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10. (2025·镇江丹阳期末)已知一次函数 $y=kx+b(k ≠ 0)$ 的图象经过点 $A(0,-3)$, 且与正比例函数 $y=\dfrac{1}{2}x$ 的图象相交于点 $B(2,m)$. 求:
(1)$m$ 的值;
(2)$k,b$ 的值;
(3)$△ AOB$ 的面积.
(1)$m$ 的值;
(2)$k,b$ 的值;
(3)$△ AOB$ 的面积.
答案
(1)
∵点 $B(2,m)$ 在正比例函数 $y=\dfrac{1}{2}x$ 的图象上，
∴$m=\dfrac{1}{2}×2=1$。
(2)
∵一次函数 $y=kx+b(k≠0)$ 的图象经过点 $A(0,-3),B(2,1)$，
$\begin{cases}b=-3,\\2k+b=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2,\\b=-3,\end{cases}$
∴$k=2,b=-3$。
(3)$S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}×3×2=3$。
∵点 $B(2,m)$ 在正比例函数 $y=\dfrac{1}{2}x$ 的图象上，
∴$m=\dfrac{1}{2}×2=1$。
(2)
∵一次函数 $y=kx+b(k≠0)$ 的图象经过点 $A(0,-3),B(2,1)$，
$\begin{cases}b=-3,\\2k+b=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2,\\b=-3,\end{cases}$
∴$k=2,b=-3$。
(3)$S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}×3×2=3$。
11. (2023·天津中考)已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上,文具店离宿舍0.6 km,体育场离宿舍1.2 km,小强从宿舍出发,先用了10 min匀速跑步去体育场,在体育场锻炼了30 min,之后匀速步行了10 min到文具店买笔,在文具店停留10 min后,用了20 min匀速散步返回宿舍,下面图中$x$表示时间,$y$表示离宿舍的距离.图象反映了这个过程中小强离宿舍的距离与时间之间的对应关系.
请根据相关信息,回答下列问题:
(1)①填表:
②填空:小强从体育场到文具店的速度为
③当$50 ≤ x ≤ 80$时,请直接写出小强离宿舍的距离$y$关于时间$x$的函数表达式.
(2)当小强离开体育场15 min时,同宿舍的小明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍,如果小明的速度为0.06 km/min,那么他在回宿舍的途中遇到小强时离宿舍的距离是多少?(直接写出结果即可)
请根据相关信息,回答下列问题:
(1)①填表:
②填空:小强从体育场到文具店的速度为
0.06
km/min.③当$50 ≤ x ≤ 80$时,请直接写出小强离宿舍的距离$y$关于时间$x$的函数表达式.
(2)当小强离开体育场15 min时,同宿舍的小明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍,如果小明的速度为0.06 km/min,那么他在回宿舍的途中遇到小强时离宿舍的距离是多少?(直接写出结果即可)
答案
(1)①0.12 1.2 0.6 解析：由图象可知，小强从宿舍到体育场的速度为 $1.2÷10=0.12(\mathrm{km/min})$，
∴当小强离开宿舍1 min时，小强离宿舍的距离为 $0.12×1=0.12(\mathrm{km})$；
当小强离开宿舍20 min时，小强离宿舍的距离为 $1.2\ \mathrm{km}$；
当小强离开宿舍60 min时，小强离宿舍的距离为 $0.6\ \mathrm{km}$。
②0.06 解析：由图象知，小强从体育场到文具店的速度为$\dfrac{1.2-0.6}{50-40}=0.06(\mathrm{km/min})$。
③当 $50＜x≤ 60$ 时，$y=0.6$；小强从文具店到宿舍时的速度为 $\dfrac{0.6}{80-60}=0.03(\mathrm{km/min})$，
∴当 $60＜x≤ 80$ 时，$y=2.4-0.03x$。
综上所述，$y$ 关于 $x$ 的函数表达式为
$y=\begin{cases}0.6(50＜x≤ 60),\\2.4-0.03x(60＜x≤ 80).\end{cases}$
(2)根据题意，当小强离开体育场15 min时，小强到达文具店并停留了5 min，
设小明从体育场出发 $x$ 分钟后与小强相遇，
则 $0.06x=0.03(x-5)+0.6$，解得 $x=15$，
∴$1.2-0.06×15=0.3(\mathrm{km})$，
∴离宿舍的距离是 $0.3\ \mathrm{km}$。
∴当小强离开宿舍1 min时，小强离宿舍的距离为 $0.12×1=0.12(\mathrm{km})$；
当小强离开宿舍20 min时，小强离宿舍的距离为 $1.2\ \mathrm{km}$；
当小强离开宿舍60 min时，小强离宿舍的距离为 $0.6\ \mathrm{km}$。
②0.06 解析：由图象知，小强从体育场到文具店的速度为$\dfrac{1.2-0.6}{50-40}=0.06(\mathrm{km/min})$。
③当 $50＜x≤ 60$ 时，$y=0.6$；小强从文具店到宿舍时的速度为 $\dfrac{0.6}{80-60}=0.03(\mathrm{km/min})$，
∴当 $60＜x≤ 80$ 时，$y=2.4-0.03x$。
综上所述，$y$ 关于 $x$ 的函数表达式为
$y=\begin{cases}0.6(50＜x≤ 60),\\2.4-0.03x(60＜x≤ 80).\end{cases}$
(2)根据题意，当小强离开体育场15 min时，小强到达文具店并停留了5 min，
设小明从体育场出发 $x$ 分钟后与小强相遇，
则 $0.06x=0.03(x-5)+0.6$，解得 $x=15$，
∴$1.2-0.06×15=0.3(\mathrm{km})$，
∴离宿舍的距离是 $0.3\ \mathrm{km}$。
12. (2023·金华中考)兄妹俩放学后沿图(1)中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变；妹妹骑车，到书吧前的速度为200米/分，图(2)中的图象分别表示两人离学校的路程$s$(米)与哥哥离开学校的时间$t$(分)的函数关系.
