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一、选择题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
1 [2026河北保定调研]已知二元一次方程组$\begin{cases}x+y=1, \\ *\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=-1, \\ y=a,\end{cases}$则*表示的方程可能是 ( )
A.$x-y=-3$
B.$x+y=4$
C.$2x-y=-3$
D.$2x+3y=-4$
1 [2026河北保定调研]已知二元一次方程组$\begin{cases}x+y=1, \\ *\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=-1, \\ y=a,\end{cases}$则*表示的方程可能是 ( )
A.$x-y=-3$
B.$x+y=4$
C.$2x-y=-3$
D.$2x+3y=-4$
答案
1.A 【解析】由题意得$-1+a=1$，所以$a=2$，所以二元一次方程组的解是$\begin{cases}x=-1, \\ y=2,\end{cases}$所以$x-y=-1-2=-3$，$x+y=1$，$2x-y=-4$，$2x+3y=4$. 故*表示的方程可能是$x-y=-3$. 故选A.
解析
【分析】
解题时首先要明确二元一次方程组的解同时满足方程组中的每一个方程。第一步，先将已知的解$\begin{cases}x=-1, \\ y=a\end{cases}$代入第一个方程$x+y=1$，求出$a$的值，得到完整的方程组解；第二步，将完整的解分别代入四个选项的方程中，验证哪个方程成立，成立的就是*表示的方程。
【解析】
首先把$\begin{cases}x=-1, \\ y=a\end{cases}$代入方程$x+y=1$，可得：
$-1+a=1$，解得$a=2$，
因此方程组的解为$\begin{cases}x=-1, \\ y=2\end{cases}$。
接下来将解代入各选项验证：
A选项：$x-y=-1-2=-3$，方程成立；
B选项：$x+y=-1+2=1≠4$，方程不成立；
C选项：$2x-y=2×(-1)-2=-4≠-3$，方程不成立；
D选项：$2x+3y=2×(-1)+3×2=4≠-4$，方程不成立。
因此*表示的方程是$x-y=-3$。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的解的定义；代入求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对二元一次方程组解的概念的理解，解题的关键是牢记方程组的解一定能使方程组中每个方程的左右两边相等，通过先求未知参数、再代入验证的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.85
解题时首先要明确二元一次方程组的解同时满足方程组中的每一个方程。第一步，先将已知的解$\begin{cases}x=-1, \\ y=a\end{cases}$代入第一个方程$x+y=1$，求出$a$的值，得到完整的方程组解；第二步，将完整的解分别代入四个选项的方程中，验证哪个方程成立，成立的就是*表示的方程。
【解析】
首先把$\begin{cases}x=-1, \\ y=a\end{cases}$代入方程$x+y=1$，可得：
$-1+a=1$，解得$a=2$，
因此方程组的解为$\begin{cases}x=-1, \\ y=2\end{cases}$。
接下来将解代入各选项验证：
A选项：$x-y=-1-2=-3$，方程成立；
B选项：$x+y=-1+2=1≠4$，方程不成立；
C选项：$2x-y=2×(-1)-2=-4≠-3$，方程不成立；
D选项：$2x+3y=2×(-1)+3×2=4≠-4$，方程不成立。
因此*表示的方程是$x-y=-3$。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的解的定义；代入求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对二元一次方程组解的概念的理解，解题的关键是牢记方程组的解一定能使方程组中每个方程的左右两边相等，通过先求未知参数、再代入验证的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.85
2 新考向 传统文化 [2025 吉林白城期末]中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题:“马四匹、牛六头,共价四十八两(两是我国古代一种货币单位);马三匹、牛五头,共价三十八两.问马、牛各价几何?”设马每匹$x$两,牛每头$y$两,根据题意可列方程组为 (
A.$\begin{cases}4x+6y=38, \\3x+5y=48 \end{cases}$
B.$\begin{cases}4y+6x=48, \\3y+5x=38 \end{cases}$
C.$\begin{cases}4x+6y=48, \\5x+3y=38 \end{cases}$
D.$\begin{cases}4x+6y=48, \\3x+5y=38 \end{cases}$
D
)A.$\begin{cases}4x+6y=38, \\3x+5y=48 \end{cases}$
B.$\begin{cases}4y+6x=48, \\3y+5x=38 \end{cases}$
C.$\begin{cases}4x+6y=48, \\5x+3y=38 \end{cases}$
D.$\begin{cases}4x+6y=48, \\3x+5y=38 \end{cases}$
答案
2.D 【解析】根据题意可列方程组为$\begin{cases}4x+6y=48, \\3x+5y=38.\end{cases}$ 故选D.
