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1. 用公式法解下列方程：
(1)$5x^{2}+2x-1=0$；
(2)$6y^{2}+13y+6=0$；
(3)$3x(x-1)-1=0$；
(4)$2x^{2}-2\sqrt{2}x+1=0$；
(5)$2x(x-3)=-6x+5$；
(6)$3y^{2}+5(2y+3)=0$.
(1)$5x^{2}+2x-1=0$；
(2)$6y^{2}+13y+6=0$；
(3)$3x(x-1)-1=0$；
(4)$2x^{2}-2\sqrt{2}x+1=0$；
(5)$2x(x-3)=-6x+5$；
(6)$3y^{2}+5(2y+3)=0$.
答案
(1)$x_{1}=\frac{-1+\sqrt{6}}{5},x_{2}=\frac{-1-\sqrt{6}}{5}$；
(2)$y_{1}=-\frac{3}{2},y_{2}=-\frac{2}{3}$；
(3)$x_{1}=\frac{3+\sqrt{21}}{6},x_{2}=\frac{3-\sqrt{21}}{6}$；
(4)$x_{1}=x_{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
(5)$x_{1}=\frac{\sqrt{10}}{2},x_{2}=-\frac{\sqrt{10}}{2}$；
(6)无解.
(2)$y_{1}=-\frac{3}{2},y_{2}=-\frac{2}{3}$；
(3)$x_{1}=\frac{3+\sqrt{21}}{6},x_{2}=\frac{3-\sqrt{21}}{6}$；
(4)$x_{1}=x_{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
(5)$x_{1}=\frac{\sqrt{10}}{2},x_{2}=-\frac{\sqrt{10}}{2}$；
(6)无解.
解析
【分析】
用公式法解一元二次方程的通用步骤为：①将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，准确确定系数$a$、$b$、$c$的值，注意符号不能出错；②计算判别式$\Delta = b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断方程根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根；③若$\Delta≥0$，代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$计算方程的根，结果要化为最简形式。每道题都按该步骤求解即可。
【解析】
(1) 方程$5x^2+2x-1=0$为一般形式：
$a=5$，$b=2$，$c=-1$
判别式$\Delta = 2^2 - 4×5×(-1)=24＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式得：$x=\frac{-2±\sqrt{24}}{2×5}=\frac{-1±\sqrt{6}}{5}$
(2) 方程$6y^2+13y+6=0$为一般形式：
$a=6$，$b=13$，$c=6$
判别式$\Delta=13^2 - 4×6×6=25＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式得：$y=\frac{-13±\sqrt{25}}{2×6}=\frac{-13±5}{12}$，计算得两个根。
(3) 整理原方程$3x(x-1)-1=0$得$3x^2-3x-1=0$：
$a=3$，$b=-3$，$c=-1$
判别式$\Delta=(-3)^2 - 4×3×(-1)=21＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式得：$x=\frac{3±\sqrt{21}}{2×3}=\frac{3±\sqrt{21}}{6}$
(4) 方程$2x^2-2\sqrt{2}x+1=0$为一般形式：
$a=2$，$b=-2\sqrt{2}$，$c=1$
判别式$\Delta=(-2\sqrt{2})^2 - 4×2×1=0$，方程有两个相等的实数根
代入求根公式得：$x=\frac{2\sqrt{2}±0}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
(5) 整理原方程$2x(x-3)=-6x+5$得$2x^2-5=0$：
$a=2$，$b=0$，$c=-5$
判别式$\Delta=0^2 - 4×2×(-5)=40＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式得：$x=\frac{0±\sqrt{40}}{4}=±\frac{\sqrt{10}}{2}$
(6) 整理原方程$3y^2+5(2y+3)=0$得$3y^2+10y+15=0$：
$a=3$，$b=10$，$c=15$
判别式$\Delta=10^2 - 4×3×15=-80＜0$，方程无实数根。
【答案】
(1)$x_{1}=\frac{-1+\sqrt{6}}{5},x_{2}=\frac{-1-\sqrt{6}}{5}$；
(2)$y_{1}=-\frac{3}{2},y_{2}=-\frac{2}{3}$；
(3)$x_{1}=\frac{3+\sqrt{21}}{6},x_{2}=\frac{3-\sqrt{21}}{6}$；
(4)$x_{1}=x_{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
(5)$x_{1}=\frac{\sqrt{10}}{2},x_{2}=-\frac{\sqrt{10}}{2}$；
(6)无解.
