0.9

1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（）

A.1cm,2cm,3cm
B.2cm,3cm,5.5cm
C.5cm,8cm,12cm
D.4cm,5cm,9cm

1.C

【分析】
要判断三条线段能否组成三角形，核心依据是三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边。为了简化计算，我们可以先将三条线段按长度从小到大排序，仅验证较短两条线段的和是否大于最长线段即可：如果短边之和大于最长边，那么其余两边的和必然大于第三边，满足构成三角形的条件；如果短边之和小于或等于最长边，则无法构成三角形。接下来我们按这个方法逐个验证选项即可。
【解析】
根据三角形三边关系验证各选项：
A. 较短边为1cm、2cm，求和得1+2=3cm，等于最长边3cm，不能组成三角形；
B. 较短边为2cm、3cm，求和得2+3=5cm，小于最长边5.5cm，不能组成三角形；
C. 较短边为5cm、8cm，求和得5+8=13cm，大于最长边12cm，满足三边关系，可以组成三角形；
D. 较短边为4cm、5cm，求和得4+5=9cm，等于最长边9cm，不能组成三角形。
综上，符合条件的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形构成条件的基础应用题，掌握简便判断方法可快速解题，需注意两边之和等于第三边时无法构成三角形，避免因粗心误选。
【难度系数】
0.8

2.如果三角形有两个内角的和是$100°$，那么这个三角形是 （）

A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.不能确定

2.D

【分析】
解题时首先回忆三角形内角和的性质，先计算出第三个内角的度数，再分类讨论和为100°的两个内角的可能情况，结合三角形按角分类的标准判断三角形类型，注意不能仅凭单个锐角就判定三角形为锐角三角形，要全面考虑所有可能性。
【解析】
根据三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°。
已知两个内角的和是100°，可求出第三个内角的度数为：$180°-100°=80°$。
接下来分析和为100°的两个内角的三种可能情况：
1. 若两个角包含1个直角（如$90°+10°=100°$），则该三角形是直角三角形；
2. 若两个角包含1个钝角（如$95°+5°=100°$），则该三角形是钝角三角形；
3. 若两个角都是锐角（如$50°+50°=100°$），则三个内角均为锐角，该三角形是锐角三角形。
因此该三角形的类型存在多种可能，无法确定。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；三角形的分类
【点评】
本题易错点是仅根据第三个内角为80°就误判为锐角三角形，忽略了另外两个内角可能存在直角或钝角的情况，解题时要全面分析所有可能的情形，牢记三角形按角分类的判定规则。
【难度系数】
0.6

3. 已知$△ ABC$中，$AB=6$，$BC=4$，那么边$AC$的长可能是下列哪个值？（）

A.11
B.5
C.2
D.1

3.B

【分析】
本题考查三角形三边关系的应用，解题思路是先根据三角形三边关系确定第三边AC的取值范围，再逐一判断选项中的数值是否在该范围内即可。首先明确三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，已知两条边AB、BC的长度，代入即可求出AC的取值范围，最后匹配选项得到答案。
【解析】
根据三角形三边关系：任意两边之差＜第三边＜任意两边之和。
已知AB=6，BC=4，可得：
$AB - BC ＜ AC ＜ AB + BC$
代入数值计算：$6 - 4 ＜ AC ＜ 6 + 4$，即$2 ＜ AC ＜ 10$。
逐一判断选项：
A.11＞10，不符合范围，排除；
B.$2＜5＜10$，符合范围；
C.2等于两边之差，不能构成三角形，排除；
D.1＜2，不符合范围，排除。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形三边关系的实际应用，解题时需注意第三边的取值范围不包含端点，只有当第三边严格大于两边之差、严格小于两边之和时，三条线段才能构成三角形。
【难度系数】
0.9

4. 如图是一个只露出了一个角的三角形，下列说法中错误的是（）

A.如果这个露出的角是直角，那么它一定是直角三角形
B.如果这个露出的角是钝角，那么它一定是钝角三角形
C.即使这个露出的角是锐角，那么它也不可能是直角三角形
D.即使这个露出的角是锐角，那么它也有可能是钝角三角形

4.C

【分析】
首先明确两个核心依据：①三角形内角和为180°，因此一个三角形中最多只能有1个直角或1个钝角，剩余的角均为锐角；②三角形按角分类的规则：有1个角是直角的三角形是直角三角形，有1个角是钝角的三角形是钝角三角形，三个角都是锐角的才是锐角三角形。解题时我们逐个分析选项：若露出的角是直角或钝角，可直接判定三角形的类型；若露出的是锐角，剩余两个角可能存在直角、钝角或均为锐角，三种三角形类型都有可能，据此判断错误选项即可。
【解析】
根据三角形内角和为180°可知：一个三角形中最多有1个直角或1个钝角，其余角均为锐角。
对各选项逐一判断：
A. 若露出的角是直角，说明该三角形存在直角，符合直角三角形的定义，一定是直角三角形，该选项表述正确，不符合题意；
B. 若露出的角是钝角，说明该三角形存在钝角，符合钝角三角形的定义，一定是钝角三角形，该选项表述正确，不符合题意；
C. 若露出的角是锐角，剩余两个角中有可能存在直角，此时三角形就是直角三角形，因此“不可能是直角三角形”的表述错误，该选项符合题意；
D. 若露出的角是锐角，剩余两个角中有可能存在钝角，此时三角形就是钝角三角形，因此“有可能是钝角三角形”的表述正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和、三角形按角分类
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是误以为只要有一个锐角的三角形就是锐角三角形，实际上仅通过一个锐角无法确定三角形的类型，需要结合另外两个角的特征判断，掌握三角形角的性质和分类规则是解题的关键。
【难度系数】
0.8

