1[2025 浙江衢州期中,中]在$△ ABC$中,AD为BC边上的中线,若$△ ABD$与$△ ADC$的周长差为5,$AC=8$,则AB的长为 ()

A.2
B.13
C.3或13
D.2或12

1.C 【解析】①当△ABD的周长大于△ADC的周长时,因为AD为BC边上的中线,所以BD=CD,所以△ABD与△ADC的周长差为(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB-AC=5.因为AC=8,所以AB=13.
②当△ADC的周长大于△ABD的周长时,因为AD为BC边上的中线,所以BD=CD,所以△ADC与△ABD的周长差为(AC+AD+CD)-(AB+AD+BD)=AC-AB=5.因为AC=8,所以AB=3.综上,AB的长为3或13,故选C.

2 [2025 浙江杭州期中,中]在$△ ABC$中,$AB=AC$,若中线$BD$将该三角形的周长分为5和3两个部分,则$BC$长为 ()

A.$\frac{4}{3}$
B.4
C.$\frac{4}{3}$或4
D.$\frac{5}{3}$或4

2.A 【解析】如图,设AB=AC=x,BC=y. 因为BD是中线,所以AD=CD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$x. 因为中线BD将该三角形的周长分为5和3两个部分,所以$\begin{cases} AB+AD=5, \\ BC+CD=3 \end{cases}$或$\begin{cases} AB+AD=3, \\ BC+CD=5, \end{cases}$所以$\begin{cases} x+\frac{1}{2}x=5, \\ y+\frac{1}{2}x=3 \end{cases}$或$\begin{cases} x+\frac{1}{2}x=3, \\ y+\frac{1}{2}x=5, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=\frac{10}{3}, \\ y=\frac{4}{3} \end{cases}$或$\begin{cases} x=2, \\ y=4. \end{cases}$当AB=AC=$\frac{10}{3}$,BC=$\frac{4}{3}$时,$\frac{10}{3}+\frac{4}{3}＞\frac{10}{3}$,可以组成三角形;当AB=AC=2,BC=4时,2+2=4,不可以组成三角形,所以BC的长为$\frac{4}{3}$,故选A.

3[2025浙江宁波期中,中]如图,D,E,F分别是BC,AD,AC的中点,若阴影部分的面积为6,则△ABC的面积是 ()

A.12
B.14
C.15
D.16

(第3题图) (第4题图)

3.D 【解析】因为D,E,F分别是BC,AD,AC的中点,所以$S_{△ABD}=S_{△ADC}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$,$S_{△BDE}=\frac{1}{2}S_{△ABD}$,$S_{△ADF}=\frac{1}{2}S_{△ADC}$,$S_{△DEF}=\frac{1}{2}S_{△ADF}$,所以$S_{△BDE}=\frac{1}{4}S_{△ABC}$,$S_{△DEF}=\frac{1}{4}S_{△ADC}=\frac{1}{8}S_{△ABC}$,所以$S_{阴影部分}=S_{△BDE}+S_{△DEF}=\frac{1}{4}S_{△ABC}+\frac{1}{8}S_{△ABC}=\frac{3}{8}S_{△ABC}$,所以$S_{△ABC}=\frac{8}{3}S_{阴影部分}=\frac{8}{3}×6=16$,故选D.
关键点拨
熟知三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形,并根据中线找出题图中三角形的面积关系是解题的关键.

4 新考法[2026山东淄博质检,中]如图,四边形ABCD的面积是16,各边中点分别为M,N,P,Q,MP与NQ相交于点O,则图中阴影部分的面积为.

4.8 【解析】如图,连结OA,OB,OC,OD. 因为四边形ABCD各边中点分别为M,N,P,Q,所以AM=BM,CN=BN,CP=DP,AQ=DQ,所以$S_{△AOM}=S_{△BOM}$,① $S_{△CON}=S_{△BON}$,② $S_{△COP}=S_{△DOP}$,③ $S_{△AOQ}=S_{△DOQ}$,④ ①+②+③+④,得$S_{△AOM}+S_{△CON}+S_{△COP}+S_{△AOQ}=S_{△BOM}+S_{△BON}+S_{△DOP}+S_{△DOQ}$,所以$S_{四边形AMOQ}+S_{四边形CPON}=S_{四边形BMON}+S_{四边形DPOQ}=\frac{1}{2}S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}×16=8$. 故答案为8.

