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三、解答题(共50分)
11 解方程组：
(1) $\begin{cases}3x+2y=8, \\4x-5y=3;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}z=x+y, ① \\x+y+z=6, ② \\x-y=3. ③\end{cases}$
11 解方程组：
(1) $\begin{cases}3x+2y=8, \\4x-5y=3;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}z=x+y, ① \\x+y+z=6, ② \\x-y=3. ③\end{cases}$
答案
11.【解】(1)$\begin{cases}3x+2y=8,① \\4x-5y=3,② \end{cases}$
①×5+②×2，得$23x=46$，解得$x=2$.
把$x=2$代入①，得$3×2+2y=8$，解得$y=1$，
所以原方程组的解是$\begin{cases}x=2, \\y=1.\end{cases}$
(2)将①代入②，得$x+y+x+y=6$，即$x+y=3$. ④
③+④，得$2x=6$，解得$x=3$.
将$x=3$代入④，得$y=0$. 将$x=3$，$y=0$代入①，得$z=3$.
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=3, \\y=0, \\z=3.\end{cases}$
①×5+②×2，得$23x=46$，解得$x=2$.
把$x=2$代入①，得$3×2+2y=8$，解得$y=1$，
所以原方程组的解是$\begin{cases}x=2, \\y=1.\end{cases}$
(2)将①代入②，得$x+y+x+y=6$，即$x+y=3$. ④
③+④，得$2x=6$，解得$x=3$.
将$x=3$代入④，得$y=0$. 将$x=3$，$y=0$代入①，得$z=3$.
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=3, \\y=0, \\z=3.\end{cases}$
解析
【分析】
(1) 该题为二元一次方程组求解，适合用加减消元法：观察方程中y的系数为2和-5，最小公倍数为10，将两个方程分别乘对应系数把y的系数化为互为相反数，相加即可消去y，先求出x的值，再代入原方程求y即可。
(2) 该题为三元一次方程组求解，优先用代入消元法降维：将①式z=x+y直接代入②式消去z，得到关于x、y的二元一次方程，再和③式组成二元一次方程组，用加减消元法求出x、y的值，最后代入①式求z即可。
【解析】
(1) 记$\begin{cases}3x+2y=8,① \\4x-5y=3,② \end{cases}$
①×5+②×2，得$23x=46$，解得$x=2$。
把$x=2$代入①，得$3×2+2y=8$，解得$y=1$。
所以原方程组的解是$\begin{cases}x=2, \\y=1.\end{cases}$
(2) 记$\begin{cases}z=x+y, ① \\x+y+z=6, ② \\x-y=3. ③\end{cases}$
将①代入②，得$x+y+x+y=6$，化简得$x+y=3$ ④。
③+④，得$2x=6$，解得$x=3$。
将$x=3$代入④，得$y=0$。将$x=3$，$y=0$代入①，得$z=3$。
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=3, \\y=0, \\z=3.\end{cases}$
【答案】
(1) $\begin{cases}x=2, \\y=1\end{cases}$；(2) $\begin{cases}x=3, \\y=0, \\z=3\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解法，三元一次方程组的解法，消元思想
【点评】
本题是一次方程组的基础考查题，解题核心是通过代入消元或加减消元将多元方程组逐步转化为一元方程求解，消元技巧是解题关键，这类题型需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
(1) 该题为二元一次方程组求解，适合用加减消元法：观察方程中y的系数为2和-5，最小公倍数为10，将两个方程分别乘对应系数把y的系数化为互为相反数，相加即可消去y，先求出x的值，再代入原方程求y即可。
(2) 该题为三元一次方程组求解，优先用代入消元法降维：将①式z=x+y直接代入②式消去z，得到关于x、y的二元一次方程，再和③式组成二元一次方程组，用加减消元法求出x、y的值，最后代入①式求z即可。
【解析】
(1) 记$\begin{cases}3x+2y=8,① \\4x-5y=3,② \end{cases}$
①×5+②×2，得$23x=46$，解得$x=2$。
把$x=2$代入①，得$3×2+2y=8$，解得$y=1$。
所以原方程组的解是$\begin{cases}x=2, \\y=1.\end{cases}$
(2) 记$\begin{cases}z=x+y, ① \\x+y+z=6, ② \\x-y=3. ③\end{cases}$
将①代入②，得$x+y+x+y=6$，化简得$x+y=3$ ④。
③+④，得$2x=6$，解得$x=3$。
将$x=3$代入④，得$y=0$。将$x=3$，$y=0$代入①，得$z=3$。
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=3, \\y=0, \\z=3.\end{cases}$
【答案】
(1) $\begin{cases}x=2, \\y=1\end{cases}$；(2) $\begin{cases}x=3, \\y=0, \\z=3\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解法，三元一次方程组的解法，消元思想
【点评】
本题是一次方程组的基础考查题，解题核心是通过代入消元或加减消元将多元方程组逐步转化为一元方程求解，消元技巧是解题关键，这类题型需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
12 已知关于 $ x,y $ 的方程组 $ \begin{cases} nx + (n+1)y = n+2, \\ x - 2y + mx = -5 \end{cases} $（$ m,n $ 是常数）.