解析
【分析】
解题时先明确题设的未知数含义：马每匹x两，牛每头y两，接下来分别对应两个总价条件找等量关系：第一个条件对应4匹马加6头牛的总价为48两，第二个条件对应3匹马加5头牛的总价为38两，将两个等量关系转化为方程后联立，再匹配选项即可。
【解析】
根据“马四匹、牛六头，共价四十八两”，4匹马总价为4x两，6头牛总价为6y两，可列方程：$4x + 6y = 48$；
根据“马三匹、牛五头，共价三十八两”，3匹马总价为3x两，5头牛总价为5y两，可列方程：$3x + 5y = 38$；
联立得方程组$\begin{cases}4x+6y=48, \\3x+5y=38 \end{cases}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
列二元一次方程组；等量关系提取
【点评】
本题结合我国古代算书的内容出题，既传播了传统文化，也考查了列二元一次方程组解决实际问题的核心能力，解题的关键是准确匹配数量和总价的对应关系，整体难度较低。
【难度系数】
0.9
解题时先明确题设的未知数含义：马每匹x两，牛每头y两，接下来分别对应两个总价条件找等量关系：第一个条件对应4匹马加6头牛的总价为48两，第二个条件对应3匹马加5头牛的总价为38两，将两个等量关系转化为方程后联立，再匹配选项即可。
【解析】
根据“马四匹、牛六头，共价四十八两”，4匹马总价为4x两，6头牛总价为6y两，可列方程：$4x + 6y = 48$；
根据“马三匹、牛五头，共价三十八两”，3匹马总价为3x两，5头牛总价为5y两，可列方程：$3x + 5y = 38$；
联立得方程组$\begin{cases}4x+6y=48, \\3x+5y=38 \end{cases}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
列二元一次方程组；等量关系提取
【点评】
本题结合我国古代算书的内容出题，既传播了传统文化，也考查了列二元一次方程组解决实际问题的核心能力，解题的关键是准确匹配数量和总价的对应关系，整体难度较低。
【难度系数】
0.9
3[2025河北唐山调研]如图,两个天平都平衡(相同形状的物体质量相等),则与1个球质量相等的正方体的个数为 (
A.4
B.3
C.2
D.1
（第3题图）
（第5题图）
C
)A.4
B.3
C.2
D.1
（第3题图）
（第5题图）
答案
3.C 【解析】设1个球、1个圆锥、1个正方体的质量分别为$x,y,z$，则$\begin{cases}2x=4y, \\2z=2y,\end{cases}$所以$\begin{cases}x=2y, \\z=y,\end{cases}$所以$x=2z$，即与1个球质量相等的正方体的个数为2. 故选C.
解析
【分析】
天平平衡说明左右两端物体的总质量相等，解题时首先可以给三种不同物体的质量分别设未知数，再根据两个天平的平衡关系列出对应的等式，接下来通过化简等式，消去表示圆锥质量的中间未知量，就能得到球和正方体的质量关系，进而得出答案。
【解析】
设1个球、1个圆锥、1个正方体的质量分别为$x$、$y$、$z$。
根据第一个天平平衡可得：$2x=4y$，化简得$x=2y$；
根据第二个天平平衡可得：$2z=2y$，化简得$z=y$；
将$y=z$代入$x=2y$，可得$x=2z$，即1个球的质量等于2个正方体的质量。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
等式的性质、等量代换
【点评】
本题结合天平平衡的生活场景，考查将实际等量关系转化为数学等式的能力，解题核心是通过消去中间量得到目标物体的质量关系，属于基础类题型，掌握等式的基本性质和等量代换方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
天平平衡说明左右两端物体的总质量相等，解题时首先可以给三种不同物体的质量分别设未知数，再根据两个天平的平衡关系列出对应的等式，接下来通过化简等式，消去表示圆锥质量的中间未知量，就能得到球和正方体的质量关系，进而得出答案。
【解析】
设1个球、1个圆锥、1个正方体的质量分别为$x$、$y$、$z$。
根据第一个天平平衡可得：$2x=4y$，化简得$x=2y$；
根据第二个天平平衡可得：$2z=2y$，化简得$z=y$；
将$y=z$代入$x=2y$，可得$x=2z$，即1个球的质量等于2个正方体的质量。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
等式的性质、等量代换
【点评】
本题结合天平平衡的生活场景，考查将实际等量关系转化为数学等式的能力，解题核心是通过消去中间量得到目标物体的质量关系，属于基础类题型，掌握等式的基本性质和等量代换方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4[2026河北石家庄调研]已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}2x+3y=19, \\ax+by=-1\end{cases}$与$\begin{cases}3x-2y=9, \\bx+ay=-7\end{cases}$有相同的解，则$a+b-3$的值为（ ）
A.$-1$
B.$-6$
C.$-8$
D.$-4$
A.$-1$
B.$-6$
C.$-8$
D.$-4$
答案
4.D 【解析】根据题意得$\begin{cases}2x+3y=19, \\3x-2y=9,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=5, \\y=3.\end{cases}$把$\begin{cases}x=5, \\y=3.\end{cases}$分别代入方程$ax+by=-1$和方程$bx+ay=-7$，得$\begin{cases}5a+3b=-1,① \\5b+3a=-7,② \end{cases}$ ①+②，得$8a+8b=-8$，所以$a+b=-1$，所以$a+b-3=-1-3=-4$，故选D.
