8. 如图,在平行四边形ABCD中,AB=5,对角线AC,BD相交于点O,AC+BD=14,则△COD的周长为
()

A.12
B.14
C.15
D.19

8.A 【解析】因为四边形ABCD是平行四边形,所以$AO=CO=\frac{1}{2}AC$,$BO=DO=\frac{1}{2}BD$,$AB=CD=5$,所以$CO+DO=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}(AC+BD)=7$,所以$△COD$的周长为$CO+DO+CD=7+5=12$。

【分析】
要计算△COD的周长，需明确周长为三边之和，即CO + OD + CD。根据平行四边形的性质，对边相等、对角线互相平分，可先求出CD的长度，再结合已知的AC+BD=14，求出CO与OD的和，最后相加得到周长。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB = CD（平行四边形对边相等），
AO = CO = $\frac{1}{2}$AC，BO = DO = $\frac{1}{2}$BD（平行四边形对角线互相平分）。
已知AB=5，
∴CD=5。
又
∵AC + BD=14，
∴CO + OD = $\frac{1}{2}$AC + $\frac{1}{2}$BD = $\frac{1}{2}$(AC + BD) = $\frac{1}{2}$×14 =7。
∴△COD的周长= CO + OD + CD =7 +5=12。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质
【点评】
本题考查平行四边形的基础性质，利用对边相等、对角线互相平分的性质即可快速求解，属于常规基础题，难度较低。
【难度系数】
0.6

9. 如图,四边形AOEF是平行四边形,B是OE的中点,延长FO至点C,使$FO=3OC$,联结AB,AC,BC,则在$△ ABC$中,$S_{△ ABO}:S_{△ AOC}:S_{△ BOC}=$（）

A.$6:2:1$
B.$3:2:1$
C.$6:3:2$
D.$4:3:2$

9.B 【解析】如图,联结BF。设平行四边形AOEF的面积为4m。因为四边形AOEF是平行四边形,所以$AF// OE$,$S_{△AOF}=S_{△EOF}=\frac{1}{2}S_{平行四边形AOEF}=2m$。因为B是OE的中点,$AF// OE$,所以$S_{△OBF}=S_{△ABO}=\frac{1}{2}S_{△EOF}=m$。因为$FO=3OC$,所以$S_{△BOC}=\frac{1}{3}S_{△OBF}=\frac{1}{3}m$,$S_{△AOC}=\frac{1}{3}S_{△AOF}=\frac{2}{3}m$,所以$S_{△ABO}:S_{△AOC}:S_{△BOC}=m:\frac{2}{3}m:\frac{1}{3}m=3:2:1$。

【分析】要计算△ABC中三个小三角形的面积比，需利用平行四边形的性质及三角形面积与底的比例关系。先联结辅助线BF，设定平行四边形AOEF的面积，再根据平行四边形对角线平分面积、中点性质、线段FO与OC的比例，分别求出△ABO、△AOC、△BOC的面积，进而得到它们的比值。
【解析】联结BF，设平行四边形AOEF的面积为4m。
因为四边形AOEF是平行四边形，所以AF//OE，且平行四边形的对角线将其分为面积相等的两部分，故$S_{△AOF}=S_{△EOF}=\frac{1}{2}S_{平行四边形AOEF}=2m$。
因为B是OE的中点，且AF//OE，△OBF与△ABO等底同高，△OBF与△EOF同高且底为一半，所以$S_{△OBF}=\frac{1}{2}S_{△EOF}=m$，因此$S_{△ABO}=S_{△OBF}=m$。
已知$FO=3OC$，对于同高的△AOC和△AOF，面积比等于底的比，故$S_{△AOC}=\frac{1}{3}S_{△AOF}=\frac{1}{3}×2m=\frac{2}{3}m$；同理，同高的△BOC和△OBF，面积比等于底的比，故$S_{△BOC}=\frac{1}{3}S_{△OBF}=\frac{1}{3}m$。
因此，$S_{△ABO}:S_{△AOC}:S_{△BOC}=m:\frac{2}{3}m:\frac{1}{3}m=3:2:1$。
【答案】B
【知识点】平行四边形性质、三角形面积比
【点评】本题通过联结辅助线，利用平行四边形的面积性质和同高三角形的面积比等于底之比的规律，简化了面积计算，关键在于合理设定面积和利用线段比例关系。
【难度系数】0.5

10. (2025·杭州市余杭区期末模拟)如图，D，E分别为等边三角形ABC中CA，CB延长线上的点，且$BE = CD$，O为BC的中点，M为DE的中点。设$AB = x$，$AD = y$，若要知道OM的值，只需知道下列代数式的值是（）