(1) 当 $ n=1 $ 时，方程组可化为 $ \begin{cases} x + 2y = 3, \\ x - 2y + mx = -5. \end{cases} $
(i) 请直接写出方程 $ x + 2y = 3 $ 的所有非负整数解；
(ii) 若该方程组的解也满足方程 $ x + y = 2 $，求 $ m $ 的值.
(2) 无论 $ m $ 取何值，方程 $ x - 2y + mx = -5 $ 总有一个公共解，你能求出这个公共解吗？
(3) 当 $ n=3 $ 时，如果方程组有整数解，求整数 $ m $ 的值.
(1) 当 $ n=1 $ 时，方程组可化为 $ \begin{cases} x + 2y = 3, \\ x - 2y + mx = -5. \end{cases} $
(i) 请直接写出方程 $ x + 2y = 3 $ 的所有非负整数解；
(ii) 若该方程组的解也满足方程 $ x + y = 2 $，求 $ m $ 的值.
(2) 无论 $ m $ 取何值，方程 $ x - 2y + mx = -5 $ 总有一个公共解，你能求出这个公共解吗？
(3) 当 $ n=3 $ 时，如果方程组有整数解，求整数 $ m $ 的值.
答案
12.【解】(1)(i)当$y=0$时，$x=3$；当$y=1$时，$x=1$，所以$x+2y=3$的所有非负整数解为$\begin{cases}x=3, \\y=0 \end{cases}$或$\begin{cases}x=1, \\y=1.\end{cases}$
(ii)由题意可得$\begin{cases}x+2y=3,① \\x+y=2,② \end{cases}$ ①-②，得$y=1$，将$y=1$代入②，得$x=1$，所以方程组的解为$\begin{cases}x=1, \\y=1.\end{cases}$ 将$\begin{cases}x=1, \\y=1.\end{cases}$代入$x-2y+mx=-5$中，得$1-2+m=-5$，解得$m=-4$.
(2)$x-2y+mx=-5$变形为$(m+1)x-2y=-5$，因为无论m取何值，方程总有一个公共解，所以当$x=0$时，$y=\frac{5}{2}$，所以$\begin{cases}x=0, \\y=\frac{5}{2}\end{cases}$是方程的公共解.
(3)当$n = 3$时，原方程组可化为$\begin{cases}3x+4y=5,① \\x-2y+mx=-5,② \end{cases}$ ②×2，得$2x-4y+2mx=-10$，③ ①+③，得$5x+2mx=-5$，整理得$(5+2m)x=-5$. 因为方程组有整数解，且m是整数，所以$5+2m=±1$或$±5$. 当$5+2m=1$时，$m=-2$，此时方程组的解为$\begin{cases}x=-5, \\y=5;\end{cases}$ 当$5+2m=-1$时，$m = -3$，此时方程组的解为$\begin{cases}x=5, \\y=-\frac{5}{2}\end{cases}$(不符合题意，舍去)；当$5+2m=5$时，$m=0$，此时方程组的解为$\begin{cases}x=-1, \\y=2;\end{cases}$ 当$5+2m=-5$时，$m = -5$，此时方程组的解为$\begin{cases}x=1, \\y=\frac{1}{2}\end{cases}$(不符合题意，舍去).
综上所述，$m=-2$或$m=0$.
(ii)由题意可得$\begin{cases}x+2y=3,① \\x+y=2,② \end{cases}$ ①-②，得$y=1$，将$y=1$代入②，得$x=1$，所以方程组的解为$\begin{cases}x=1, \\y=1.\end{cases}$ 将$\begin{cases}x=1, \\y=1.\end{cases}$代入$x-2y+mx=-5$中，得$1-2+m=-5$，解得$m=-4$.
(2)$x-2y+mx=-5$变形为$(m+1)x-2y=-5$，因为无论m取何值，方程总有一个公共解，所以当$x=0$时，$y=\frac{5}{2}$，所以$\begin{cases}x=0, \\y=\frac{5}{2}\end{cases}$是方程的公共解.
