7.(期中·部分区)已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为8，则它的周长是()

A.11
B.14
C.19
D.14或19

7. C 【解析】①若腰长为 3,底边长为 8,则三边长分别为 3,3,8.
∵ 3+3=6＜8,不满足两边之和大于第三边,
∴ 不能构成三角形；②若腰长为 8,底边长为 3,则三边长分别为 8,8,3；
∵ 8+3=11＞8,8+8=16＞3,满足三边关系,
∴ 可以构成三角形,周长为 8+8+3=19.故选 C.

8.(期末·南开区)若一等腰三角形的周长为27,且两边长的差为12,则这个等腰三角形的腰长为()

A.13
B.5
C.5或13
D.1

8. A 【解析】设等腰三角形的腰长为 x,则底边长为 x−12 或 x+12.当底边长为 x−12 时,根据题意,得 2x+x−12=27,解得 x=13.此时三边长为 13,13,1.因为 1+13＞13,所以可以构成三角形.当底边长为 x+12 时,根据题意,得 2x+x+12=27,解得 x=5.此时三边长为 5,5,17.因为 5+5＜17,所以不能构成三角形.故这个等腰三角形的腰长为 13.故选 A.

9.(期中·天津南开翔宇学校)在等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将三角形ABC的周长分成27和18两部分.求这个等腰三角形的腰长及底边长.

9.【解】
∵ BD是AC边上的中线,
∴ AD=CD=$\dfrac{1}{2}$AC.
∵ AB=AC,
∴ 设AB=AC=2x,BC=y,则AD=CD=x.
分两种情况：
① $\begin{cases}2x+x=27,\\x+y=18,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=9,\\y=9,\end{cases}$
∴ AB=AC=18,
∴ 这个等腰三角形的腰长为 18,底边长为 9.
② $\begin{cases}2x+x=18,\\x+y=27,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=6,\\y=21,\end{cases}$
∴ AB=AC=12,
∴ 这个等腰三角形的腰长为 12,底边长为 21.
综上所述,这个等腰三角形的腰长为 18,底边长为 9 或腰长为 12,底边长为 21.

10. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，点$O$在高$AE$上，且$OA=OB$，连接$BO$并延长，交$AC$于点$D$。
(1)求证：$∠ BAC=2∠ ABD$。
(2)若$△ BCD$是等腰三角形，求$∠ BAC$的度数。

10.【解】(1)
∵AB=AC,AE⊥BC,
∴∠BAC=2∠BAE.
∵OA=OB,
∴∠ABD=∠BAE,
∴∠BAC=2∠ABD.
(2)
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C.
①当BD=BC时,∠C=∠BDC.
∵∠ABD=∠BAE=∠CAE,
∴∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD.
设∠ABD=α,则∠BAC=2α,∠BDC=∠C=∠ABC=3α,
∴2α+3α+3α=180°,
∴2α=45°,
∴∠BAC=45°.
②当BC=CD时,∠CBD=∠CDB,
同①理得∠CBD=∠CDB=3∠ABD.
设∠ABD=α,则∠BAC=2α,∠CBD=∠CDB=3α,
∴∠ABC=∠C=4α.
∵∠ABC+∠C+∠BAC=180°,
∴4α+4α+2α=180°,
∴2α=36°,
∴∠BAC=36°.
③由图知,BD≠CD.
综上,若△BCD是等腰三角形,∠BAC的度数为45°或36°.