11. (2024·广东广州南沙区期末)已知 $T=3a+ab-$ $7c^{2}+3a+7c^{2}.$
(1)化简 T；
(2)当 $a=3,b=-2,c=-\dfrac{1}{6}$ 时,求 T 的值.

(1)$T=3a+ab-7c^{2}+3a+7c^{2}=6a+ab$.
(2)把 $a=3,b=-2$ 代入上式,得 $T=6a+ab=6×3+3×(-2)=18-6=12$.

【分析】
本题分为化简整式和代入求值两部分。化简时需运用合并同类项法则，找出同类项并合并；代入求值时，将给定的字母值代入化简后的式子，注意计算时的符号处理。
【解析】
(1) 合并同类项：
$T=3a+ab-7c^2+3a+7c^2=(3a+3a)+ab+(-7c^2+7c^2)=6a+ab$；
(2) 将$a=3,b=-2$代入化简后的式子：
$T=6a+ab=6×3 + 3×(-2)=18 - 6=12$。
【答案】
(1)$T=6a+ab$；(2)$12$
【知识点】
合并同类项、代数式求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考查合并同类项法则和代数式代入求值的计算，只要掌握同类项的判断及合并方法，计算时注意符号，即可轻松解答。
【难度系数】
0.9

12. 已知关于 $x$ 的多项式 $mx^4+(m-3)x^3-(n+2)x^2+4x-n$ 不含二次项和三次项.
(1)求出这个多项式；
(2)求当 $x=2$ 时代数式的值.

(1)关于 $x$ 的多项式 $mx^{4}+(m-3)x^{3}-(n+2)x^{2}+4x-n$ 不含二次项和三次项，
所以 $m-3=0,-(n+2)=0$,
所以 $m=3,n=-2$,
所以这个多项式为 $3x^{4}+4x+2$.
(2)当 $x=2$ 时,$3x^{4}+4x+2=3×2^{4}+4×2+2=58$.

【分析】首先明确：多项式不含某一项，意味着该项的系数为0。因此先找到三次项和二次项的系数，令它们等于0，解出m、n的值；再将m、n代入原多项式，化简得到所求多项式；最后将x=2代入化简后的多项式，计算出代数式的值。
【解析】
(1) 已知多项式不含二次项和三次项，说明三次项、二次项的系数均为0。
三次项系数为 $ m - 3 $，故 $ m - 3 = 0 $，解得 $ m = 3 $；
二次项系数为 $ -(n + 2) $，故 $ -(n + 2) = 0 $，解得 $ n = -2 $。
将 $ m = 3 $、$ n = -2 $ 代入原多项式：
$ mx^4 + (m - 3)x^3 - (n + 2)x^2 + 4x - n = 3x^4 + 0 · x^3 - 0 · x^2 + 4x - (-2) = 3x^4 + 4x + 2 $。
(2) 当 $ x = 2 $ 时，代入多项式 $ 3x^4 + 4x + 2 $：
$ 3 × 2^4 + 4 × 2 + 2 = 3 × 16 + 8 + 2 = 58 $。
【答案】
(1) 这个多项式为 $ 3x^4 + 4x + 2 $；
(2) 当 $ x = 2 $ 时，代数式的值为 $ 58 $。
【知识点】
多项式的项与系数、代数式求值
【点评】
本题为基础题型，核心是利用“多项式不含某项则该项系数为0”的性质求解参数，再进行代数式求值，考察学生对多项式基本概念的掌握，难度较低。
【难度系数】
0.7

13. 整体思想 阅读材料:我们知道，$4x-2x+x=(4-2+1)x=3x$，类似地，我们把$(a+b)$看成一个整体，则$4(a+b)-2(a+b)+(a+b)=(4-2+1)(a+b)=3(a+b)$，“整体思想”是一种重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.
(1)尝试应用:把$(a-b)^2$看成一个整体，合并$3(a-b)^2-(a-b)^2+7(a-b)^2$，其结果是；
(2)已知$x^2-2y=1$，求$x^2-2y+5$的值.

(1)$9(a-b)^2$ [解析]原式$=(3-1+7)(a-b)^2=9(a-b)^2$.
(2)因为 $x^{2}-2y=1$,
所以原式$=x^{2}-2y+5=1+5=6$.