(3)当$n = 3$时，原方程组可化为$\begin{cases}3x+4y=5,① \\x-2y+mx=-5,② \end{cases}$ ②×2，得$2x-4y+2mx=-10$，③ ①+③，得$5x+2mx=-5$，整理得$(5+2m)x=-5$. 因为方程组有整数解，且m是整数，所以$5+2m=±1$或$±5$. 当$5+2m=1$时，$m=-2$，此时方程组的解为$\begin{cases}x=-5, \\y=5;\end{cases}$ 当$5+2m=-1$时，$m = -3$，此时方程组的解为$\begin{cases}x=5, \\y=-\frac{5}{2}\end{cases}$(不符合题意，舍去)；当$5+2m=5$时，$m=0$，此时方程组的解为$\begin{cases}x=-1, \\y=2;\end{cases}$ 当$5+2m=-5$时，$m = -5$，此时方程组的解为$\begin{cases}x=1, \\y=\frac{1}{2}\end{cases}$(不符合题意，舍去).
综上所述，$m=-2$或$m=0$.
解析
【分析】
（1）(i) 求二元一次方程的非负整数解，即x、y均为大于等于0的整数，对y从小到大取值，满足2y≤3即可得到对应的x值；
(ii) 已知方程组的解满足x+y=2，可先联立x+2y=3和x+y=2，用加减消元法求出x、y的值，再代入含m的方程即可求解m；
（2）无论m取何值方程都成立，说明这个解与m的取值无关，将方程整理为含m的项和常数项分离的形式，令m的系数为0，即可求出公共解的x，再代入求y；
（3）当n=3时，先写出化简后的方程组，用加减消元法消去y，得到x关于m的表达式，根据x为整数，可得x的系数是-5的整数因数，逐一验证得到的解是否为整数，舍去不符合题意的m值即可。
【解析】
(1)(i) 方程$x+2y=3$的非负整数解要求$x≥0,y≥0$且均为整数：
当$y=0$时，$x=3-0=3$，符合要求；
当$y=1$时，$x=3-2×1=1$，符合要求；
当$y≥2$时，$2y≥4＞3$，x为负数，不符合要求。
因此非负整数解为$\begin{cases}x=3, \\y=0 \end{cases}$或$\begin{cases}x=1, \\y=1\end{cases}$。
(ii) 由题意，方程组的解同时满足$\begin{cases}x+2y=3,① \\x+y=2,② \end{cases}$
用①-②得：$(x+2y)-(x+y)=3-2$，解得$y=1$，
将$y=1$代入②得：$x+1=2$，解得$x=1$，
所以方程组的解为$\begin{cases}x=1, \\y=1\end{cases}$，
将解代入$x-2y+mx=-5$得：$1-2×1 + m×1 = -5$，
即$-1+m=-5$，解得$m=-4$。
(2) 将方程$x-2y+mx=-5$整理得：$(m+1)x - 2y = -5$，
因为无论m取何值，方程总有公共解，即解与m无关，因此令m的系数为0，即$x=0$，
代入方程得：$0 - 2y = -5$，解得$y=\frac{5}{2}$，
所以公共解为$\begin{cases}x=0, \\y=\frac{5}{2}\end{cases}$。
(3) 当$n=3$时，原方程组化简为$\begin{cases}3x+4y=5,① \\(m+1)x-2y=-5,② \end{cases}$
将②$×2$得：$2(m+1)x -4y = -10$，③
①+③得：$3x + 2(m+1)x = 5-10$，整理得$(2m+5)x = -5$，
因为方程组有整数解，且m为整数，因此$2m+5$是$-5$的整数因数，即$2m+5=\pm1$或$\pm5$：
①当$2m+5=1$时，解得$m=-2$，此时$x=-5÷1=-5$，代入①得$3×(-5)+4y=5$，解得$y=5$，均为整数，符合题意；
②当$2m+5=-1$时，解得$m=-3$，此时$x=-5÷(-1)=5$，代入①得$3×5+4y=5$，解得$y=-\frac{5}{2}$，不是整数，舍去；
③当$2m+5=5$时，解得$m=0$，此时$x=-5÷5=-1$，代入①得$3×(-1)+4y=5$，解得$y=2$，均为整数，符合题意；
④当$2m+5=-5$时，解得$m=-5$，此时$x=-5÷(-5)=1$，代入①得$3×1+4y=5$，解得$y=\frac{1}{2}$，不是整数，舍去。
综上，整数m的值为-2或0。
【答案】
(1)(i) $\begin{cases}x=3, \\y=0 \end{cases}$或$\begin{cases}x=1, \\y=1\end{cases}$；
(ii) $m=-4$；
