1. (2025·苏州期末改编)下列运算中,正确的是().

A.$2a+a=2a^{2}$
B.$2a+3b=5ab$
C.$2ab-b=2a$
D.$3mn^{2}-2mn^{2}=mn^{2}$

1. D

【分析】
本题考查合并同类项的相关知识，解题思路是：先明确同类项的定义（所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项），再依据合并同类项的法则（同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变），逐一分析每个选项的运算是否正确。
【解析】
解：根据同类项的定义及合并同类项法则分析各选项：
选项A：$2a$与$a$是同类项，合并时系数相加，应为$2a+a=(2+1)a=3a$，并非$2a^2$，故A错误；
选项B：$2a$与$3b$所含字母不同，不是同类项，无法合并，故B错误；
选项C：$2ab$与$b$所含字母不完全相同（$2ab$含字母$a$，$b$不含），不是同类项，无法合并，故C错误；
选项D：$3mn^2$与$2mn^2$是同类项，合并时系数相减，应为$3mn^2 - 2mn^2=(3-2)mn^2=mn^2$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
合并同类项；同类项的概念
【点评】
本题为基础题型，核心考查同类项的识别和合并同类项的基本法则，属于代数运算的基础知识点，只要准确掌握相关概念与规则，即可快速判断各选项正误，是学生必须熟练掌握的内容。
【难度系数】
0.8

2. (2025·苏州期末) 若关于 $x$ 的多项式 $-2x^2+ax+bx^2-5x-1$ 的值与 $x$ 无关, 则 $a+b$ 的值为.

2. 7

【分析】要解决这个问题，需明确：多项式的值与x无关，意味着化简后所有含x的项的系数都为0。解题时先合并多项式的同类项，再令含x项的系数为0求出a、b的值，最后计算a+b。
【解析】先对多项式合并同类项：
原式 = (-2x² + bx²) + (ax -5x) -1 = (b - 2)x² + (a - 5)x - 1
因为多项式的值与x无关，所以含x的项的系数必须为0，即：
x²项系数：b - 2 = 0 → b = 2
x项系数：a - 5 = 0 → a = 5
则a + b = 5 + 2 = 7
【答案】7
【知识点】合并同类项；多项式的系数性质
【点评】本题考查合并同类项的应用，核心是理解“代数式的值与某字母无关”的本质是该字母的所有项系数为0，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6

3. 教材P89例5·变式 先化简,再求值:
(1) $-3x^{2}-2x+5x^{2}+1+x$,其中 $x=1$;
(2) $\dfrac{1}{2}x-2x+\dfrac{2}{3}y^{2}+\dfrac{1}{3}y^{2}+2$,其中 $x=1$, $y=2$.

3. (1)原式$=(-3+5)x^{2}+(-2+1)x+1=2x^{2}-x+1.$
当$x=1$时,原式$=2.$
(2)原式$=-\dfrac{3}{2}x+y^{2}+2,$
当$x=1,y=2$时,
原式$=-\dfrac{3}{2}×1+2^{2}+2=\dfrac{9}{2}.$

【分析】本题为整式的化简求值题，解题思路是先运用合并同类项法则化简整式，再将给定的字母取值代入化简后的式子计算结果。每一小问需先识别同类项，将同类项的系数相加（字母及指数不变）完成化简，再代入数值计算最终结果。
【解析】
(1) 合并同类项：
原式$=(-3+5)x^2 + (-2+1)x + 1 = 2x^2 - x + 1$
当$x=1$时，代入化简后的式子：
$2×1^2 - 1 + 1 = 2 - 1 + 1 = 2$
(2) 合并同类项：
原式$=(\frac{1}{2} - 2)x + (\frac{2}{3} + \frac{1}{3})y^2 + 2 = -\frac{3}{2}x + y^2 + 2$
当$x=1$，$y=2$时，代入化简后的式子：
$-\frac{3}{2}×1 + 2^2 + 2 = -\frac{3}{2} + 4 + 2 = \frac{9}{2}$
【答案】
(1) 化简结果为$2x^2 - x + 1$，当$x=1$时，值为$2$；
(2) 化简结果为$-\frac{3}{2}x + y^2 + 2$，当$x=1,y=2$时，值为$\frac{9}{2}$
【知识点】整式的加减（合并同类项）、代数式求值
【点评】本题是教材例题的变式基础题，核心考查合并同类项法则与代数式求值方法，步骤清晰，只要掌握同类项的识别、合并规则即可正确解答，用于巩固整式运算的基础能力。
【难度系数】0.8

4. 计算:$x^{5}y^{3}-\dfrac{1}{3}x^{5}y^{3}=$.