解析
【分析】
两个方程组有相同的解，说明这个公共解同时满足四个方程。解题时第一步先把不含参数a、b的两个方程联立，求出x、y的公共解；第二步将x、y的值代入含有a、b的两个方程，得到关于a、b的二元一次方程组；第三步观察方程组的特点，将两个方程相加即可直接求出a+b的值，最后代入计算a+b-3的结果即可。
【解析】
根据题意，先联立不含参数的两个方程，得：
$\begin{cases}2x+3y=19 \\3x-2y=9\end{cases}$
给第一个方程乘2，第二个方程乘3，得：
$\begin{cases}4x+6y=38 \\9x-6y=27\end{cases}$
两个方程相加消去y，得$13x=65$，解得$x=5$。
把$x=5$代入$2x+3y=19$，得$10+3y=19$，解得$y=3$，即公共解为$\begin{cases}x=5 \\y=3\end{cases}$。
将$\begin{cases}x=5 \\y=3\end{cases}$分别代入$ax+by=-1$和$bx+ay=-7$，得：
$\begin{cases}5a+3b=-1① \\3a+5b=-7②\end{cases}$
①+②，得$8a+8b=-8$，
两边同时除以8，得$a+b=-1$，
所以$a+b-3=-1-3=-4$。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的解，解二元一次方程组，代数式求值
【点评】
本题是同解方程组的典型问题，解题核心是抓住“同解”的含义，先求出公共解再代入含参数的方程，求解时利用整体思想计算a+b的值，避免分别求解a、b，可简化计算过程。
【难度系数】
0.7
两个方程组有相同的解，说明这个公共解同时满足四个方程。解题时第一步先把不含参数a、b的两个方程联立，求出x、y的公共解；第二步将x、y的值代入含有a、b的两个方程，得到关于a、b的二元一次方程组；第三步观察方程组的特点，将两个方程相加即可直接求出a+b的值，最后代入计算a+b-3的结果即可。
【解析】
根据题意，先联立不含参数的两个方程，得：
$\begin{cases}2x+3y=19 \\3x-2y=9\end{cases}$
给第一个方程乘2，第二个方程乘3，得：
$\begin{cases}4x+6y=38 \\9x-6y=27\end{cases}$
两个方程相加消去y，得$13x=65$，解得$x=5$。
把$x=5$代入$2x+3y=19$，得$10+3y=19$，解得$y=3$，即公共解为$\begin{cases}x=5 \\y=3\end{cases}$。
将$\begin{cases}x=5 \\y=3\end{cases}$分别代入$ax+by=-1$和$bx+ay=-7$，得：
$\begin{cases}5a+3b=-1① \\3a+5b=-7②\end{cases}$
①+②，得$8a+8b=-8$，
两边同时除以8，得$a+b=-1$，
所以$a+b-3=-1-3=-4$。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的解，解二元一次方程组，代数式求值
【点评】
本题是同解方程组的典型问题，解题核心是抓住“同解”的含义，先求出公共解再代入含参数的方程，求解时利用整体思想计算a+b的值，避免分别求解a、b，可简化计算过程。
【难度系数】
0.7
5[2025山东青岛调研]一次函数$y_1=kx+5$与一次函数$y_2=2x+k$在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，两条直线交于点$P(2,m)$，与两坐标轴分别交于$A,B,C,D$四个点，则下列结论：
①一元一次方程$kx+5=m$的解为$x=2$；②$k=-\dfrac{1}{3}$；③方程组$\begin{cases}kx - y = -5, \\2x - y = -k\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=2, \\y=3;\end{cases}$④四边形$AODP$的面积为$\dfrac{23}{4}$，其中正确的是（ ）
A.①②③
B.②③④
C.①②④
D.①③④