(2) $\begin{cases}x=0, \\y=\frac{5}{2}\end{cases}$；
(3) $m=-2$或$m=0$
【知识点】
二元一次方程的解，含参二元一次方程组，整数解求解
【点评】
本题围绕二元一次方程组展开，从基础的非负整数解求解，到含参方程的公共解、整数解问题，梯度设置合理，既考查了消元法等基础运算能力，也考查了参数处理、分类讨论的思维，解题时要注意解的限制条件，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
（1）(i) 求二元一次方程的非负整数解，即x、y均为大于等于0的整数，对y从小到大取值，满足2y≤3即可得到对应的x值；
(ii) 已知方程组的解满足x+y=2，可先联立x+2y=3和x+y=2，用加减消元法求出x、y的值，再代入含m的方程即可求解m；
（2）无论m取何值方程都成立，说明这个解与m的取值无关，将方程整理为含m的项和常数项分离的形式，令m的系数为0，即可求出公共解的x，再代入求y；
（3）当n=3时，先写出化简后的方程组，用加减消元法消去y，得到x关于m的表达式，根据x为整数，可得x的系数是-5的整数因数，逐一验证得到的解是否为整数，舍去不符合题意的m值即可。
【解析】
(1)(i) 方程$x+2y=3$的非负整数解要求$x≥0,y≥0$且均为整数：
当$y=0$时，$x=3-0=3$，符合要求；
当$y=1$时，$x=3-2×1=1$，符合要求；
当$y≥2$时，$2y≥4＞3$，x为负数，不符合要求。
因此非负整数解为$\begin{cases}x=3, \\y=0 \end{cases}$或$\begin{cases}x=1, \\y=1\end{cases}$。
(ii) 由题意，方程组的解同时满足$\begin{cases}x+2y=3,① \\x+y=2,② \end{cases}$
用①-②得：$(x+2y)-(x+y)=3-2$，解得$y=1$，
将$y=1$代入②得：$x+1=2$，解得$x=1$，
所以方程组的解为$\begin{cases}x=1, \\y=1\end{cases}$，
将解代入$x-2y+mx=-5$得：$1-2×1 + m×1 = -5$，
即$-1+m=-5$，解得$m=-4$。
(2) 将方程$x-2y+mx=-5$整理得：$(m+1)x - 2y = -5$，
因为无论m取何值，方程总有公共解，即解与m无关，因此令m的系数为0，即$x=0$，
代入方程得：$0 - 2y = -5$，解得$y=\frac{5}{2}$，
所以公共解为$\begin{cases}x=0, \\y=\frac{5}{2}\end{cases}$。
(3) 当$n=3$时，原方程组化简为$\begin{cases}3x+4y=5,① \\(m+1)x-2y=-5,② \end{cases}$
将②$×2$得：$2(m+1)x -4y = -10$，③
①+③得：$3x + 2(m+1)x = 5-10$，整理得$(2m+5)x = -5$，
因为方程组有整数解，且m为整数，因此$2m+5$是$-5$的整数因数，即$2m+5=\pm1$或$\pm5$：
①当$2m+5=1$时，解得$m=-2$，此时$x=-5÷1=-5$，代入①得$3×(-5)+4y=5$，解得$y=5$，均为整数，符合题意；
②当$2m+5=-1$时，解得$m=-3$，此时$x=-5÷(-1)=5$，代入①得$3×5+4y=5$，解得$y=-\frac{5}{2}$，不是整数，舍去；
③当$2m+5=5$时，解得$m=0$，此时$x=-5÷5=-1$，代入①得$3×(-1)+4y=5$，解得$y=2$，均为整数，符合题意；
④当$2m+5=-5$时，解得$m=-5$，此时$x=-5÷(-5)=1$，代入①得$3×1+4y=5$，解得$y=\frac{1}{2}$，不是整数，舍去。
综上，整数m的值为-2或0。
【答案】
(1)(i) $\begin{cases}x=3, \\y=0 \end{cases}$或$\begin{cases}x=1, \\y=1\end{cases}$；
(ii) $m=-4$；
(2) $\begin{cases}x=0, \\y=\frac{5}{2}\end{cases}$；
(3) $m=-2$或$m=0$
【知识点】
二元一次方程的解，含参二元一次方程组，整数解求解
【点评】
本题围绕二元一次方程组展开，从基础的非负整数解求解，到含参方程的公共解、整数解问题，梯度设置合理，既考查了消元法等基础运算能力，也考查了参数处理、分类讨论的思维，解题时要注意解的限制条件，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
13[2026湖南湘西州质检]根据以下素材,探究完成任务.