A.$x^2 + y^2$
B.$xy$
C.$x - y$
D.$x + y$

10.D 【解析】如图,延长BC到点P,使$CP=CD$,联结PD,过点C作$CQ⊥PD$于点Q,则$∠CQD=90°$,$DQ=PQ=\frac{1}{2}PD$。因为$△ABC$是等边三角形,D,E分别为CA,CB延长线上的点,且$BE=CD$,O为BC的中点,所以$∠ACB=60°$,$CP=BE$,$OC=OB$,所以$∠PCD=180°-∠ACB=120°$,$CP+OC=BE+OB$,所以$∠CDQ=∠P=\frac{1}{2}×(180°-120°)=30°$,$OP=OE$,所以$CQ=\frac{1}{2}CD$。因为$AC=AB=x$,$AD=y$,所以$CD=AC+AD=x+y$,所以$DQ=\sqrt{CD^2-CQ^2}=\sqrt{CD^2-(\frac{1}{2}CD)^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}CD=\frac{\sqrt{3}}{2}(x+y)$。因为O为PE的中点,M为DE的中点,所以$OM=\frac{1}{2}PD$,所以$OM=DQ=\frac{\sqrt{3}}{2}(x+y)$,所以若要知道OM的值,只需知道$x+y$的值。

【分析】
要确定OM的值与哪个代数式相关，需利用中点构造中位线转化线段关系。已知O是BC中点，M是DE中点，通过作辅助线将OM转化为某条线段的一半，结合等边三角形、等腰三角形的性质计算该线段长度，进而推导OM与x、y的关系。
【解析】
延长BC到点P，使$CP=CD$，联结PD，过点C作$CQ⊥PD$于点Q。
1. 由等边△ABC的性质：$AC=AB=x$，$∠ACB=60°$，因D在CA延长线上，故$CD=AC+AD=x+y$；又$BE=CD$，$CP=CD$，得$CP=BE$。
2. 因O为BC中点，$OC=OB$，则$OP=OC+CP=OB+BE=OE$，即O是PE中点；又M是DE中点，根据三角形中位线定理，OM是△DPE的中位线，故$OM=\frac{1}{2}PD$。
3. 在△PCD中，$∠PCD=180°-∠ACB=120°$，$CP=CD$，则△PCD为等腰三角形，$∠CDP=∠CPD=30°$。在Rt△CQD中，$CQ=\frac{1}{2}CD$，由勾股定理得$DQ=\sqrt{CD^2 - CQ^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}CD$，故$PD=2DQ=\sqrt{3}CD=\sqrt{3}(x+y)$。
4. 代入$OM=\frac{1}{2}PD$，得$OM=\frac{\sqrt{3}}{2}(x+y)$，即OM的值由$x+y$决定，只需知道$x+y$的值。
【答案】10.D
【知识点】等边三角形性质、三角形中位线定理、等腰三角形性质
【点评】本题通过构造辅助线，利用中位线定理转化线段，结合特殊三角形性质计算，考查几何辅助线构造与定理应用，思路清晰，需掌握中点相关的线段转化方法。
【难度系数】0.4

11.过某个多边形的一个顶点的所有对角线,将这个多边形分成5个三角形,这个多边形是边形。

11.七

【分析】
要确定多边形的边数，需利用多边形对角线的核心性质：过n边形的一个顶点的所有对角线，会将这个多边形分成（n-2）个三角形。题目中已知分成5个三角形，因此可通过该性质列方程求出多边形的边数n，进而确定多边形类型。
【解析】
设这个多边形为n边形。根据多边形的性质：过n边形一个顶点的所有对角线将多边形分成（n-2）个三角形，结合题意可得方程：
n - 2 = 5
解得n = 7，因此这个多边形是七边形。
【答案】
七
【知识点】
多边形的对角线，多边形边数计算
【点评】
本题考查多边形对角线分三角形个数的基础应用，核心是牢记“过n边形一个顶点的对角线分三角形数为n-2”的公式，属于基础题型，只要掌握该公式即可快速解答。
【难度系数】
0.2

12.已知点$M(a,1)$与点$N(-2,b)$关于原点成中心对称，则$a+b=$。

12.1

【分析】要解决本题，需先明确关于原点成中心对称的点的坐标规律：两点关于原点对称时，它们的横、纵坐标均互为相反数。据此可求出a和b的值，再计算a+b的结果。
【解析】因为点$M(a,1)$与点$N(-2,b)$关于原点成中心对称，根据关于原点对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，所以$a = -(-2) = 2$，$b = -1$。因此$a + b = 2 + (-1) = 1$。
【答案】1
【知识点】关于原点对称的点的坐标
【点评】本题为基础题型，核心是掌握关于原点对称的点的坐标变换规律，只要牢记规律即可轻松解答，适合巩固坐标变换的基础知识点。
【难度系数】0.2

13. (2025·宁波市慈溪市期末)如图，D，E分别是$△ ABC$边AB，AC的中点，联结BE，DE。若$∠ AED=∠ BEC$，$DE=2$，则BE的长为________。