【分析】
本题考查整体思想在多项式化简与代数式求值中的应用。第(1)问需将$(a-b)^2$视为一个整体，依据合并同类项法则计算；第(2)问采用整体代入法，直接将已知的$x^2-2y$的值代入所求代数式，简化计算过程。
【解析】
(1) 把$(a-b)^2$看作一个整体，根据合并同类项法则，同类项系数相加减，字母及指数不变，可得：
原式$=(3-1+7)(a-b)^2=9(a-b)^2$；
(2) 已知$x^2-2y=1$，将其代入$x^2-2y+5$中，可得：
原式$=1+5=6$。
【答案】
(1)$9(a-b)^2$；(2)$6$
【知识点】
整体思想、合并同类项、代数式求值
【点评】
本题通过具体实例引导学生掌握整体思想的应用，属于基础题型，帮助学生理解如何将复杂的多项式或代数式转化为整体简化计算，是代数学习中的重要方法。
【难度系数】
0.8

14. 新情境 设计数学探究活动 （2023·德阳中考改编）在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式 $m,n$ 按如下规律进行操作：
第 1 次操作后得到整式串 $m,n,n-m$；
第 2 次操作后得到整式串 $m,n,n-m,-m$；
第 3 次操作后…
其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏.
则该“回头差”游戏第 2 025 次操作后得到的整式中各项之和是().

A.$m+n$
B.$m$
C.$n-m$
D.$2n$

C [解析]第1次操作后得到整式串 $m,n,n-m$；
第2次操作后得到整式串 $m,n,n-m,-m$；
第3次操作后得到整式串 $m,n,n-m,-m,-n$；
第4次操作后得到整式串 $m,n,n-m,-m,-n,-n+m$；
第5次操作后得到整式串 $m,n,n-m,-m,-n,-n+m,m$；
第6次操作后得到的整式串 $m,n,n-m,-m,-n,-n+m,m,n$；
第7次操作后得到的整式串 $m,n,n-m,-m,-n,-n+m,m,n,n-m$；
…,
第2025次操作后得到的整式串 $m,n,n-m,-m,-n,-n+m,\dots,m,n,n-m$;共2027个整式.
归纳可得,以上整式串每六次一循环,
每6个整式的整式之和为 $m+n+n-m-m-n-n+m=0$,
$\because 2027÷6=337······5$,
$\therefore$第2025次操作后得到的整式的和为 $m+n+n-m-m-n=n-m$.
本题考查的是合并同类项,代数式的规律探究,掌握探究的方法,总结概括规律并灵活运用是解本题的关键.

【分析】
解决本题需先根据“回头差”游戏的操作规则，依次写出前几次操作后的整式串，观察整式串的变化规律确定循环周期；再根据循环周期计算第2025次操作后对应的整式位置，最后合并同类项求出各项之和。
【解析】
1. 根据操作规则，依次写出前几次操作后的整式串：
第1次操作后：$m, n, n-m$；
第2次操作后：$m, n, n-m, -m$；
第3次操作后：$m, n, n-m, -m, -n$；
第4次操作后：$m, n, n-m, -m, -n, -n+m$；
第5次操作后：$m, n, n-m, -m, -n, -n+m, m$；
第6次操作后：$m, n, n-m, -m, -n, -n+m, m, n$；
第7次操作后：$m, n, n-m, -m, -n, -n+m, m, n, n-m$；
由此发现整式串每6次操作后重复出现，即循环周期为6。
2. 计算第2025次操作后的整式总数：第$k$次操作后整式个数为$k+2$，故第2025次操作后整式个数为$2025+2=2027$个。
3. 确定第2025次操作后对应的循环位置：$2027÷6=337······5$，即对应循环中的第5个整式段。
4. 计算循环中前5个整式的和：前5个整式为$m, n, n-m, -m, -n$，其和为$m+n+(n-m)+(-m)+(-n)=n-m$。
【答案】
C
【知识点】
代数式的规律探究、合并同类项
【点评】
本题属于规律探究类的代数式创新题型，通过列举前几次操作结果找到循环周期是解题核心，重点考查学生的观察归纳能力与代数式运算能力，符合中考数学的命题方向。
【难度系数】
0.5