7.(2025·绍兴市新昌县期末)小明新编描述孙悟空追妖精的数学诗考大家:悟空顺风探妖踪,千里只行四分钟,归时四分行八百,飞速多少才称雄？意思为:孙悟空顺风去查妖精的行踪,4分钟就飞跃1000里,逆风返回时4分钟走了800里。悟空飞行的速度是多少？若设孙悟空飞行的速度为$x$里/分,风速为$y$里/分,则可列方程组为（）

A.$\begin{cases} 4x + y = 800, \\ 4x - y = 1000 \end{cases}$
B.$\begin{cases} 4(x + y) = 800, \\ 4(x - y) = 1000 \end{cases}$
C.$\begin{cases} 4x + y = 1000, \\ 4x - y = 800 \end{cases}$
D.$\begin{cases} 4(x + y) = 1000, \\ 4(x - y) = 800 \end{cases}$

7.D

【分析】首先明确行程问题中顺风、逆风的速度关系：顺风速度 = 悟空飞行速度 + 风速，逆风速度 = 悟空飞行速度 - 风速；再根据“路程=速度×时间”，结合顺风4分钟行1000里、逆风4分钟行800里的条件，分别列出两个方程，组成对应方程组即可选出答案。
【解析】设悟空飞行速度为$x$里/分，风速为$y$里/分。
顺风时，实际速度为$(x + y)$里/分，4分钟飞行1000里，根据路程公式得：$4(x + y) = 1000$；
逆风时，实际速度为$(x - y)$里/分，4分钟飞行800里，根据路程公式得：$4(x - y) = 800$；
因此可列方程组为$\begin{cases} 4(x + y) = 1000 \\ 4(x - y) = 800 \end{cases}$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用；行程问题
【点评】本题是二元一次方程组在行程问题中的基础应用，核心是理解顺风、逆风速度的构成，难度较低，属于学生需掌握的基础题型。
【难度系数】0.7

8. 用图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面,做成如图2所示的竖式和横式两种无盖纸盒,现在仓库里有1 000张正方形纸板和m张长方形纸板,如果做两种纸盒若干个,恰好使库存的纸板用完,则m的值可能是（）

A.2 024
B.2 025
C.2 026
D.2 027

8.B 【解析】设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个,y个。由题意,得$\begin{cases}4x + 3y = m, \\x + 2y = 1000,\end{cases}$两式相加,得$m + 1000 = 5(x + y)$。因为x,y都是正整数,所以$m + 1000$是5的倍数,所以m是5的倍数。因为2024,2025,2026,2027四个数中只有2025是5的倍数,所以m的值可能是2025。

【分析】首先明确两种无盖纸盒的纸板使用量：竖式无盖纸盒需4张长方形纸板和1张正方形纸板，横式无盖纸盒需3张长方形纸板和2张正方形纸板。设两种纸盒的数量分别为x、y，根据正方形和长方形纸板的库存数量列出方程组，通过方程组变形得到m的表达式，结合x、y为正整数的条件，判断m需满足是5的倍数，再从选项中选出符合条件的数。
【解析】设做竖式无盖纸盒x个，横式无盖纸盒y个。根据题意，可得方程组：
$\begin{cases} x + 2y = 1000 \\ 4x + 3y = m \end{cases}$
将两式相加，得：$5x + 5y = m + 1000$，即$5(x + y) = m + 1000$。
因为x、y均为正整数，所以$x + y$是正整数，因此$m + 1000$是5的倍数，即m是5的倍数。
在2024、2025、2026、2027中，只有2025是5的倍数，故m的值可能是2025。
【答案】B
【知识点】二元一次方程组应用，倍数判断
【点评】本题是二元一次方程组的实际应用问题，关键是找准两种纸盒的纸板用量，通过方程组变形结合整数性质确定m的特征，进而求解，难度适中。
【难度系数】0.5

9. 若关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1, \\ a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 2, \\ y = 3,\end{cases}$则关于$x,y$的方程组$\begin{cases}a_1x + b_1y = a_1 - 2b_1 + c_1, \\ a_2x + b_2y = a_2 - 2b_2 + c_2\end{cases}$的解为（ ）

A.$\begin{cases} x = 1, \\ y = 5 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x = 2, \\ y = 3 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x = 3, \\ y = 2 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x = 3, \\ y = 1 \end{cases}$