【知识点】
公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式；一元二次方程的一般形式
【点评】
本组题目属于一元二次方程求解的基础训练，核心考查公式法的规范使用，解题时需注意先将方程化为一般形式，准确识别各项系数及符号，判别式的计算是判断根的情况和求解的关键，计算过程中要细心，避免因符号错误或化简失误丢分。
【难度系数】
0.8
用公式法解一元二次方程的通用步骤为：①将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，准确确定系数$a$、$b$、$c$的值，注意符号不能出错；②计算判别式$\Delta = b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断方程根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根；③若$\Delta≥0$，代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$计算方程的根，结果要化为最简形式。每道题都按该步骤求解即可。
【解析】
(1) 方程$5x^2+2x-1=0$为一般形式：
$a=5$，$b=2$，$c=-1$
判别式$\Delta = 2^2 - 4×5×(-1)=24＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式得：$x=\frac{-2±\sqrt{24}}{2×5}=\frac{-1±\sqrt{6}}{5}$
(2) 方程$6y^2+13y+6=0$为一般形式：
$a=6$，$b=13$，$c=6$
判别式$\Delta=13^2 - 4×6×6=25＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式得：$y=\frac{-13±\sqrt{25}}{2×6}=\frac{-13±5}{12}$，计算得两个根。
(3) 整理原方程$3x(x-1)-1=0$得$3x^2-3x-1=0$：
$a=3$，$b=-3$，$c=-1$
判别式$\Delta=(-3)^2 - 4×3×(-1)=21＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式得：$x=\frac{3±\sqrt{21}}{2×3}=\frac{3±\sqrt{21}}{6}$
(4) 方程$2x^2-2\sqrt{2}x+1=0$为一般形式：
$a=2$，$b=-2\sqrt{2}$，$c=1$
判别式$\Delta=(-2\sqrt{2})^2 - 4×2×1=0$，方程有两个相等的实数根
代入求根公式得：$x=\frac{2\sqrt{2}±0}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
(5) 整理原方程$2x(x-3)=-6x+5$得$2x^2-5=0$：
$a=2$，$b=0$，$c=-5$
判别式$\Delta=0^2 - 4×2×(-5)=40＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式得：$x=\frac{0±\sqrt{40}}{4}=±\frac{\sqrt{10}}{2}$
(6) 整理原方程$3y^2+5(2y+3)=0$得$3y^2+10y+15=0$：
$a=3$，$b=10$，$c=15$
判别式$\Delta=10^2 - 4×3×15=-80＜0$，方程无实数根。
【答案】
(1)$x_{1}=\frac{-1+\sqrt{6}}{5},x_{2}=\frac{-1-\sqrt{6}}{5}$；
(2)$y_{1}=-\frac{3}{2},y_{2}=-\frac{2}{3}$；
(3)$x_{1}=\frac{3+\sqrt{21}}{6},x_{2}=\frac{3-\sqrt{21}}{6}$；
(4)$x_{1}=x_{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
(5)$x_{1}=\frac{\sqrt{10}}{2},x_{2}=-\frac{\sqrt{10}}{2}$；
(6)无解.
【知识点】
公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式；一元二次方程的一般形式
【点评】
本组题目属于一元二次方程求解的基础训练，核心考查公式法的规范使用，解题时需注意先将方程化为一般形式，准确识别各项系数及符号，判别式的计算是判断根的情况和求解的关键，计算过程中要细心，避免因符号错误或化简失误丢分。
【难度系数】
0.8
2. 当 $ x $ 是何值时，$ 3x^2 + 4x - 8 $ 的值和 $ 2x^2 - 1 $ 的值相等？
答案
根据题意，得 $3x^{2}+4x-8=2x^{2}-1$，
整理，得 $x^{2}+4x-7=0$。
$\because a=1,b=4,c=-7$，
$\therefore b^{2}-4ac=16+28=44＞0$，
$\therefore x=\frac{-4\pm\sqrt{44}}{2}=-2\pm\sqrt{11}$。
整理，得 $x^{2}+4x-7=0$。
$\because a=1,b=4,c=-7$，
$\therefore b^{2}-4ac=16+28=44＞0$，
$\therefore x=\frac{-4\pm\sqrt{44}}{2}=-2\pm\sqrt{11}$。
解析
【分析】
要使两个代数式的值相等，首先根据等量关系列出关于x的方程，再将方程整理为一元二次方程的一般形式，接着计算判别式判断方程根的情况，最后代入求根公式计算即可得到x的取值。
【解析】
根据题意，得：
$3x^{2}+4x-8=2x^{2}-1$
移项、合并同类项，整理得：
$x^{2}+4x-7=0$
其中$a=1,b=4,c=-7$，
计算判别式：$b^{2}-4ac=4^2 - 4×1×(-7)=16+28=44＞0$，
代入一元二次方程求根公式得：
$x=\frac{-4\pm\sqrt{44}}{2×1}=\frac{-4\pm2\sqrt{11}}{2}=-2\pm\sqrt{11}$
【答案】
$x=-2\pm\sqrt{11}$