设计预订巴士优惠方案
素材一 某校八年级师生600人一行前往矮寨大桥和十八洞村进行春季研学活动.现有大巴和中巴两种车型可供选择
素材二 若预订8辆大巴
车和7辆中巴车会有5个空座位,预订7辆大巴车和8辆中巴车则有5人无座位
素材三 旅游公司制定车辆租赁费用如下:大巴车租金为540元/辆,中巴车租金为490元/辆
续表
设计预订巴士优惠方案
问题解决
任务一 探求两种车型的规格
请运用适当方法,求出1辆大巴车与1辆中巴车的载客量
任务二 探究预定方案 请你为该校选择一种最优惠的预定方案
设计预订巴士优惠方案
素材一 某校八年级师生600人一行前往矮寨大桥和十八洞村进行春季研学活动.现有大巴和中巴两种车型可供选择
素材二 若预订8辆大巴
车和7辆中巴车会有5个空座位,预订7辆大巴车和8辆中巴车则有5人无座位素材三 旅游公司制定车辆租赁费用如下:大巴车租金为540元/辆,中巴车租金为490元/辆
续表
设计预订巴士优惠方案
问题解决
任务一 探求两种车型的规格
请运用适当方法,求出1辆大巴车与1辆中巴车的载客量任务二 探究预定方案 请你为该校选择一种最优惠的预定方案
答案
13.【解】任务一:设1辆大巴车的载客量为x人，1辆中巴车的载客量为y人，则$\begin{cases}8x+7y=600+5, \\7x+8y=600-5,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=45, \\y=35.\end{cases}$
答:1辆大巴车的载客量为45人，1辆中巴车的载客量为35人.
任务二:结合任务一可知，若只预订大巴车，则需14辆；若只预订中巴车，则需18辆. 大巴车的人均价格为$540÷45=12$(元)，中巴车的人均价格为$490÷35=14$(元)，所以尽可能多地预订大巴车. 若预订14辆大巴车，则需要$14×540 = 7 560$(元)；若预订13辆大巴车，1辆中巴车，则需要$13×540+490 = 7 510$(元)；若预订12辆大巴车，2辆中巴车，则需要$12×540+490×2 = 7 460$(元)；若预订11辆大巴车，3辆中巴车，则需要$11×540+490×3 = 7 410$(元). 因为$7 410＜7 460＜7 510＜7 560$，所以预订11辆大巴车，3辆中巴车最优惠.
答:1辆大巴车的载客量为45人，1辆中巴车的载客量为35人.
任务二:结合任务一可知，若只预订大巴车，则需14辆；若只预订中巴车，则需18辆. 大巴车的人均价格为$540÷45=12$(元)，中巴车的人均价格为$490÷35=14$(元)，所以尽可能多地预订大巴车. 若预订14辆大巴车，则需要$14×540 = 7 560$(元)；若预订13辆大巴车，1辆中巴车，则需要$13×540+490 = 7 510$(元)；若预订12辆大巴车，2辆中巴车，则需要$12×540+490×2 = 7 460$(元)；若预订11辆大巴车，3辆中巴车，则需要$11×540+490×3 = 7 410$(元). 因为$7 410＜7 460＜7 510＜7 560$，所以预订11辆大巴车，3辆中巴车最优惠.
解析
【分析】
解题分为两个任务：任务一需从题干的两种租车载客场景中提取等量关系，用二元一次方程组求解两种车型的载客量，等量关系分别为“8辆大巴载客量+7辆中巴载客量=总人数+5个空座”“7辆大巴载客量+8辆中巴载客量=总人数-5个无座人数”，列方程组求解即可。任务二为最优租车方案问题，先计算两种车型的人均租车成本，优先选择人均成本更低的车型，再逐步调整车型数量，计算不同组合的总租车费用，对比后选出总费用最低的方案即可。
【解析】
任务一：设1辆大巴车的载客量为x人，1辆中巴车的载客量为y人。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}8x+7y=600+5 \\7x+8y=600-5\end{cases}$
解方程组得$\begin{cases}x=45 \\y=35\end{cases}$
答：1辆大巴车的载客量为45人，1辆中巴车的载客量为35人。
任务二：首先计算两种车型的人均租金：
大巴车人均租金：$540÷45=12$（元/人）
中巴车人均租金：$490÷35=14$（元/人）
因为$12＜14$，所以优先预订大巴车，同时尽量减少空座降低成本：
①租14辆大巴车：总费用为$14×540=7560$元；
②租13辆大巴车+1辆中巴车：总费用为$13×540+490=7510$元；
③租12辆大巴车+2辆中巴车：总费用为$12×540+2×490=7460$元；
④租11辆大巴车+3辆中巴车：总费用为$11×540+3×490=7410$元。
对比可知$7410＜7460＜7510＜7560$，因此该方案费用最低。
【答案】
任务一：1辆大巴车载客45人，1辆中巴车载客35人；任务二：最优惠方案为预订11辆大巴车、3辆中巴车。
【知识点】
二元一次方程组应用；最优方案设计；有理数混合运算
【点评】
本题结合研学租车的生活场景出题，既考查了利用方程模型解决实际问题的能力，又需要通过计算、对比筛选最优方案，能有效锻炼学生的数学应用意识和运算能力。
【难度系数】
0.7