9.D 【解析】由$\begin{cases}a_1x + b_1y = a_1 - 2b_1 + c_1, \\a_2x + b_2y = a_2 - 2b_2 + c_2,\end{cases}$整理,得$\begin{cases}a_1(x - 1) + b_1(y + 2) = c_1, \\a_2(x - 1) + b_2(y + 2) = c_2。\end{cases}$ 因为二元一次方程组$\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1, \\a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 2, \\y = 3,\end{cases}$所以$\begin{cases}x - 1 = 2, \\y + 2 = 3,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 3, \\y = 1。\end{cases}$

【分析】
本题需运用整体替换的思想求解。首先将待求解的方程组整理为与已知解的原方程组结构一致的形式，通过对比对应变量的关系直接得到新方程组的解。具体步骤为：对待解方程组的每个方程移项、提取公因式变形，使其匹配原方程组的形式，再利用原方程组的解对应列出关于x、y的方程，进而解出结果。
【解析】
对待求解的方程组进行变形：
$\begin{cases}a_1x + b_1y = a_1 - 2b_1 + c_1, \\a_2x + b_2y = a_2 - 2b_2 + c_2\end{cases}$
将每个方程右边的项移到左边，提取公因式整理得：
$\begin{cases}a_1(x - 1) + b_1(y + 2) = c_1, \\a_2(x - 1) + b_2(y + 2) = c_2\end{cases}$
已知原方程组$\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1 \\a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 2 \\y = 3\end{cases}$，因此变形后方程组中，$x -1$对应原方程组的x，$y +2$对应原方程组的y，可得：
$\begin{cases}x -1 = 2 \\y +2 = 3\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 3 \\y = 1\end{cases}$，对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的解，整体思想
【点评】
本题考查二元一次方程组解的性质，核心是运用整体替换的思想，将未知方程组转化为已知解的方程组形式，无需计算系数即可直接求解，是二元一次方程组解的常见应用题型，难度适中。
【难度系数】
0.5

10. 已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}x + 3y = 4 - a, \\ x - y = 3a,\end{cases}$下列结论中正确的有( )
①当这个方程组的解$x,y$的值互为相反数时，$a=-2$。
②当$a=1$时，方程组的解也是方程$x + y = 4 + 2a$的解。
③无论$a$取什么实数，$x + 2y$的值始终不变。
④若用$x$表示$y$，则$y=-\dfrac{x}{2} + \dfrac{3}{2}$。

A.①④
B.①③④
C.②③④
D.①②

10.B 【解析】$\begin{cases}x + 3y = 4 - a, ① \\x - y = 3a, ②\end{cases}$ 当这个方程组的解x,y的值互为相反数时,则$x + y = 0$。由①+②,得$2x + 2y = 4 + 2a$,所以$0 = 2 + a$,解得$a = -2$,故结论①正确;当$a = 1$时,$\begin{cases}x + 3y = 3, \\x - y = 3,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 3, \\y = 0。\end{cases}$ 将$\begin{cases}x = 3, \\y = 0\end{cases}$代入$x + y = 4 + 2a$中,得$3 + 0 = 4 + 2a$,解得$a = -\dfrac{1}{2}$,所以方程组的解不是方程$x + y = 4 + 2a$的解,故结论②错误;由①×3+②,得$3x + 9y + x - y = 12 - 3a + 3a$,所以$4x + 8y = 12$,解得$x + 2y = 3$,所以无论a取什么实数,$x + 2y$的值始终不变,故结论③正确;因为$x + 2y = 3$,所以$y = \dfrac{3 - x}{2} = -\dfrac{x}{2} + \dfrac{3}{2}$,故结论④正确。

【分析】本题是关于二元一次方程组结论的判断问题，解题思路为：先利用加减消元法求解方程组，得到x、y与参数a的关系，再针对每个结论的条件，代入计算或推导，逐一验证结论是否正确，最终确定正确选项。
【解析】解方程组$\begin{cases}x + 3y = 4 - a ① \\x - y = 3a ②\end{cases}$：
1. 验证结论①：若x、y互为相反数，则$x + y = 0$。将①+②得：$2x + 2y = 4 + 2a$，两边同除以2得$x + y = 2 + a$，令$x + y = 0$，则$0 = 2 + a$，解得$a = -2$，故结论①正确。
2. 验证结论②：当$a = 1$时，方程组变为$\begin{cases}x + 3y = 3 \\x - y = 3\end{cases}$，由②得$x = y + 3$，代入①得：$y + 3 + 3y = 3$，解得$y = 0$，则$x = 3$。将$x = 3$，$y = 0$，$a = 1$代入方程$x + y = 4 + 2a$，左边为$3 + 0 = 3$，右边为$4 + 2×1 = 6$，左边≠右边，故结论②错误。
3. 验证结论③：计算$x + 2y$的值，将①×3 +②得：$3(x + 3y) + (x - y) = 3(4 - a) + 3a$，展开得$3x + 9y + x - y = 12 - 3a + 3a$，化简得$4x + 8y = 12$，两边同除以4得$x + 2y = 3$，其值与a无关，故结论③正确。
4. 验证结论④：由结论③知$x + 2y = 3$，移项得$2y = 3 - x$，两边同除以2得$y = \frac{3 - x}{2} = -\frac{x}{2} + \frac{3}{2}$，故结论④正确。
综上，正确的结论为①③④，对应选项B。
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的解法，二元一次方程组的解，代数式变形
【点评】本题综合考查二元一次方程组的解的性质与解法，需熟练运用加减消元法，结合各结论的条件逐一推导验证，是一道中等难度的基础题，重点考查学生的逻辑分析能力。
【难度系数】0.6