【知识点】
列一元二次方程；公式法解一元二次方程
【点评】
本题是基础运算题，核心是先根据题意建立方程，再按照一元二次方程的求解步骤计算，熟练掌握求根公式能快速解题。
【难度系数】
0.8
要使两个代数式的值相等，首先根据等量关系列出关于x的方程，再将方程整理为一元二次方程的一般形式，接着计算判别式判断方程根的情况，最后代入求根公式计算即可得到x的取值。
【解析】
根据题意，得：
$3x^{2}+4x-8=2x^{2}-1$
移项、合并同类项，整理得：
$x^{2}+4x-7=0$
其中$a=1,b=4,c=-7$，
计算判别式：$b^{2}-4ac=4^2 - 4×1×(-7)=16+28=44＞0$，
代入一元二次方程求根公式得：
$x=\frac{-4\pm\sqrt{44}}{2×1}=\frac{-4\pm2\sqrt{11}}{2}=-2\pm\sqrt{11}$
【答案】
$x=-2\pm\sqrt{11}$
【知识点】
列一元二次方程；公式法解一元二次方程
【点评】
本题是基础运算题，核心是先根据题意建立方程，再按照一元二次方程的求解步骤计算，熟练掌握求根公式能快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - (n+3)x + 3n = 0 $。
(1)求证:此方程总有两个实数根；
(2)若此方程有两个相等的实数根,写出这个方程并求出此时方程的根。
(1)求证:此方程总有两个实数根；
(2)若此方程有两个相等的实数根,写出这个方程并求出此时方程的根。
答案
(1)$\because a=1,b=-(n+3),c=3n$，
$\therefore \Delta =b^{2}-4ac=(n+3)^{2}-4×3n=(n-3)^{2}$。
$\because (n-3)^{2}≥0$，
$\therefore \Delta≥0$，
$\therefore$ 此方程总有两个实数根。
(2)根据题意，得 $\Delta=(n-3)^{2}=0$，
解得 $n=3$，
此时方程为 $x^{2}-6x+9=0$，
$\therefore (x-3)^{2}=0$，解得 $x_{1}=x_{2}=3$。
$\therefore \Delta =b^{2}-4ac=(n+3)^{2}-4×3n=(n-3)^{2}$。
$\because (n-3)^{2}≥0$，
$\therefore \Delta≥0$，
$\therefore$ 此方程总有两个实数根。
(2)根据题意，得 $\Delta=(n-3)^{2}=0$，
解得 $n=3$，
此时方程为 $x^{2}-6x+9=0$，
$\therefore (x-3)^{2}=0$，解得 $x_{1}=x_{2}=3$。
解析
【分析】
(1) 要证明一元二次方程总有两个实数根，需利用根的判别式和根的关系：当$\Delta≥0$时，方程总有两个实数根。首先从给定方程中提取二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，代入$\Delta=b^2-4ac$化简，再结合平方的非负性判断$\Delta$的取值范围即可完成证明。
(2) 方程有两个相等的实数根等价于$\Delta=0$，据此先求出$n$的取值，再将$n$代入原方程得到具体的一元二次方程，选用合适的方法求解即可得到方程的根。
【解析】
(1) 由题可知，$a=1,b=-(n+3),c=3n$，
$\therefore \Delta =b^{2}-4ac=(n+3)^{2}-4×3n=(n-3)^{2}$。
$\because (n-3)^{2}≥0$，
$\therefore \Delta≥0$，
$\therefore$ 此方程总有两个实数根。
(2) 根据题意，方程有两个相等的实数根，则$\Delta=(n-3)^{2}=0$，
解得 $n=3$，
此时方程为 $x^{2}-6x+9=0$，
$\therefore (x-3)^{2}=0$，解得 $x_{1}=x_{2}=3$。
【答案】
(1) 证明成立，此方程总有两个实数根；
(2) 方程为$x^2-6x+9=0$，方程的根为$x_1=x_2=3$。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元二次方程
3. 完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础应用题，核心是掌握判别式和方程根的三种对应关系，计算判别式时注意系数符号，解方程时选择简便方法可提升解题效率。
【难度系数】
0.85
(1) 要证明一元二次方程总有两个实数根，需利用根的判别式和根的关系：当$\Delta≥0$时，方程总有两个实数根。首先从给定方程中提取二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，代入$\Delta=b^2-4ac$化简，再结合平方的非负性判断$\Delta$的取值范围即可完成证明。
(2) 方程有两个相等的实数根等价于$\Delta=0$，据此先求出$n$的取值，再将$n$代入原方程得到具体的一元二次方程，选用合适的方法求解即可得到方程的根。
【解析】
(1) 由题可知，$a=1,b=-(n+3),c=3n$，
$\therefore \Delta =b^{2}-4ac=(n+3)^{2}-4×3n=(n-3)^{2}$。
$\because (n-3)^{2}≥0$，
$\therefore \Delta≥0$，
$\therefore$ 此方程总有两个实数根。
(2) 根据题意，方程有两个相等的实数根，则$\Delta=(n-3)^{2}=0$，
解得 $n=3$，
此时方程为 $x^{2}-6x+9=0$，
$\therefore (x-3)^{2}=0$，解得 $x_{1}=x_{2}=3$。
【答案】
(1) 证明成立，此方程总有两个实数根；
(2) 方程为$x^2-6x+9=0$，方程的根为$x_1=x_2=3$。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元二次方程
3. 完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础应用题，核心是掌握判别式和方程根的三种对应关系，计算判别式时注意系数符号，解方程时选择简便方法可提升解题效率。
【难度系数】
0.85