13.4

【分析】首先根据D、E是AB、AC中点，利用三角形中位线定理得到DE与BC的数量关系，求出BC的长度；再由DE//BC的平行线性质，结合已知角相等的条件，推出△BEC为等腰三角形，最后利用等腰三角形等角对等边的性质，计算出BE的长度。
【解析】
∵ D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，
∴ DE//BC，且 $ DE = \frac{1}{2}BC $。
已知 $ DE=2 $，代入得 $ BC=2DE=4 $。
∵ DE//BC，
∴ ∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等），
又
∵ $ ∠AED=∠BEC $，
∴ $ ∠BEC=∠C $，
在△BEC中，等角对等边，因此 $ BE=BC=4 $。
【答案】4
【知识点】三角形中位线定理，等腰三角形的性质，平行线的性质
【点评】本题综合考查三角形中位线、平行线性质与等腰三角形的性质，核心是通过中位线得到BC的长度，再利用角的等量关系推导等腰三角形，进而求出BE，属于中等难度的几何基础题。
【难度系数】0.5

14.如图,在四边形ABCD中,AC=7,BD=8,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,则四边形EFGH的周长为。

14.15

【分析】
要计算四边形EFGH的周长，观察到E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，可利用三角形中位线定理求解。三角形中位线定理为：三角形的中位线平行于第三边，且长度等于第三边的一半。四边形EFGH的各边均为相关三角形的中位线，分别对应AC和BD的一半，将各边长度相加即可得到周长。
【解析】
∵ E、F分别是AB、BC的中点，
∴ EF是△ABC的中位线，
∴ EF = ½AC = ½×7 = 3.5；
同理，F、G分别是BC、CD的中点，FG是△BCD的中位线，
∴ FG = ½BD = ½×8 = 4；
G、H分别是CD、DA的中点，GH是△CDA的中位线，
∴ GH = ½AC = 3.5；
H、E分别是DA、AB的中点，HE是△DAB的中位线，
∴ HE = ½BD = 4；
∴ 四边形EFGH的周长 = EF + FG + GH + HE = 3.5 + 4 + 3.5 + 4 = 15。
【答案】
15
【知识点】
三角形中位线定理；中点四边形
【点评】
本题考查三角形中位线定理的应用，核心是利用中点构造中位线，将四边形周长转化为已知对角线长度的和，属于基础题型，需熟练掌握中位线定理的性质。
【难度系数】
0.6

15.如图,在平行四边形ABCD中,∠ABC=72°,AF⊥BC于点F,AF与BD交于点E。若DE=2AB,则∠AED的度数是。

15.66° 【解析】如图,取DE的中点Q,联结AQ。因为四边形ABCD是平行四边形,所以$AD// BC$。因为$AF⊥BC$,所以$FA⊥AD$,所以$DE=2AQ=2DQ$。因为$DE=2AB$,所以$AQ=AB$,所以$∠AQB=∠ABD$。因为$AQ=DQ$,所以$∠QAD=∠ADQ$,所以$∠ABD=∠AQB=∠QAD+∠ADQ=2∠ADQ$。因为$AF⊥BC$,$∠ABC=∠ADC=72°$,所以$∠BAF=90°-72°=18°$。因为$∠ABD+∠ADB+∠BAD=180°$,所以$3∠ADB=180°-90°-18°=72°$,所以$∠ADB=24°$。因为$∠FAD=90°$,所以$∠AED=180°-∠FAD-∠ADE=180°-90°-24°=66°$。

【分析】
要解决本题，核心是利用“DE=2AB”的线段倍分条件构造辅助线。首先根据平行四边形性质得到AD与BC平行，结合AF⊥BC推出AF⊥AD，确定△ADE为直角三角形；取DE中点构造直角三角形斜边中线，将线段倍分关系转化为等腰三角形，再利用等腰三角形、平行四边形的角度性质逐步推导，最终求出目标角的度数。
【解析】
1. 取DE的中点Q，连接AQ。
2. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD//BC，又AF⊥BC，故AF⊥AD，即∠DAE=90°，△ADE为直角三角形。
3. 在Rt△ADE中，Q是DE中点，根据直角三角形斜边中线性质：AQ=½DE=DQ。
4. 已知DE=2AB，因此AQ=AB，△ABQ为等腰三角形，得∠ABQ=∠AQB；又AQ=DQ，△AQD为等腰三角形，得∠QAD=∠ADQ。
5. 由外角性质，∠AQB=∠QAD+∠ADQ=2∠ADQ，即∠ABD=2∠ADB。
6. 平行四边形中∠ABC=72°，故∠BAD=180°-72°=108°；AF⊥BC，得∠BAF=90°-72°=18°，验证∠DAE=∠BAD-∠BAF=90°，符合直角三角形条件。
7. 在△ABD中，∠ABD+∠ADB+∠BAD=180°，代入∠ABD=2∠ADB、∠BAD=108°，解得∠ADB=24°。
8. 在Rt△ADE中，∠AED=180°-∠DAE-∠ADB=180°-90°-24°=66°。
【答案】
66°
【知识点】
平行四边形性质，直角三角形斜边中线，等腰三角形性质
【点评】
本题通过构造直角三角形斜边中线的辅助线，将线段倍分条件转化为等腰三角形，是几何中处理线段倍分问题的常用技巧，对学生辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.4