11. (2024·金华市义乌市期末)已知方程$2x + y = 5$，用含$x$的代数式表示$y$，则$y=$。

11.$5 - 2x$

【分析】本题要求用含$x$的代数式表示$y$，核心是将二元一次方程中的$y$单独分离，只需利用移项法则，把含$x$的项移到等号另一侧，移项时需注意符号变化。
【解析】已知方程$2x + y = 5$，将$2x$移到等号右边，移项后变号，可得$y = 5 - 2x$。
【答案】$5 - 2x$
【知识点】二元一次方程变形；移项法则
【点评】本题是二元一次方程的基础变形题，考查移项的基本操作，属于基础题型，学生只要掌握移项变号的规则即可轻松解答。
【难度系数】0.9

12. 若$\begin{cases}x=2, \\ y=-1\end{cases}$是关于$x,y$的方程$3x - 2y = 2m$和$5x + y = 3n$的公共解，则$m + n =$ ______ 。

12.7

【分析】首先明确“公共解”的含义：即该组x、y的值同时满足两个方程，解题时需将已知的x、y值分别代入两个方程，得到关于m、n的一元一次方程，解出m、n后再计算m+n的值。
【解析】把$\begin{cases}x=2 \\ y=-1\end{cases}$代入方程$3x - 2y = 2m$，得：
$3×2 - 2×(-1) = 2m$
计算左边：$6 + 2 = 8$，即$2m = 8$，解得$m = 4$；
再把$\begin{cases}x=2 \\ y=-1\end{cases}$代入方程$5x + y = 3n$，得：
$5×2 + (-1) = 3n$
计算左边：$10 - 1 = 9$，即$3n = 9$，解得$n = 3$；
所以$m + n = 4 + 3 = 7$。
【答案】7
【知识点】二元一次方程的解，代入法求值
【点评】本题考查二元一次方程公共解的概念，核心是利用“公共解满足所有相关方程”的性质，通过代入法求解参数，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8

13. 数学文化 在《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成，如图1，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数$x,y$的系数与相应的常数，图1的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表达就是$\begin{cases} 3x + 2y = 19, \\ x + 4y = 23, \end{cases}$则图2所示的算筹图所表示的方程组的解为________。

13.$\begin{cases} x = 3, \\ y = 5 \end{cases}$

【分析】首先根据题目给出的图1算筹对应的二元一次方程组，明确算筹表示方程组的规则：每行从左到右依次为未知数x的系数、y的系数、常数项。接着对应图2的算筹，提取出x、y的系数和常数项，写出对应的二元一次方程组，再通过消元法求解该方程组，即可得到答案。
【解析】根据图1的算筹对应规则，分析图2的算筹：
图2第一行：x的系数为2，y的系数为1，常数项为11，对应方程：$2x + y = 11$；
图2第二行：x的系数为4，y的系数为3，常数项为27，对应方程：$4x + 3y = 27$；
解方程组$\begin{cases} 2x + y = 11 &① \\ 4x + 3y = 27 &② \end{cases}$
由①得：$y = 11 - 2x$ ③
把③代入②，得：$4x + 3(11 - 2x) = 27$
去括号：$4x + 33 - 6x = 27$
合并同类项：$-2x = -6$
解得：$x = 3$
把$x = 3$代入③，得：$y = 11 - 2×3 = 5$
所以方程组的解为$\begin{cases} x = 3 \\ y = 5 \end{cases}$
【答案】$\begin{cases} x = 3, \\ y = 5 \end{cases}$
【知识点】二元一次方程组、数学文化、算筹记数
【点评】本题结合古代算筹文化考查二元一次方程组的解法，关键是理解算筹的表示规则，将算筹转化为现代方程组，体现了数学文化的应用，难度适中。
【难度系数】0.5