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1. 用配方法解下列方程：
(1)$x^{2}+6x=11$；
(2)$x^{2}+4x=0$；
(3)$x^{2}+4x-3=0$；
(4)$x^{2}+3x-2=0$。
(1)$x^{2}+6x=11$；
(2)$x^{2}+4x=0$；
(3)$x^{2}+4x-3=0$；
(4)$x^{2}+3x-2=0$。
答案
(1)$x_1=-3+2\sqrt{5},x_2=-3-2\sqrt{5}$；
(2)$x_1=0,x_2=-4$；
(3)$x_1=\sqrt{7}-2,x_2=-\sqrt{7}-2$；
(4)$x_1=\dfrac{\sqrt{17}-3}{2},x_2=\dfrac{-\sqrt{17}-3}{2}$。
(2)$x_1=0,x_2=-4$；
(3)$x_1=\sqrt{7}-2,x_2=-\sqrt{7}-2$；
(4)$x_1=\dfrac{\sqrt{17}-3}{2},x_2=\dfrac{-\sqrt{17}-3}{2}$。
解析
【分析】
配方法解一元二次方程的核心是将方程变形为$(x+m)^2=n$（$n≥0$）的形式，再用直接开平方法求解。解题步骤为：①若二次项系数不为1，先化为1（本题所有方程二次项系数均为1，可跳过该步）；②移项，将常数项移到等号右侧；③配方，等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；④开平方，得到两个一元一次方程；⑤解一元一次方程得到原方程的根。
【解析】
(1) $x^2+6x=11$
配方，两边同时加$(\frac{6}{2})^2=9$，得：
$x^2+6x+9=11+9$
即$(x+3)^2=20$
开平方得：$x+3=\pm2\sqrt{5}$
解得：$x_1=-3+2\sqrt{5}$，$x_2=-3-2\sqrt{5}$
(2) $x^2+4x=0$
配方，两边同时加$(\frac{4}{2})^2=4$，得：
$x^2+4x+4=0+4$
即$(x+2)^2=4$
开平方得：$x+2=\pm2$
解得：$x_1=0$，$x_2=-4$
(3) $x^2+4x-3=0$
移项得：$x^2+4x=3$
配方，两边同时加$(\frac{4}{2})^2=4$，得：
$x^2+4x+4=3+4$
即$(x+2)^2=7$
开平方得：$x+2=\pm\sqrt{7}$
解得：$x_1=\sqrt{7}-2$，$x_2=-\sqrt{7}-2$
(4) $x^2+3x-2=0$
移项得：$x^2+3x=2$
配方，两边同时加$(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，得：
$x^2+3x+\frac{9}{4}=2+\frac{9}{4}$
即$(x+\frac{3}{2})^2=\frac{17}{4}$
开平方得：$x+\frac{3}{2}=\pm\frac{\sqrt{17}}{2}$
解得：$x_1=\frac{\sqrt{17}-3}{2}$，$x_2=\frac{-\sqrt{17}-3}{2}$
【答案】
(1)$x_1=-3+2\sqrt{5},x_2=-3-2\sqrt{5}$；
(2)$x_1=0,x_2=-4$；
(3)$x_1=\sqrt{7}-2,x_2=-\sqrt{7}-2$；
(4)$x_1=\dfrac{\sqrt{17}-3}{2},x_2=\dfrac{-\sqrt{17}-3}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方法解方程
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，尤其要注意配方时等式两边必须同时加相同的数，避免只给左边加项忽略右边的错误，一次项系数为奇数时要注意计算的准确性。
【难度系数】
0.7
配方法解一元二次方程的核心是将方程变形为$(x+m)^2=n$（$n≥0$）的形式，再用直接开平方法求解。解题步骤为：①若二次项系数不为1，先化为1（本题所有方程二次项系数均为1，可跳过该步）；②移项，将常数项移到等号右侧；③配方，等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；④开平方，得到两个一元一次方程；⑤解一元一次方程得到原方程的根。
【解析】
(1) $x^2+6x=11$
配方，两边同时加$(\frac{6}{2})^2=9$，得：
$x^2+6x+9=11+9$
即$(x+3)^2=20$
开平方得：$x+3=\pm2\sqrt{5}$
解得：$x_1=-3+2\sqrt{5}$，$x_2=-3-2\sqrt{5}$
(2) $x^2+4x=0$
配方，两边同时加$(\frac{4}{2})^2=4$，得：
$x^2+4x+4=0+4$
即$(x+2)^2=4$
开平方得：$x+2=\pm2$
解得：$x_1=0$，$x_2=-4$