解题分为两个任务：任务一需从题干的两种租车载客场景中提取等量关系，用二元一次方程组求解两种车型的载客量，等量关系分别为“8辆大巴载客量+7辆中巴载客量=总人数+5个空座”“7辆大巴载客量+8辆中巴载客量=总人数-5个无座人数”，列方程组求解即可。任务二为最优租车方案问题，先计算两种车型的人均租车成本，优先选择人均成本更低的车型，再逐步调整车型数量，计算不同组合的总租车费用，对比后选出总费用最低的方案即可。
【解析】
任务一：设1辆大巴车的载客量为x人，1辆中巴车的载客量为y人。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}8x+7y=600+5 \\7x+8y=600-5\end{cases}$
解方程组得$\begin{cases}x=45 \\y=35\end{cases}$
答：1辆大巴车的载客量为45人，1辆中巴车的载客量为35人。
任务二：首先计算两种车型的人均租金：
大巴车人均租金：$540÷45=12$（元/人）
中巴车人均租金：$490÷35=14$（元/人）
因为$12＜14$，所以优先预订大巴车，同时尽量减少空座降低成本：
①租14辆大巴车：总费用为$14×540=7560$元；
②租13辆大巴车+1辆中巴车：总费用为$13×540+490=7510$元；
③租12辆大巴车+2辆中巴车：总费用为$12×540+2×490=7460$元；
④租11辆大巴车+3辆中巴车：总费用为$11×540+3×490=7410$元。
对比可知$7410＜7460＜7510＜7560$，因此该方案费用最低。
【答案】
任务一：1辆大巴车载客45人，1辆中巴车载客35人；任务二：最优惠方案为预订11辆大巴车、3辆中巴车。
【知识点】
二元一次方程组应用；最优方案设计；有理数混合运算
【点评】
本题结合研学租车的生活场景出题，既考查了利用方程模型解决实际问题的能力，又需要通过计算、对比筛选最优方案，能有效锻炼学生的数学应用意识和运算能力。
【难度系数】
0.7
14 [2025 黑龙江哈尔滨质检]如图,$A(m,0),B(0,n)$,且$m,n$满足二元一次方程组$\begin{cases}m-n=1, \\2m-3n=-1.\end{cases}$
(1)求$A,B$两点的坐标.
(2)点$P(t,0)$是线段$OA$上一点,连接$BP$,当$△ ABP$的面积为$\dfrac{9}{2}$时,求$t$的值.
(3)在(2)的条件下,过点$A$作直线$l// y$轴,在直线$l$上有一点$M$,直线$BM$交$x$轴正半轴于点$K$,在射线$BO$上是否存在一点$N$,使$△ BPN≌△ PMK$?若存在,请求出点$N$的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求$A,B$两点的坐标.
(2)点$P(t,0)$是线段$OA$上一点,连接$BP$,当$△ ABP$的面积为$\dfrac{9}{2}$时,求$t$的值.
(3)在(2)的条件下,过点$A$作直线$l// y$轴,在直线$l$上有一点$M$,直线$BM$交$x$轴正半轴于点$K$,在射线$BO$上是否存在一点$N$,使$△ BPN≌△ PMK$?若存在,请求出点$N$的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
14.【解】(1)解方程组$\begin{cases}m-n=1, \\2m-3n=-1,\end{cases}$可得$\begin{cases}m=4, \\n=3,\end{cases}$
所以$A(4,0)$，$B(0,3)$.
(2)由题可知$OB = 3$，$AP = 4 - t$，则$S_{△ABP}=\frac{1}{2}AP·OB=\frac{1}{2}(4-t)×3=\frac{9}{2}$，解得$t=1$.
(3)存在. 因为$△ BPN≌△ PMK$，所以$BP = PM$，$BN=PK$.
因为$A(4,0)$，$B(0,3)$，$P(1,0)$，
所以$OB=3$，$OA=4$，$OP=1$，
所以$PA=OA-OP=3=OB$.
由题意得，$△ BOP$与$△ PAM$均为直角三角形.
在$Rt△ BOP$与$Rt△ PAM$中，$\begin{cases}OB=AP, \\BP=PM,\end{cases}$
所以$Rt△ BOP≌Rt△ PAM$，所以$AM=OP=1$，
所以点M的坐标为$(4,1)$或$(4,-1)$.
设直线BM的表达式为$y=kx+b(k≠0)$，则$\begin{cases}3=b, \\1=4k+b\end{cases}$或$\begin{cases}3=b, \\-1=4k+b,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-\frac{1}{2}, \\b=3\end{cases}$或$\begin{cases}k=-1, \\b=3,\end{cases}$ 所以$y=-\frac{1}{2}x+3$或$y=-x+3$，
所以易得点K的坐标为$(6,0)$或$(3,0)$，
所以$PK=5$或$PK=2$.
当$PK=5$时，$BN=5$，所以$N(0,-2)$；
当$PK=2$时，$BN=2$，所以$N(0,1)$.
综上，N的坐标为$(0,-2)$或$(0,1)$.
