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1. 用直接开平方法解下列方程：
(1)$25x^2 = 36$；
(2)$x^2 - 49 = 0$；
(3)$(1 - x)^2 = 16$；
(4)$\frac{1}{2}(2x - 5)^2 - 8 = 0$；
(5)$16x^2 - 8x + 3 = 2$；
(6)$4 - \frac{1}{2}(x - \sqrt{2})^2 = 0$；
(7)$(3x - 2)(3x + 2) = 12$；
(8)$(x + 1)^2 = 4x$。
(1)$25x^2 = 36$；
(2)$x^2 - 49 = 0$；
(3)$(1 - x)^2 = 16$；
(4)$\frac{1}{2}(2x - 5)^2 - 8 = 0$；
(5)$16x^2 - 8x + 3 = 2$；
(6)$4 - \frac{1}{2}(x - \sqrt{2})^2 = 0$；
(7)$(3x - 2)(3x + 2) = 12$；
(8)$(x + 1)^2 = 4x$。
答案
(1)$x_1=\frac{6}{5},x_2=-\frac{6}{5}$；
(2)$x_1=7,x_2=-7$；
(3)$x_1=-3,x_2=5$；
(4)$x_1=0.5,x_2=4.5$；
(5)$x_1=x_2=\frac{1}{4}$；
(6)$x_1=3\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$；
(7)$x_1=\frac{4}{3},x_2=-\frac{4}{3}$；
(8)$x_1=x_2=1$。
(2)$x_1=7,x_2=-7$；
(3)$x_1=-3,x_2=5$；
(4)$x_1=0.5,x_2=4.5$；
(5)$x_1=x_2=\frac{1}{4}$；
(6)$x_1=3\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$；
(7)$x_1=\frac{4}{3},x_2=-\frac{4}{3}$；
(8)$x_1=x_2=1$。
解析
【分析】
直接开平方法解一元二次方程的核心是先将方程整理为$(mx+n)^2 = p$（$p≥0$）的形式，再对等式两边同时开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。解题时首先对每个方程做变形：有常数项的先移项，含系数的先化去完全平方式前的系数，不能直接看出完全平方式的，先通过移项、合并同类项、公式化简等方式整理成标准的平方等于非负数的形式，开平方时注意正数开平方有正负两个结果，不要漏解，若右边$p=0$，则方程有两个相等的实数根。
【解析】
(1) 系数化为1，得$x^2=\frac{36}{25}$，开平方得$x=\pm\frac{6}{5}$。
(2) 移项得$x^2=49$，开平方得$x=\pm7$。
(3) 开平方得$1-x=\pm4$，当$1-x=4$时$x=-3$，当$1-x=-4$时$x=5$。
(4) 移项得$\frac{1}{2}(2x-5)^2=8$，两边同乘2得$(2x-5)^2=16$，开平方得$2x-5=\pm4$，解得$x=\frac{5\pm4}{2}$，即$x_1=0.5,x_2=4.5$。
(5) 移项合并同类项得$16x^2-8x+1=0$，整理为完全平方形式得$(4x-1)^2=0$，开平方得$4x-1=0$，解得$x=\frac{1}{4}$。
(6) 移项得$\frac{1}{2}(x-\sqrt{2})^2=4$，两边同乘2得$(x-\sqrt{2})^2=8$，开平方得$x-\sqrt{2}=\pm2\sqrt{2}$，解得$x=\sqrt{2}\pm2\sqrt{2}$，即$x_1=3\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$。
(7) 左边用平方差公式展开得$9x^2-4=12$，移项合并得$9x^2=16$，系数化为1得$x^2=\frac{16}{9}$，开平方得$x=\pm\frac{4}{3}$。
(8) 左边展开得$x^2+2x+1=4x$，移项合并得$x^2-2x+1=0$，整理为完全平方形式得$(x-1)^2=0$，开平方得$x-1=0$，解得$x=1$。
【答案】
(1)$x_1=\frac{6}{5},x_2=-\frac{6}{5}$；
(2)$x_1=7,x_2=-7$；
(3)$x_1=-3,x_2=5$；
(4)$x_1=0.5,x_2=4.5$；
(5)$x_1=x_2=\frac{1}{4}$；
(6)$x_1=3\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$；
(7)$x_1=\frac{4}{3},x_2=-\frac{4}{3}$；
(8)$x_1=x_2=1$。
【知识点】
直接开平方法、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础训练题，解题关键是通过移项、化简等操作将方程转化为完全平方式等于非负常数的形式，开平方时要注意正数有两个互为相反数的平方根，避免漏解，当等号右侧为0时方程有两个相等的实数根，部分题目需要结合乘法公式化简，计算时需注意准确性。
【难度系数】
0.8
直接开平方法解一元二次方程的核心是先将方程整理为$(mx+n)^2 = p$（$p≥0$）的形式，再对等式两边同时开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。解题时首先对每个方程做变形：有常数项的先移项，含系数的先化去完全平方式前的系数，不能直接看出完全平方式的，先通过移项、合并同类项、公式化简等方式整理成标准的平方等于非负数的形式，开平方时注意正数开平方有正负两个结果，不要漏解，若右边$p=0$，则方程有两个相等的实数根。