(3) $x^2+4x-3=0$
移项得：$x^2+4x=3$
配方，两边同时加$(\frac{4}{2})^2=4$，得：
$x^2+4x+4=3+4$
即$(x+2)^2=7$
开平方得：$x+2=\pm\sqrt{7}$
解得：$x_1=\sqrt{7}-2$，$x_2=-\sqrt{7}-2$
(4) $x^2+3x-2=0$
移项得：$x^2+3x=2$
配方，两边同时加$(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，得：
$x^2+3x+\frac{9}{4}=2+\frac{9}{4}$
即$(x+\frac{3}{2})^2=\frac{17}{4}$
开平方得：$x+\frac{3}{2}=\pm\frac{\sqrt{17}}{2}$
解得：$x_1=\frac{\sqrt{17}-3}{2}$，$x_2=\frac{-\sqrt{17}-3}{2}$
【答案】
(1)$x_1=-3+2\sqrt{5},x_2=-3-2\sqrt{5}$；
(2)$x_1=0,x_2=-4$；
(3)$x_1=\sqrt{7}-2,x_2=-\sqrt{7}-2$；
(4)$x_1=\dfrac{\sqrt{17}-3}{2},x_2=\dfrac{-\sqrt{17}-3}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方法解方程
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，尤其要注意配方时等式两边必须同时加相同的数，避免只给左边加项忽略右边的错误，一次项系数为奇数时要注意计算的准确性。
【难度系数】
0.7
2. 用配方法解下列方程：
(1)$x(x - 4)=2$；
(2)$x^{2}+2\sqrt{2}x - 4=0$；
(3)$x^{2}-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{18}=0$；
(4)$\dfrac{1}{4}x^{2}-2x - 5=0$。
(1)$x(x - 4)=2$；
(2)$x^{2}+2\sqrt{2}x - 4=0$；
(3)$x^{2}-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{18}=0$；
(4)$\dfrac{1}{4}x^{2}-2x - 5=0$。
答案
(1)$x_1=\sqrt{6}+2,x_2=-\sqrt{6}+2$；
(2)$x_1=\sqrt{6}-\sqrt{2},x_2=-\sqrt{6}-\sqrt{2}$；
(3)$x_1=\dfrac{2+\sqrt{2}}{6},x_2=\dfrac{2-\sqrt{2}}{6}$；
(4)$x_1=10,x_2=-2$。
(2)$x_1=\sqrt{6}-\sqrt{2},x_2=-\sqrt{6}-\sqrt{2}$；
(3)$x_1=\dfrac{2+\sqrt{2}}{6},x_2=\dfrac{2-\sqrt{2}}{6}$；
(4)$x_1=10,x_2=-2$。
解析
【分析】
配方法解一元二次方程的核心是将方程转化为$(x+m)^2=n$（$n≥0$）的形式，再通过直接开平方求解，通用解题步骤如下：①先将方程整理为一般形式，若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1；②移项，把含未知数的项留在等号左侧，常数项移到等号右侧；③配方：等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式；④若右侧常数非负，直接开平方求出方程的根，若右侧为负则方程无实根，按照以上步骤逐个求解即可。
【解析】
(1) 整理原方程得：$x^2-4x=2$，
配方，左右两边同时加$(\frac{-4}{2})^2=4$，得：$x^2-4x+4=2+4$，
即$(x-2)^2=6$，
开平方得：$x-2=\pm\sqrt{6}$，
解得：$x_1=\sqrt{6}+2$，$x_2=-\sqrt{6}+2$。
(2) 移项得：$x^2+2\sqrt{2}x=4$，
配方，左右两边同时加$(\frac{2\sqrt{2}}{2})^2=2$，得：$x^2+2\sqrt{2}x+2=4+2$，
即$(x+\sqrt{2})^2=6$，
开平方得：$x+\sqrt{2}=\pm\sqrt{6}$，
解得：$x_1=\sqrt{6}-\sqrt{2}$，$x_2=-\sqrt{6}-\sqrt{2}$。
(3) 移项得：$x^2-\frac{2}{3}x=-\frac{1}{18}$，
配方，左右两边同时加$(\frac{-\frac{2}{3}}{2})^2=\frac{1}{9}$，得：$x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{1}{18}+\frac{1}{9}$，