5[2025浙江宁波期中,中]我们发现,用不同的方式表示同一图形的面积可以解决计算线段长的有关问题,这种方法称为等面积法.

(1)如图(1),$△ ABC$中,$BC$是$AC$边上的高,$CD$是$AB$边上的高,我们知道三角形的面积=$\frac{1}{2}×底×高$,则$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=$.
(2)如图(1),若$∠ ACB=90°$,$AC=3$,$BC=4$,$AB=5$,$CD$是边$AB$上的高线,用等面积法求$CD$的长.
(3)如图(2),在等腰三角形$ABC$中,$AB=AC=13$,$BC=10$,过$A$作$AH⊥ BC$于点$H$,且$AH=12$,$P$为底边$BC$上的任意一点,过点$P$作$PM⊥ AB$,$PN⊥ AC$,垂足分别为$M$,$N$,连结$AP$,利用$S_{△ ABC}=S_{△ ABP}+S_{△ ACP}$,求$PM+PN$的值.

5.【解】(1)$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·CD$. 故答案为$\frac{1}{2}AB·CD$.
(2)由(1)可得$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·CD$,则$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5×CD$,所以$CD=\frac{12}{5}$.
(3)因为$AH⊥ BC$,$PM⊥ AB$,$PN⊥ AC$,$S_{△ABC}=S_{△ABP}+S_{△ACP}$,所以$\frac{1}{2}BC·AH=\frac{1}{2}AB·PM+\frac{1}{2}AC·PN$,所以$\frac{1}{2}×10×12=\frac{1}{2}×13·PM+\frac{1}{2}×13·PN=\frac{1}{2}×13(PM+PN)$,所以$PM+PN=\frac{120}{13}$.

6[2025 浙江杭州质检,中]已知$△ ABC$的面积为24,AD是BC边上的高,若$AD=4,CD=5$,则BD的长为 ()

A.1
B.1或11
C.7
D.7或17

6.D 【解析】当AD在△ABC内部时,如图(1). 因为△ABC的面积为24,AD是BC边上的高,AD=4,CD=5,所以$\frac{1}{2}BC·AD=\frac{1}{2}(BD+CD)·AD=\frac{1}{2}(BD+5)×4=24$,所以BD=7.
当AD在△ABC外部时,如图(2). 因为△ABC的面积为24,AD是BC边上的高,AD=4,CD=5,所以$\frac{1}{2}BC·AD=\frac{1}{2}BC×4=24$,所以BC=12,所以BD=BC+CD=12+5=17. 综上所述,BD的长为7或17,故选D.

关键点拨
分△ABC为锐角三角形(∠ACB为锐角)和△ABC为钝角三角形(∠ACB为钝角)两种情况,画出相应图形再求解.

7[2025 浙江金华调研,中]在$△ ABC$中,$AD$,$BE$为三角形的高,$M$为$AD$,$BE$所在直线的交点,$∠ BMD=52°$,则$∠ C$的度数是.

7.52°或128° 【解析】当△ABC为锐角三角形,∠ACB为锐角时,如图(1)所示. 因为AD⊥BC,BE⊥AC,所以∠AEM=90°,∠ADC=90°,所以∠AME+∠DAC=90°,∠DAC+∠C=90°,所以∠AME=∠C. 因为∠BMD=∠AME=52°,所以∠C=52°. 当△ABC为钝角三角形,∠ACB为钝角时,如图(2)所示. 因为AD⊥BC,BE⊥AC,所以∠MDB=90°,∠CEB=90°,所以∠DMB+∠DBM=90°,∠DBM+∠BCE=90°,所以∠DMB=∠BCE. 因为∠DMB=52°,所以∠BCE=52°,所以∠ACB=180°-52°=128°. 故答案为52°或128°.