1[中]如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,AD是高,BE是中线,CF是角平分线,CF交AD于点G,交BE于点H,下面说法正确的是 ()
①$△ ABE$与$△ BCE$的面积相等;②$∠ AFG=∠ AGF$;③$∠ FAG=2∠ ACF$.


A.①②
B.①②③
C.②③
D.①③

1.B 【解析】因为BE是中线，所以AE=CE，所以△ABE与△BCE的面积相等，故①正确. 因为CF是角平分线，所以∠ACF=∠BCF. 因为AD为高，所以∠ADC=90°，所以∠ACB+∠CAD=90°. 因为∠BAC=90°，所以∠ABC+∠ACB=90°，所以∠ABC=∠CAD. 因为$∠AFG = 180° - ∠BFC = ∠ABC+∠BCF$，$∠AGF = 180° - ∠AGC = ∠CAD+∠ACF$，所以∠AFG=∠AGF，故②正确. 因为AD为高，所以∠ADB=90°，所以∠ABC+∠BAD=90°. 因为∠BAC=90°，所以∠ABC+∠ACB=90°，所以∠ACB=∠BAD. 因为CF是∠ACB的平分线，所以∠ACB=2∠ACF，所以∠BAD=2∠ACF，即∠FAG=2∠ACF，故③正确. 故选B.

2[2026浙江金华质检,中]在$△ ABC$中,$AB＜AC$,D,E是BC边上的两点,且$BD＜BE$,下列四个推断中错误的是 ()

A.若AD是$△ ABC$的高,则AE可能是$△ ABC$的中线
B.若AD是$△ ABC$的中线,则AE不可能是$△ ABC$的高
C.若AD是$△ ABC$的角平分线,则AE可能是$△ ABC$的中线
D.若AD是$△ ABC$的高,则AE不可能是$△ ABC$的角平分线

2.D 【解析】A选项，如图(1)，因为AD是△ABC的高，所以∠ADB=∠ADC=90°. 在△ABC中，因为AB＜AC，所以∠B＞∠C，所以90°-∠B＜90°-∠C，即∠BAD＜∠CAD，所以BD＜CD. 因为D，E是BC边上两点，且BD＜BE，所以E可能为BC的中点，所以AE可能是△ABC的中线，此选项不符合题意. B选项，如图(2)，因为AD是△ABC的中线，所以BD=CD. 又因为BD＜BE，所以AE＞AD，所以AE不可能是△ABC的高，此选项不符合题意. C选项，如图(3)，因为AD是△ABC的角平分线，BD＜BE，所以当E为BC中点时，AE是△ABC的中线，此选项不符合题意. D选项，如图(4)，因为AD是△ABC的高，所以∠ADB=∠ADC=90°. 在△ABC中，AB＜AC，所以∠B＞∠C，所以90°-∠B＜90°-∠C，即∠BAD＜∠CAD. 因为D，E是BC边上的两点，且BD＜BE，所以∠BAD＜∠BAE，所以∠BAE与∠CAE可能相等，因此AE可能是△ABC的角平分线，此选项符合题意. 故选D.

3[2026浙江绍兴质检,中]如图,在$△ ABC$中,E是AC上的一点,$AE=4EC$,点D是CB的中点,且$S_{△ ABC}=15$,则$S_{1}-S_{2}=$。

3.$\frac{9}{2}$ 【解析】在△ABC中，E是AC上的一点，AE=4EC，所以$\frac{S_{△ABE}}{S_{△CBE}}=4$，所以$S_{△CBE}=\frac{1}{5}S_{△ABC}=3$. 在△ABC中，点D是CB的中点，所以$\frac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}}=1$，所以$S_{△ABD}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=\frac{15}{2}$. 因为$S_{△ABD}=S_1+S_{△BDF}$，$S_{△CBE}=S_2+S_{△BDF}$，所以$S_1-S_2=S_{△ABD}-S_{△CBE}=\frac{15}{2}-3=\frac{9}{2}$，故答案为$\frac{9}{2}$.

4 新考法[2026 江苏连云港调研,中]如图,有一块三角形形状的优良品种试验田,现引进四种不同的种子进行对比试验,需要将这块试验田分成面积相等的四部分,请你设计出三种划分方案,画图并进行说明.