即$(x-\frac{1}{3})^2=\frac{1}{18}$，
开平方得：$x-\frac{1}{3}=\pm\frac{\sqrt{2}}{6}$，
解得：$x_1=\frac{2+\sqrt{2}}{6}$，$x_2=\frac{2-\sqrt{2}}{6}$。
(4) 方程两边同时乘4，将二次项系数化为1得：$x^2-8x-20=0$，
移项得：$x^2-8x=20$，
配方，左右两边同时加$(\frac{-8}{2})^2=16$，得：$x^2-8x+16=20+16$，
即$(x-4)^2=36$，
开平方得：$x-4=\pm6$，
解得：$x_1=10$，$x_2=-2$。
【答案】
(1)$x_1=\sqrt{6}+2,x_2=-\sqrt{6}+2$；
(2)$x_1=\sqrt{6}-\sqrt{2},x_2=-\sqrt{6}-\sqrt{2}$；
(3)$x_1=\dfrac{2+\sqrt{2}}{6},x_2=\dfrac{2-\sqrt{2}}{6}$；
(4)$x_1=10,x_2=-2$。
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方法解方程
【点评】
本题重点考查配方法解一元二次方程的实操能力，解题的关键是严格遵循配方法的步骤计算，尤其注意配方时等号两边要同时加一次项系数一半的平方，避免漏加常数项、开平方时漏写正负号等常见错误。
【难度系数】
0.7
配方法解一元二次方程的核心是将方程转化为$(x+m)^2=n$（$n≥0$）的形式，再通过直接开平方求解，通用解题步骤如下：①先将方程整理为一般形式，若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1；②移项，把含未知数的项留在等号左侧，常数项移到等号右侧；③配方：等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式；④若右侧常数非负，直接开平方求出方程的根，若右侧为负则方程无实根，按照以上步骤逐个求解即可。
【解析】
(1) 整理原方程得：$x^2-4x=2$，
配方，左右两边同时加$(\frac{-4}{2})^2=4$，得：$x^2-4x+4=2+4$，
即$(x-2)^2=6$，
开平方得：$x-2=\pm\sqrt{6}$，
解得：$x_1=\sqrt{6}+2$，$x_2=-\sqrt{6}+2$。
(2) 移项得：$x^2+2\sqrt{2}x=4$，
配方，左右两边同时加$(\frac{2\sqrt{2}}{2})^2=2$，得：$x^2+2\sqrt{2}x+2=4+2$，
即$(x+\sqrt{2})^2=6$，
开平方得：$x+\sqrt{2}=\pm\sqrt{6}$，
解得：$x_1=\sqrt{6}-\sqrt{2}$，$x_2=-\sqrt{6}-\sqrt{2}$。
(3) 移项得：$x^2-\frac{2}{3}x=-\frac{1}{18}$，
配方，左右两边同时加$(\frac{-\frac{2}{3}}{2})^2=\frac{1}{9}$，得：$x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{1}{18}+\frac{1}{9}$，
即$(x-\frac{1}{3})^2=\frac{1}{18}$，
开平方得：$x-\frac{1}{3}=\pm\frac{\sqrt{2}}{6}$，
解得：$x_1=\frac{2+\sqrt{2}}{6}$，$x_2=\frac{2-\sqrt{2}}{6}$。
(4) 方程两边同时乘4，将二次项系数化为1得：$x^2-8x-20=0$，
移项得：$x^2-8x=20$，
配方，左右两边同时加$(\frac{-8}{2})^2=16$，得：$x^2-8x+16=20+16$，
即$(x-4)^2=36$，
开平方得：$x-4=\pm6$，
解得：$x_1=10$，$x_2=-2$。
【答案】
(1)$x_1=\sqrt{6}+2,x_2=-\sqrt{6}+2$；
(2)$x_1=\sqrt{6}-\sqrt{2},x_2=-\sqrt{6}-\sqrt{2}$；
(3)$x_1=\dfrac{2+\sqrt{2}}{6},x_2=\dfrac{2-\sqrt{2}}{6}$；
(4)$x_1=10,x_2=-2$。
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方法解方程
【点评】
本题重点考查配方法解一元二次方程的实操能力，解题的关键是严格遵循配方法的步骤计算，尤其注意配方时等号两边要同时加一次项系数一半的平方，避免漏加常数项、开平方时漏写正负号等常见错误。
【难度系数】
0.7
3. 已知关于 $ x $ 的方程 $(a^2 - 4a + 5)x^2 + 2ax + 4 = 0$. 小聪认为,无论 $ a $ 为何实数,这个方程都是一元二次方程;而小明认为,方程的类型要取决于字母 $ a $ 的取值.你认为谁的判断是正确的,并简述理由.