5.若三角形三边长分别为2，x，3，则x的取值范围是。

5.1＜x＜5

【分析】
本题需运用三角形三边关系求解，解题思路如下：首先回忆三角形三边的核心性质：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知三角形两条边长为2和3，第三边x的取值需同时满足大于两边之差、小于两边之和，以此为依据列不等式计算即可得到结果。
【解析】
解：根据三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
可得第三边x需要满足：
$3-2 ＜ x ＜ 3+2$
计算得：$1 ＜ x ＜ 5$
【答案】
1＜x＜5
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题，解题关键是熟记三边关系定理，直接代入已知边长计算即可，做题时需注意不要混淆两边差和两边和的位置，避免写错不等号方向。
【难度系数】
0.9

6.如图：
(1)图中有个三角形。
(2)在△ACD中，∠C所对的边是。
(3)以AD为公共边的三角形有。

6.(1)3 (2)AD (3)△ABD,△ACD

【分析】
(1) 数三角形个数时要按顺序枚举，避免漏数或重复：先数单个的小三角形，再数由小三角形组合而成的大三角形，求和即可得到总个数；
(2) 明确三角形中角的对边定义：三角形中某一个角的对边，是不包含该角顶点的边，按照这个规则找△ACD中∠C的对边即可；
(3) 公共边是多个三角形共有的边，先找出所有含AD边的三角形，就是以AD为公共边的三角形。
【解析】
(1) 逐个枚举图中的三角形：△ABD、△ACD、△ABC，共3个；
(2) 在△ACD中，∠C的顶点是C，剩余两个顶点为A、D，因此∠C所对的边是AD；
(3) 观察图形，包含AD边的三角形有△ABD和△ACD，所以以AD为公共边的三角形是这两个。
【答案】
(1)3；(2)AD；(3)△ABD，△ACD
【知识点】
三角形的识别、三角形边角对应关系、公共边判断
【点评】
本题是三角形认识的基础题，主要考查三角形的基础概念，解题时注意按顺序数三角形避免出错，牢记角与对边的对应规则就能轻松解答。
【难度系数】
0.9

7. 在$△ ABC$中，$∠ A:∠ B:∠ C=1:3:6$，三个内角中最大内角的度数为________，$△ ABC$的形状为________。

7.108° 钝角三角形

【分析】
解题时首先回忆三角形内角和为180°的性质，已知三个内角的度数比，我们可以通过设每份度数为未知数的方式，分别表示出三个内角的度数，再根据内角和列方程求出未知数的值，进而算出最大内角的度数；最后根据最大内角的度数判断三角形的形状：若最大角大于90°为钝角三角形，等于90°为直角三角形，小于90°为锐角三角形。
【解析】
设∠A的度数为$x$，由$∠ A:∠ B:∠ C=1:3:6$可得：$∠ B=3x$，$∠ C=6x$。
根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为$180°$，因此列方程：
$x+3x+6x=180°$
合并同类项得：$10x=180°$
解得：$x=18°$
所以最大内角$∠ C=6x=6×18°=108°$。
因为$108°＞90°$，属于钝角，因此$△ ABC$是钝角三角形。
【答案】
$108°$；钝角三角形
【知识点】
三角形内角和定理；三角形按角分类
【点评】
本题属于三角形基础题型，核心考查三角形内角和的应用以及三角形形状的判断，解题的关键是结合角度比例设参数，利用内角和建立方程求解，掌握基础概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.9

8. 判断下列所给的三条线段是否能围成三角形。
(1)5cm,5cm,acm(0＜a＜10)。
(2)a+1,a+2,a+3。
(3)三条线段之比为2:3:5。

8.(1)5+5=10,因为 0＜a＜10,所以 5+5＞a,因而能构成三角形。
(2)当a=0时,a+1+a+2=2a+3=3,因而不能组成三角形。
(3)因为3条线段之比为2:3:5,所以设三条线段分别为2k,3k,5k,因为2k+3k=5k,因而不能组成三角形。

【分析】
判断三条线段能否围成三角形的核心依据是三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，为简化计算，只需验证较短两条边的和是否大于最长边即可。各小问思考路径如下：
(1) 已知两条边长均为5cm，且a的取值范围为0＜a＜10，只需验证较短两边之和与第三边的大小关系即可。
(2) 三条边均含参数a，先确定最长边为a+3，计算较短两边的和后，结合a的取值判断是否满足三边关系，注意边长需为正数。
(3) 已知三边比例，可设参数k表示三条边的长度，再验证较短两边和与最长边的大小关系即可。
【解析】
判断依据：三角形任意两边之和大于第三边，通常只需验证较短两边之和大于最长边即可。
(1) 两条边长均为5cm，由0＜a＜10可得，较短两边的和为5+5=10，显然10＞a；同时a＞0，因此5+a＞5，满足三边关系，能构成三角形。
(2) 三条边中最长边为a+3，较短两边的和为(a+1)+(a+2)=2a+3。当a=0时，2a+3=3，等于最长边a+3=3，不满足两边之和大于第三边，此时不能组成三角形；若a≤0，边长a+1可能为非正数，不符合线段长度要求，因此未限定a＞0时无法保证能围成三角形。
(3) 设三条线段的长度分别为2k、3k、5k（k＞0），较短两边的和为2k+3k=5k，等于最长边5k，不满足两边之和大于第三边，因此不能组成三角形。
【答案】
(1)能构成三角形；
(2)当a=0时不能组成三角形，仅当a＞0时可以组成三角形；
(3)不能组成三角形。
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 参数法解题
【点评】
本题重点考查三角形三边关系的应用，使用“验证较短两边之和大于最长边”的方法可简化计算过程，解题时需注意参数的取值范围，避免忽略特殊情况导致判断错误。
【难度系数】
0.7