所以$A(4,0)$，$B(0,3)$.
(2)由题可知$OB = 3$，$AP = 4 - t$，则$S_{△ABP}=\frac{1}{2}AP·OB=\frac{1}{2}(4-t)×3=\frac{9}{2}$，解得$t=1$.
(3)存在. 因为$△ BPN≌△ PMK$，所以$BP = PM$，$BN=PK$.
因为$A(4,0)$，$B(0,3)$，$P(1,0)$，
所以$OB=3$，$OA=4$，$OP=1$，
所以$PA=OA-OP=3=OB$.
由题意得，$△ BOP$与$△ PAM$均为直角三角形.
在$Rt△ BOP$与$Rt△ PAM$中，$\begin{cases}OB=AP, \\BP=PM,\end{cases}$
所以$Rt△ BOP≌Rt△ PAM$，所以$AM=OP=1$，
所以点M的坐标为$(4,1)$或$(4,-1)$.
设直线BM的表达式为$y=kx+b(k≠0)$，则$\begin{cases}3=b, \\1=4k+b\end{cases}$或$\begin{cases}3=b, \\-1=4k+b,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-\frac{1}{2}, \\b=3\end{cases}$或$\begin{cases}k=-1, \\b=3,\end{cases}$ 所以$y=-\frac{1}{2}x+3$或$y=-x+3$，
所以易得点K的坐标为$(6,0)$或$(3,0)$，
所以$PK=5$或$PK=2$.
当$PK=5$时，$BN=5$，所以$N(0,-2)$；
当$PK=2$时，$BN=2$，所以$N(0,1)$.
综上，N的坐标为$(0,-2)$或$(0,1)$.
解析
【分析】
(1) 要得到A、B两点的坐标，需先求解关于m、n的二元一次方程组，将解得的m、n分别代入两点坐标即可。
(2) △ABP的边AP在x轴上，对应的高为点B到x轴的距离即OB的长度，先表示出AP的长度为4-t，再结合三角形面积公式列方程，解方程即可求出t的值。
(3) 先根据全等三角形的性质得到对应边相等：BP=PM、BN=PK。先证明Rt△BOP≌Rt△PAM，得到AM的长度，可知点M存在x轴上方、下方两种情况；分别求出两种情况下直线BM的解析式，得到其与x轴交点K的坐标，计算PK的长度即可得到BN的长度，结合点B的坐标和N在射线BO上的条件，即可求出N的坐标。
【解析】
(1) 解方程组$\begin{cases}m-n=1, \\2m-3n=-1,\end{cases}$
由第一个方程得$m = n+1$，代入第二个方程得$2(n+1)-3n=-1$，
解得$n=3$，则$m=3+1=4$，
所以A点坐标为$(4,0)$，B点坐标为$(0,3)$。
(2) 由题可知，$OB=3$，点$P(t,0)$在线段OA上，所以AP的长度为$4-t$，
△ABP的面积$S_{△ABP}=\frac{1}{2}×AP×OB=\frac{1}{2}(4-t)×3$，
已知$S_{△ABP}=\frac{9}{2}$，列方程得$\frac{1}{2}(4-t)×3=\frac{9}{2}$，
解得$t=1$。
(3) 存在，理由如下：
已知$△ BPN≌△ PMK$，所以对应边相等：$BP = PM$，$BN=PK$。
由(1)(2)得$A(4,0)$，$B(0,3)$，$P(1,0)$，所以$OB=3$，$OA=4$，$OP=1$，$PA=OA-OP=4-1=3=OB$。
由题意，直线$l//y$轴且过A，所以l的解析式为$x=4$，$△ BOP$和$△ PAM$都是直角三角形，
在$Rt△BOP$和$Rt△PAM$中，$\begin{cases}OB=AP, \\BP=PM,\end{cases}$
所以$Rt△BOP≌Rt△PAM(HL)$，所以$AM=OP=1$，
所以点M的坐标为$(4,1)$或$(4,-1)$。
①当$M(4,1)$时，设直线BM的解析式为$y=kx+b(k≠0)$，代入$B(0,3)$、$M(4,1)$得：
$\begin{cases}b=3, \\4k+b=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\frac{1}{2}, \\b=3,\end{cases}$即直线BM解析式为$y=-\frac{1}{2}x+3$，
令$y=0$，得$0=-\frac{1}{2}x+3$，解得$x=6$，所以$K(6,0)$，
所以$PK=6-1=5$，即$BN=5$，
因为N在射线BO上，所以N的纵坐标为$3-5=-2$，即$N(0,-2)$。
②当$M(4,-1)$时，设直线BM的解析式为$y=kx+b(k≠0)$，代入$B(0,3)$、$M(4,-1)$得：
$\begin{cases}b=3, \\4k+b=-1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1, \\b=3,\end{cases}$即直线BM解析式为$y=-x+3$，