4.【解】(答案不唯一)方案一:取BC的中点D，然后取AB的中点E，AC的中点F，连结AD，ED，FD，如图(1)所示. 因为AD是△ABC的中线，所以$S_{△ABD}=S_{△ACD}$. 因为DE是△ABD的中线，所以$S_{△AED}=S_{△BDE}=\frac{1}{2}S_{△ABD}$. 因为DF是△ADC的中线，所以$S_{△ADF}=S_{△CDF}=\frac{1}{2}S_{△ACD}$，所以$S_{△AED}=S_{△BDE}=S_{△ADF}=S_{△CDF}$. 方案二:取BC的中点D，然后取BD的中点G，CD的中点H，连结AG，AD，AH，如图(2)所示. 因为AD是△ABC的中线，所以$S_{△ABD}=S_{△ACD}$. 因为AG是△ABD的中线，所以$S_{△ABG}=S_{△AGD}=\frac{1}{2}S_{△ABD}$. 因为AH是△ADC的中线，所以$S_{△ADH}=S_{△ACH}=\frac{1}{2}S_{△ACD}$，所以$S_{△ABG}=S_{△AGD}=S_{△ADH}=S_{△ACH}$. 方案三:取BC的中点D，连结AD，然后取AD的中点I，连结BI，CI，如图(3)所示. 因为AD是△ABC的中线，所以$S_{△ABD}=S_{△ACD}$. 因为BI是△ABD的中线，所以$S_{△ABI}=S_{△BDI}=\frac{1}{2}S_{△ABD}$. 因为CI是△ADC的中线，所以$S_{△ACI}=S_{△CDI}=\frac{1}{2}S_{△ACD}$，所以$S_{△ABI}=S_{△BDI}=S_{△ACI}=S_{△CDI}$.

5[2026浙江杭州质检,中]如图,在$△ ABC$中,AE是角平分线,AD是高.
(1)若$∠ C=30°,∠ B=80°,DF⊥ AE$,垂足为F,求$∠ ADF$的度数;
(2)若$∠ B=α,∠ C=β(α＞β)$,求$∠ DAE$的度数(用含有$α,β$的代数式表示).

5.【解】(1)因为∠C=30°,∠B=80°,所以∠BAC=180°-∠B-∠C=70°. 因为AE是角平分线，所以$∠CAE=\frac{1}{2}∠BAC=35°$. 因为AD是高，所以AD⊥BC，∠ADC=90°，所以∠CAD=180°-∠C-∠ADC=60°，所以∠DAE=∠CAD-∠CAE=25°. 因为DF⊥AE，所以∠DFA=90°，所以∠ADF=180°-∠DAE-∠DFA=65°. (2)因为∠B=α，∠C=β，所以∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-α-β. 因为AE是角平分线，所以$∠CAE=\frac{1}{2}∠BAC=90°-\frac{1}{2}α-\frac{1}{2}β$. 因为AD是高，所以AD⊥BC，∠ADC=90°，所以∠CAD=180°-∠C-∠ADC=90°-β，所以$∠DAE=∠CAD-∠CAE=90°-β-(90°-\frac{1}{2}α-\frac{1}{2}β)=\frac{1}{2}α-\frac{1}{2}β$.

6 核心素养运算能力[较难]已知$△ ABC$中,$∠ A=x°$.
(1)如图(1),$BO$,$CO$分别是$∠ ABC$,$∠ ACB$的平分线,则$∠ BOC=$°(用含$x$的代数式表示).
(2)如图(2),若$∠ ABC$和$∠ ACB$的三等分线相交于点$O_1$,$O_2$,则$∠ BO_1C=$°.(用含$x$的代数式表示)
(3)如图(3),若$∠ ABC$和$∠ ACB$的$n$等分线相交于点$O_1$,$O_2$,$···$,$O_{n-1}$,则$∠ BO_1C=$°.(用含$x$及$n$的代数式表示)

6.【解】(1)因为∠A=x°，所以∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-x°. 因为BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，所以$∠OBC=\frac{1}{2}∠ABC$，$∠OCB=\frac{1}{2}∠ACB$，所以$∠OBC+∠OCB=\frac{1}{2}(∠ABC+∠ACB)=\frac{1}{2}×(180°-x°)=90°-\frac{1}{2}x°$，所以$∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-(90°-\frac{1}{2}x°)=(90+\frac{1}{2}x)°$. 故答案为$(90+\frac{1}{2}x)$. (2)因为∠ABC和∠ACB的三等分线相交于点$O_1$，$O_2$，所以$∠O_1BC=\frac{2}{3}∠ABC$，$∠O_1CB=\frac{2}{3}∠ACB$，所以$\frac{3}{2}∠O_1BC=∠ABC$，$\frac{3}{2}∠O_1CB=∠ACB$. 因为∠A+∠ABC+∠ACB=180°，所以$∠A+\frac{3}{2}∠O_1BC+\frac{3}{2}∠O_1CB=180°$，所以$∠O_1BC+∠O_1CB=\frac{2}{3}(180°-∠A)$，所以$∠BO_1C=180°-(∠O_1BC+∠O_1CB)=60°+\frac{2}{3}∠A=(60+\frac{2}{3}x)°$. 故答案为$(60+\frac{2}{3}x)$. (3)根据(1)(2)可得规律为若∠ABC和∠ACB的n等分线相交于点$O_1,O_2,⋯,O_{n-1}$，则$∠BO_1C=(\frac{180}{n}+\frac{n-1}{n}x)°$. 故答案为$(\frac{180}{n}+\frac{n-1}{n}x)$.