【解析】
(1) 系数化为1，得$x^2=\frac{36}{25}$，开平方得$x=\pm\frac{6}{5}$。
(2) 移项得$x^2=49$，开平方得$x=\pm7$。
(3) 开平方得$1-x=\pm4$，当$1-x=4$时$x=-3$，当$1-x=-4$时$x=5$。
(4) 移项得$\frac{1}{2}(2x-5)^2=8$，两边同乘2得$(2x-5)^2=16$，开平方得$2x-5=\pm4$，解得$x=\frac{5\pm4}{2}$，即$x_1=0.5,x_2=4.5$。
(5) 移项合并同类项得$16x^2-8x+1=0$，整理为完全平方形式得$(4x-1)^2=0$，开平方得$4x-1=0$，解得$x=\frac{1}{4}$。
(6) 移项得$\frac{1}{2}(x-\sqrt{2})^2=4$，两边同乘2得$(x-\sqrt{2})^2=8$，开平方得$x-\sqrt{2}=\pm2\sqrt{2}$，解得$x=\sqrt{2}\pm2\sqrt{2}$，即$x_1=3\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$。
(7) 左边用平方差公式展开得$9x^2-4=12$，移项合并得$9x^2=16$，系数化为1得$x^2=\frac{16}{9}$，开平方得$x=\pm\frac{4}{3}$。
(8) 左边展开得$x^2+2x+1=4x$，移项合并得$x^2-2x+1=0$，整理为完全平方形式得$(x-1)^2=0$，开平方得$x-1=0$，解得$x=1$。
【答案】
(1)$x_1=\frac{6}{5},x_2=-\frac{6}{5}$；
(2)$x_1=7,x_2=-7$；
(3)$x_1=-3,x_2=5$；
(4)$x_1=0.5,x_2=4.5$；
(5)$x_1=x_2=\frac{1}{4}$；
(6)$x_1=3\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$；
(7)$x_1=\frac{4}{3},x_2=-\frac{4}{3}$；
(8)$x_1=x_2=1$。
【知识点】
直接开平方法、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础训练题，解题关键是通过移项、化简等操作将方程转化为完全平方式等于非负常数的形式，开平方时要注意正数有两个互为相反数的平方根，避免漏解，当等号右侧为0时方程有两个相等的实数根，部分题目需要结合乘法公式化简，计算时需注意准确性。
【难度系数】
0.8
2. 解关于 $ x $ 的方程 $ a^2x^2 - 2abx + b^2 - 9 = 0(a ≠ 0) $。
答案
方程变形，得$a^2x^2 - 2abx + b^2 = 9$，
即$(ax - b)^2 = 9$，
开平方，得$ax - b = 3$或$ax - b = -3$，
解得$x_1=\frac{b+3}{a},x_2=\frac{b-3}{a}$。
即$(ax - b)^2 = 9$，
开平方，得$ax - b = 3$或$ax - b = -3$，
解得$x_1=\frac{b+3}{a},x_2=\frac{b-3}{a}$。
解析
【分析】观察方程左侧的多项式结构，前三项符合完全平方公式的特征，因此可以先将常数项移到方程右侧，把左侧整理为完全平方式，再利用直接开平方法将二次方程降为一次方程求解，题目已知a≠0，后续除以a的运算有意义。
【解析】
解：将常数项移到方程右边，得
$a^2x^2 - 2abx + b^2 = 9$
根据完全平方公式，左侧变形为平方形式，即
$(ax - b)^2 = 9$
对等式两边开平方，得
$ax - b = 3$ 或 $ax - b = -3$
分别解两个一元一次方程：
当$ax - b = 3$时，$ax = b + 3$，结合$a≠0$，解得$x_1=\frac{b+3}{a}$；
当$ax - b = -3$时，$ax = b - 3$，结合$a≠0$，解得$x_2=\frac{b-3}{a}$。
【答案】
$x_1=\frac{b+3}{a},x_2=\frac{b-3}{a}$
【知识点】
完全平方公式、直接开平方法解一元二次方程、含参方程求解
【点评】
本题的解题关键是识别出方程左侧的完全平方结构，通过变形降次将一元二次方程转化为熟悉的一元一次方程求解，解题时要注意题目给出的限制条件，保证根的有效性。
【难度系数】
0.7
【解析】
解：将常数项移到方程右边，得
$a^2x^2 - 2abx + b^2 = 9$
根据完全平方公式，左侧变形为平方形式，即
$(ax - b)^2 = 9$
对等式两边开平方，得
$ax - b = 3$ 或 $ax - b = -3$
分别解两个一元一次方程：
当$ax - b = 3$时，$ax = b + 3$，结合$a≠0$，解得$x_1=\frac{b+3}{a}$；
当$ax - b = -3$时，$ax = b - 3$，结合$a≠0$，解得$x_2=\frac{b-3}{a}$。
【答案】
$x_1=\frac{b+3}{a},x_2=\frac{b-3}{a}$
【知识点】
完全平方公式、直接开平方法解一元二次方程、含参方程求解
【点评】
本题的解题关键是识别出方程左侧的完全平方结构，通过变形降次将一元二次方程转化为熟悉的一元一次方程求解，解题时要注意题目给出的限制条件，保证根的有效性。
【难度系数】
0.7