令$y=0$，得$0=-x+3$，解得$x=3$，所以$K(3,0)$，
所以$PK=3-1=2$，即$BN=2$，
所以N的纵坐标为$3-2=1$，即$N(0,1)$。
综上，点N的坐标为$(0,1)$或$(0,-2)$。
【答案】
(1) $A(4,0)$，$B(0,3)$；
(2) $t=1$；
(3) 存在，点N的坐标为$(0,1)$或$(0,-2)$。
【知识点】
二元一次方程组的解法，坐标与三角形面积，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是平面直角坐标系下的代数几何综合题，前两问侧重基础运算，难度较低；第三问需要结合全等性质分类讨论点M的位置，避免漏解，对学生的逻辑推理和分类讨论能力有一定要求。
【难度系数】
0.55
(1) 要得到A、B两点的坐标，需先求解关于m、n的二元一次方程组，将解得的m、n分别代入两点坐标即可。
(2) △ABP的边AP在x轴上，对应的高为点B到x轴的距离即OB的长度，先表示出AP的长度为4-t，再结合三角形面积公式列方程，解方程即可求出t的值。
(3) 先根据全等三角形的性质得到对应边相等：BP=PM、BN=PK。先证明Rt△BOP≌Rt△PAM，得到AM的长度，可知点M存在x轴上方、下方两种情况；分别求出两种情况下直线BM的解析式，得到其与x轴交点K的坐标，计算PK的长度即可得到BN的长度，结合点B的坐标和N在射线BO上的条件，即可求出N的坐标。
【解析】
(1) 解方程组$\begin{cases}m-n=1, \\2m-3n=-1,\end{cases}$
由第一个方程得$m = n+1$，代入第二个方程得$2(n+1)-3n=-1$，
解得$n=3$，则$m=3+1=4$，
所以A点坐标为$(4,0)$，B点坐标为$(0,3)$。
(2) 由题可知，$OB=3$，点$P(t,0)$在线段OA上，所以AP的长度为$4-t$，
△ABP的面积$S_{△ABP}=\frac{1}{2}×AP×OB=\frac{1}{2}(4-t)×3$，
已知$S_{△ABP}=\frac{9}{2}$，列方程得$\frac{1}{2}(4-t)×3=\frac{9}{2}$，
解得$t=1$。
(3) 存在，理由如下：
已知$△ BPN≌△ PMK$，所以对应边相等：$BP = PM$，$BN=PK$。
由(1)(2)得$A(4,0)$，$B(0,3)$，$P(1,0)$，所以$OB=3$，$OA=4$，$OP=1$，$PA=OA-OP=4-1=3=OB$。
由题意，直线$l//y$轴且过A，所以l的解析式为$x=4$，$△ BOP$和$△ PAM$都是直角三角形，
在$Rt△BOP$和$Rt△PAM$中，$\begin{cases}OB=AP, \\BP=PM,\end{cases}$
所以$Rt△BOP≌Rt△PAM(HL)$，所以$AM=OP=1$，
所以点M的坐标为$(4,1)$或$(4,-1)$。
①当$M(4,1)$时，设直线BM的解析式为$y=kx+b(k≠0)$，代入$B(0,3)$、$M(4,1)$得：
$\begin{cases}b=3, \\4k+b=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\frac{1}{2}, \\b=3,\end{cases}$即直线BM解析式为$y=-\frac{1}{2}x+3$，
令$y=0$，得$0=-\frac{1}{2}x+3$，解得$x=6$，所以$K(6,0)$，
所以$PK=6-1=5$，即$BN=5$，
因为N在射线BO上，所以N的纵坐标为$3-5=-2$，即$N(0,-2)$。
②当$M(4,-1)$时，设直线BM的解析式为$y=kx+b(k≠0)$，代入$B(0,3)$、$M(4,-1)$得：
$\begin{cases}b=3, \\4k+b=-1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1, \\b=3,\end{cases}$即直线BM解析式为$y=-x+3$，
令$y=0$，得$0=-x+3$，解得$x=3$，所以$K(3,0)$，
所以$PK=3-1=2$，即$BN=2$，
所以N的纵坐标为$3-2=1$，即$N(0,1)$。
综上，点N的坐标为$(0,1)$或$(0,-2)$。
【答案】
(1) $A(4,0)$，$B(0,3)$；
(2) $t=1$；
(3) 存在，点N的坐标为$(0,1)$或$(0,-2)$。
【知识点】
二元一次方程组的解法，坐标与三角形面积，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是平面直角坐标系下的代数几何综合题，前两问侧重基础运算，难度较低；第三问需要结合全等性质分类讨论点M的位置，避免漏解，对学生的逻辑推理和分类讨论能力有一定要求。
【难度系数】
0.55