答案
小聪正确.理由如下：
$\because a^2-4a+5=(a^2-4a+4)+1=(a-2)^2+1,(a-2)^2≥0$
$\therefore (a-2)^2+1＞0$,即该方程的二次项系数不为0，
$\therefore$ 无论 $a$ 为何实数，这个方程都是一元二次方程。
$\because a^2-4a+5=(a^2-4a+4)+1=(a-2)^2+1,(a-2)^2≥0$
$\therefore (a-2)^2+1＞0$,即该方程的二次项系数不为0，
$\therefore$ 无论 $a$ 为何实数，这个方程都是一元二次方程。
解析
【分析】
要判断两人说法的正确性，首先需明确一元二次方程的判定核心：整式方程中，若未知数最高次数为2且二次项系数不为0，即为一元二次方程。因此本题的解题关键是判断二次项系数$a^2-4a+5$是否可能等于0。我们可以通过配方法将这个含参数的二次式变形，再结合偶次方的非负性判断它的取值范围，即可得出结论。
【解析】
小聪的判断正确，理由如下：
对二次项系数配方可得：
$a^2-4a+5=(a^2-4a+4)+1=(a-2)^2+1$
根据平方的非负性，可知$(a-2)^2≥0$，因此$(a-2)^2+1≥1＞0$
即无论$a$取任意实数，该方程的二次项系数恒不为0，满足一元二次方程的定义，因此无论$a$为何实数，这个方程都是一元二次方程。
【答案】
小聪正确.理由如下：$\because a^2-4a+5=(a^2-4a+4)+1=(a-2)^2+1,(a-2)^2≥0$
$\therefore (a-2)^2+1＞0$,即该方程的二次项系数不为0，
$\therefore$ 无论 $a$ 为何实数，这个方程都是一元二次方程。
【知识点】
一元二次方程的定义；配方法的应用；偶次方的非负性
【点评】
本题围绕一元二次方程的判定设置，解题的核心是抓住一元二次方程二次项系数不为0的要求，通过配方法对含参数的代数式变形，结合非负数性质判断取值即可求解，能较好考查学生对基础概念的掌握和代数运算能力。
【难度系数】
0.7
要判断两人说法的正确性，首先需明确一元二次方程的判定核心：整式方程中，若未知数最高次数为2且二次项系数不为0，即为一元二次方程。因此本题的解题关键是判断二次项系数$a^2-4a+5$是否可能等于0。我们可以通过配方法将这个含参数的二次式变形，再结合偶次方的非负性判断它的取值范围，即可得出结论。
【解析】
小聪的判断正确，理由如下：
对二次项系数配方可得：
$a^2-4a+5=(a^2-4a+4)+1=(a-2)^2+1$
根据平方的非负性，可知$(a-2)^2≥0$，因此$(a-2)^2+1≥1＞0$
即无论$a$取任意实数，该方程的二次项系数恒不为0，满足一元二次方程的定义，因此无论$a$为何实数，这个方程都是一元二次方程。
【答案】
小聪正确.理由如下：$\because a^2-4a+5=(a^2-4a+4)+1=(a-2)^2+1,(a-2)^2≥0$
$\therefore (a-2)^2+1＞0$,即该方程的二次项系数不为0，
$\therefore$ 无论 $a$ 为何实数，这个方程都是一元二次方程。
【知识点】
一元二次方程的定义；配方法的应用；偶次方的非负性
【点评】
本题围绕一元二次方程的判定设置，解题的核心是抓住一元二次方程二次项系数不为0的要求，通过配方法对含参数的代数式变形，结合非负数性质判断取值即可求解，能较好考查学生对基础概念的掌握和代数运算能力。
【难度系数】
0.7