4. $\dfrac{2}{3}x^{5}y^{3}$ [解析]$x^{5}y^{3}-\dfrac{1}{3}x^{5}y^{3}=(1-\dfrac{1}{3})x^{5}y^{3}=\dfrac{2}{3}x^{5}y^{3}.$

【分析】本题考查合并同类项的运算，首先明确同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项为同类项，本题中两项$x^{5}y^{3}$和$-\dfrac{1}{3}x^{5}y^{3}$是同类项。合并同类项的法则是：同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，据此可计算结果。
【解析】根据合并同类项法则，将同类项的系数相减，字母和指数不变：
$x^{5}y^{3}-\dfrac{1}{3}x^{5}y^{3}=(1-\dfrac{1}{3})x^{5}y^{3}=\dfrac{2}{3}x^{5}y^{3}$
【答案】$\dfrac{2}{3}x^{5}y^{3}$
【知识点】合并同类项
【点评】本题是整式运算中基础的合并同类项题目，直接考查合并同类项法则的应用，属于基础题型，主要检验学生对基础运算规则的掌握程度。
【难度系数】0.9

5. 已知关于 $x,y$ 的多项式 $mx^2+4xy-7x-$ $3x^2+2nxy-5y$ 合并后不含有二次项，则 $n^2+mn=$。

5. $-2$ [解析]原式$=(m-3)x^{2}+(4+2n)xy-7x-5y.$因为原多项式合并后不含二次项，所以$m-3=0,4+2n=0,$解得$m=3,n=-2,$
所以$n^{2}+mn=(-2)^{2}+3×(-2)=-2.$

【分析】要解决本题，首先需对多项式进行同类项合并，找出所有二次项的系数；由于合并后不含二次项，说明二次项的系数为0，据此可求出m和n的值；最后将求出的m、n代入代数式n²+mn计算即可得到结果。
【解析】先对多项式合并同类项：
原式 = mx² - 3x² + 4xy + 2nxy - 7x - 5y
= (m - 3)x² + (4 + 2n)xy - 7x - 5y
因为合并后多项式不含二次项，所以二次项的系数为0，即：
m - 3 = 0 → 解得 m = 3；
4 + 2n = 0 → 解得 n = -2；
将m=3，n=-2代入代数式n² + mn：
n² + mn = (-2)² + 3×(-2) = 4 - 6 = -2。
【答案】-2
【知识点】合并同类项，多项式的系数，代数式求值
【点评】本题考查整式加减的基础应用，核心是理解“不含二次项”即二次项系数为0，解题关键是正确合并同类项并求解参数，属于基础题型，需熟练掌握同类项合并法则。
【难度系数】0.7

6. 整体思想 [阅读理解]
“整体思想”是一种非常重要的数学思想方法，在多项式的化简、求值中应用极其广泛. 例如:我们把$(a-b)$看成一个整体，则$4(a-b)-2(a-b)+(a-b)=(4-2+1)(a-b)=3(a-b).$
[尝试应用]
(1)化简$4(a+b)+2(a+b)-3(a+b)$的结果为;(直接写结果)
(2)先化简,再求值:$6(x+y)^2+5(x+y)-(x+y)-3(x+y)^2$,其中$x+y=-2$;
[拓展探索]
(3)若$x^2-2y=4$,则$-3(x^2-2y)+10$的值为.(直接写结果)

6. (1)$3(a+b)$
(2)原式$=(6-3)(x+y)^{2}+(5-1)(x+y)$
$=3(x+y)^{2}+4(x+y),$
当$x+y=-2$时,
原式$=3×(-2)^{2}+4×(-2)=3×4-8=12-8=4.$
(3)$-2$

