1. (2024·呼伦贝尔中考)点$P(x,y)$在直线$y=-\dfrac{3}{4}x+4$上,坐标$(x,y)$是二元一次方程$5x-6y=33$的解,则点$P$的位置在().

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

解方程组$\begin{cases}y=-\dfrac{3}{4}x+4,\\5x-6y=33,\end{cases}$得$\begin{cases}x=6,\\y=-\dfrac{1}{2},\end{cases}$
$\therefore P(6,-\dfrac{1}{2}),\therefore P$在第四象限. 故选D.

2. 已知一次函数 $y=2x+m$ 和 $y=3x+2m$ 的图象的交点的横坐标为 1,则 $m=$.

把$x=1$代入$y=2x+m$,得$y=2+m$;把$x=1$代入$y=3x+2m$,得$y=3+2m$.
所以$2+m=3+2m$,解得$m=-1$.

3. (2024·南通崇川区启秀中学月考)已知点 $A\ (a\ ,b)$，$B(c ,d)$ 在第一象限，$a ,b ,c ,d$ 均为整数，且
$\begin{cases} x=a\ ,\\ y=b\ , \end{cases}\begin{cases} x=c\ ,\\ y=d \end{cases}$
满足方程 $3x+2y=13.$
(1)求 $A,B$ 两点坐标；
(2)若在直线 $AB$ 上的点横、纵坐标均为上面方程的解，则直线 $AB$ 叫作方程 $3x+2y=13$ 的图象，已知点 $P(m,n)$ 是线段 $AB$ 上一点，写出 $m$ 和 $n$ 的关系式(用 $n$ 表示 $m$)，并写出 $m$ 的取值范围.

(1)方程$3x+2y=13$,解得$x=\dfrac{13-2y}{3}$,
当$y=2$时,$x=3$;$y=5$时,$x=1$,
则方程的所有正整数解为$\begin{cases}x=3,\\y=2,\end{cases}\begin{cases}x=1,\\y=5.\end{cases}$
$\because$点$A(a,b)$,$B(c,d)$在第一象限,$a,b,c,d$均为整数,且$\begin{cases}x=a,\\y=b,\end{cases}\begin{cases}x=c,\\y=d\end{cases}$满足方程$3x+2y=13$,
$\therefore A(1,5),B(3,2)$或$A(3,2),B(1,5)$.
(2)$\because$点$P(m,n)$是线段$AB$上一点，
$\therefore m=\dfrac{13-2n}{3}(1≤ m≤ 3)$.

4. 教材P170例·变式 如图,在平面直角坐标系中,直线$y = 2x + b$与直线$y = - 3x + 6$相交于点$A$,则关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}y=2x+b,\\ y=-3x+6\end{cases}$的解是( ).

A.$\begin{cases} x=2,\\ y=0 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=1,\\ y=3 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=-1,\\ y=9 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=3,\\ y=1 \end{cases}$

由图象可得两直线的交点坐标是$(1,3)$,
$\therefore$方程组$\begin{cases}y=2x+b,\\y=-3x+6\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=1,\\y=3.\end{cases}$故选B.
归纳总结 本题考查一次函数与二元一次方程组的关系,解题的关键是理解两直线交点坐标中$x$与$y$的值为两直线对应的两个函数关系式组成的方程组的解.

5. 如图,直线 $y=kx(k ≠ 0)$ 与 $y=ax+b(a ≠ 0)$ 在第二象限交于 $A$,$y=ax+b$ 交 $x$ 轴于 $B$,且$AB=AO$,$BO=8$,$S_{△ ABO}=12$, 则方程组
$\begin{cases} y=kx\ ,\\ y=ax+b \end{cases}\mathrm{的解为(}\quad\mathrm{).}$
$\mathrm{A. }\begin{cases} x=-4\ ,\\ y=3 \end{cases}$
$\mathrm{B. }\begin{cases} x=-3\ ,\\ y=4 \end{cases}$
$\mathrm{C. }\begin{cases} x=-3\ ,\\ y=-4 \end{cases}$
$\mathrm{D. }\begin{cases} x=-4\ ,\\ y=-3 \end{cases}$

如图,过点$A$作$AH⊥ x$轴于点$H$.

$\because AB=AO,\therefore BH=OH=\dfrac{1}{2}OB=4.$
$\because S_{△ ABO}=12,\therefore \dfrac{1}{2}OB· AH=12,$
$\therefore AH=\dfrac{12× 2}{8}=3,\therefore A(-4,3),$
$\therefore$方程组$\begin{cases}y=kx,\\y=ax+b\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=-4,\\y=3.\end{cases}$故选A.

6. (2025·扬州宝应期末) 已知直线 $y=2x+1$ 与 $y=$ $kx-b$ 的交点为 $(-2,a)$，则方程组 $\begin{cases}y=2x+1,\\ y=kx-b\end{cases}$ 的解为 ______ 。

把$(-2,a)$代入$y=2x+1$,得$a=(-2)×2+1=-3$,即直线$y=2x+1$与$y=kx-b$的交点为$(-2,-3)$,则方程组$\begin{cases}y=2x+1,\\y=kx-b\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=-2,\\y=-3.\end{cases}$

7. (2024·山东菏泽东明期末)如图,过点$(0,-2)$的直线$l_{1}:y=kx+b(k ≠ 0)$与直线$l_{2}:y=x+1$交于点$P(2,m)$.
(1)求点$P$的坐标和直线$l_{1}$的表达式;
(2)根据图象直接写出方程组$\begin{cases} y=kx+b,\\ y=x+1\\ \end{cases}$的解.

(1)把$P(2,m)$代入$y=x+1$,得$m=3$,
则点$P$的坐标为$(2,3)$.
把$(0,-2),(2,3)$代入$y=kx+b$,得$\begin{cases}b=-2,\\2k+b=3,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\dfrac{5}{2},\\b=-2.\end{cases}$所以直线$l_1$的表达式为$y=\dfrac{5}{2}x-2$.
(2)因为直线$l_1:y=kx+b(k≠0)$与直线$l_2:y=x+1$交于点$P(2,3)$,所以方程组$\begin{cases}y=kx+b,\\y=x+1\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=2,\\y=3.\end{cases}$