(1)求哥哥步行的速度.
(2)已知妹妹比哥哥迟2分钟到书吧.
①求图中$a$的值.
②妹妹在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的1.6倍，能在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄妹俩离家还有多远；若不能，说明理由.
(1)求哥哥步行的速度.
(2)已知妹妹比哥哥迟2分钟到书吧.
①求图中$a$的值.
②妹妹在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的1.6倍，能在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄妹俩离家还有多远；若不能，说明理由.
答案
(1)由 $A(8,800)$ 可知哥哥的速度为 $800÷8=100$(米/分)。
(2)①
∵妹妹骑车到书吧前的速度为200米/分，
∴妹妹所用时间 $t$ 为 $800÷200=4$(分)。
∵妹妹比哥哥迟2分钟到书吧，
∴$a=8+2-4=6$。
②由(1)可知，哥哥的速度为100米/分，
∴设 $BC$ 所在直线的表达式为 $s_1=100t+b$，将 $B(17,800)$ 代入，得 $800=100×17+b$，解得 $b=-900$，
∴$BC$ 所在直线的表达式为 $s_1=100t-900$。
当 $s_1=1\ 900$ 时，$t_{\mathrm{哥哥}}=28$。
∵返回时妹妹的速度是哥哥的1.6倍，
∴妹妹的速度是160米/分，
∴设妹妹返回时的表达式为 $s_2=160t+n$，将 $F(20,800)$ 代入，得 $800=160×20+n$，解得 $n=-2\ 400$，
∴$s_2=160t-2\ 400$。
令 $s_1=s_2$，则有 $100t-900=160t-2\ 400$，解得 $t=25＜28$，
∴妹妹能追上哥哥，此时哥哥所走的路程为 $800+(25-17)×100=1\ 600$(米)，兄妹俩离家还有 $1\ 900-1\ 600=300$(米)。
故妹妹能追上哥哥，追上时兄妹俩离家300米远。
(2)①
∵妹妹骑车到书吧前的速度为200米/分，
∴妹妹所用时间 $t$ 为 $800÷200=4$(分)。
∵妹妹比哥哥迟2分钟到书吧，
∴$a=8+2-4=6$。
②由(1)可知，哥哥的速度为100米/分，
∴设 $BC$ 所在直线的表达式为 $s_1=100t+b$，将 $B(17,800)$ 代入，得 $800=100×17+b$，解得 $b=-900$，
∴$BC$ 所在直线的表达式为 $s_1=100t-900$。
当 $s_1=1\ 900$ 时，$t_{\mathrm{哥哥}}=28$。
∵返回时妹妹的速度是哥哥的1.6倍，
∴妹妹的速度是160米/分，
∴设妹妹返回时的表达式为 $s_2=160t+n$，将 $F(20,800)$ 代入，得 $800=160×20+n$，解得 $n=-2\ 400$，
∴$s_2=160t-2\ 400$。
令 $s_1=s_2$，则有 $100t-900=160t-2\ 400$，解得 $t=25＜28$，
∴妹妹能追上哥哥，此时哥哥所走的路程为 $800+(25-17)×100=1\ 600$(米)，兄妹俩离家还有 $1\ 900-1\ 600=300$(米)。
故妹妹能追上哥哥，追上时兄妹俩离家300米远。