【分析】
本题运用整体思想解题，将题目中相同的多项式（如$(a+b)$、$(x+y)$、$x^2-2y$）视为一个整体，先合并同类项化简式子，再根据题目要求代入求值。具体思路：
1. 第(1)问：把$(a+b)$当作整体，合并同类项即可得到结果；
2. 第(2)问：先分别合并$(x+y)^2$和$(x+y)$的同类项，再将$x+y=-2$代入化简后的式子计算；
3. 第(3)问：直接将$x^2-2y=4$整体代入式子计算结果。
【解析】
(1) 把$(a+b)$看作一个整体，合并同类项：
原式$=(4+2-3)(a+b)=3(a+b)$；
(2) 先合并同类项：
原式$=(6-3)(x+y)^2 + (5-1)(x+y)=3(x+y)^2 +4(x+y)$，
当$x+y=-2$时，代入得：
$3×(-2)^2 +4×(-2)=3×4 -8=12-8=4$；
(3) 把$x^2-2y=4$整体代入：
原式$=-3×4 +10=-12+10=-2$；
【答案】
(1)$3(a+b)$；(2)$4$；(3)$-2$
【知识点】
整体思想、合并同类项、代数式的值
【点评】
本题通过三个小题考查整体思想在整式化简与求值中的应用，核心是识别相同的“整体项”进行合并或替换，属于基础题型，只要掌握整体替换的方法即可轻松解答。
【难度系数】
0.7

7. (2024·山东德州天衢新区期中)我们用$\overline{xyz}$表示一个三位数,其中$x$表示百位上的数,$y$表示十位上的数,$z$表示个位上的数,即$\overline{xyz}=$$100x+10y+z$.
(1)说明$\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}$一定是111的倍数;
(2)①写出一组$a,b,c$的取值,使$\overline{abc}+\overline{bca}+$$\overline{cab}$能被7整除,这组值可以是$a=$,$b=$,$c=$;
②若$\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}$能被7整除,则$a,b,c$三个数必须满足的数量关系是.
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精题详解

7. (1)$\because\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}$
$=100a+10b+c+100b+10c+a+100c+10a+b$
$=111a+111b+111c$
$=111(a+b+c),$
$\therefore\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}$一定是111的倍数.
(2)①1 2 4(答案不唯一) [解析]$\because\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}=111(a+b+c),$而7不是111的因数，
所以$a+b+c$一定是7的因数，
令$a=1,b=2,$则$c=4$(答案不唯一).
②$a+b+c=7$或$a+b+c=14$或$a+b+c=21$
[解析]$\because\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}$能被7整除,所以$a+b+c$一定是7的因数,而$a,b,c$都为1至9的正整数，
则$a,b,c$三个数必须满足的数量关系为$a+b+c=7$或$a+b+c=14$或$a+b+c=21.$

【分析】
要解决本题，需先利用三位数的代数表示方法，将三个三位数转化为代数式并合并同类项，分析其结构以判断是否为111的倍数；对于整除问题，结合111与7互质的性质，推导使和被7整除的条件，进而求解a、b、c的取值及数量关系。具体步骤：1. 把$\overline{abc}$、$\overline{bca}$、$\overline{cab}$用含a、b、c的代数式表示，相加后化简，观察是否为111的倍数；2. 利用化简结果，结合互质性质，确定使和被7整除时a+b+c需满足的条件，再结合a、b、c的取值范围求解。
【解析】
(1) 根据三位数的代数表示，$\overline{abc}=100a+10b+c$，$\overline{bca}=100b+10c+a$，$\overline{cab}=100c+10a+b$，则：
$\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}=(100a+10b+c)+(100b+10c+a)+(100c+10a+b)$
合并同类项得：$111a+111b+111c=111(a+b+c)$，因此$\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}$一定是111的倍数。
(2) ① 由(1)知，$\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}=111(a+b+c)$，因为111与7互质，所以要使该和被7整除，需$a+b+c$被7整除。取$a=1$，$b=2$，则$c=7-(1+2)=4$（答案不唯一，只要$a+b+c$为7的倍数即可），故这组值可以是$a=1$，$b=2$，$c=4$。
② 由于a、b、c均为1到9的正整数，所以$a+b+c$的范围是$3≤a+b+c≤27$，结合$a+b+c$需被7整除，可得$a+b+c=7$或$a+b+c=14$或$a+b+c=21$，即a、b、c三个数满足的数量关系为$a+b+c=7$或$a+b+c=14$或$a+b+c=21$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) ① 1，2，4（答案不唯一）；② $a+b+c=7$或$a+b+c=14$或$a+b+c=21$
【知识点】
整式的加减、数的整除、代数式的表示
【点评】
本题结合三位数的代数表示考查整式化简与数的整除性质，核心是将三位数转化为代数式并合并，利用互质特点分析整除条件，难度适中，侧重代数变形与数论基础的应用。
【难度系数】
0.6