①一元一次方程$kx+5=m$的解为$x=2$；②$k=-\dfrac{1}{3}$；③方程组$\begin{cases}kx - y = -5, \\2x - y = -k\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=2, \\y=3;\end{cases}$④四边形$AODP$的面积为$\dfrac{23}{4}$，其中正确的是（ ）
A.①②③
B.②③④
C.①②④
D.①③④
答案
5.D 【解析】因为直线$y_1=kx+5$与直线$y_2=2x+k$交于点$P(2,m)$，所以一元一次方程$kx+5=m$的解为$x=2$，$2k+5=4+k$，故①正确；解$2k+5=4+k$，得$k=-1$，故②错误；所以$y_1=-x+5$，$y_2=2x-1$ ，把$P(2,m)$代入$y_1=-x+5$，得$-2+5=m$，所以$m=3$，所以$P(2,3)$，所以方程组$\begin{cases}kx-y=-5, \\2x-y=-k\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=2, \\y=3,\end{cases}$故③正确；因为$y_1=-x+5$，$y_2=2x-1$，所以$A(0,5)$，$D(\frac{1}{2},0)$，所以$OA=5$，$OD=\frac{1}{2}$. 连接$OP$，则$S_{四边形AODP}=S_{△AOP}+S_{△DOP}=\frac{1}{2}×5×2+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×3=\frac{23}{4}$，故④正确. 综上，正确的是①③④，故选D.
解析
【分析】
解题时先利用两条直线交点的性质：交点同时在两条直线上，坐标满足两个函数解析式，先求解参数k和m，再逐一验证四个结论：①根据一次函数与一元一次方程的关系，方程$kx+5=m$的解就是$y_1=kx+5$的函数值为m时对应的x值，即交点的横坐标；②将交点坐标代入两个函数解析式列方程求解k，判断是否正确；③二元一次方程组的解就是对应两个一次函数图象的交点坐标，求出交点坐标即可判断；④求不规则四边形面积可采用割补法，将四边形拆分为两个三角形分别计算面积再求和，验证结果是否正确。
【解析】
∵ 直线$y_1=kx+5$与$y_2=2x+k$交于点$P(2,m)$，
1. 验证结论①：当$y_1=m$时，对应$x=2$，即一元一次方程$kx+5=m$的解为$x=2$，故①正确；
2. 验证结论②：将$P(2,m)$分别代入两个函数解析式，得$\begin{cases}m=2k+5 \\ m=2×2 +k\end{cases}$，联立得$2k+5=4+k$，解得$k=-1$，不是$-\frac{1}{3}$，故②错误；
3. 验证结论③：将$k=-1$代入两个函数，得$y_1=-x+5$，$y_2=2x-1$，将$x=2$代入$y_1=-x+5$，得$m=-2+5=3$，即$P(2,3)$。方程组$\begin{cases}kx-y=-5 \\ 2x-y=-k\end{cases}$可变形为$\begin{cases}y=kx+5 \\ y=2x+k\end{cases}$，其解就是两个一次函数图象的交点坐标，即$\begin{cases}x=2 \\ y=3\end{cases}$，故③正确；
4. 验证结论④：在$y_1=-x+5$中，令$x=0$，得$y=5$，即$A(0,5)$，$OA=5$；在$y_2=2x-1$中，令$y=0$，得$x=\frac{1}{2}$，即$D(\frac{1}{2},0)$，$OD=\frac{1}{2}$。连接$OP$，则$S_{四边形AODP}=S_{△ AOP}+S_{△ DOP}=\frac{1}{2}× OA× x_P + \frac{1}{2}× OD× y_P=\frac{1}{2}×5×2 + \frac{1}{2}×\frac{1}{2}×3=5+\frac{3}{4}=\frac{23}{4}$，故④正确。
综上，正确的结论为①③④。
【答案】
D
【知识点】
一次函数与方程（组）的关系；一次函数交点性质；割补法求面积
【点评】
本题综合考查一次函数的相关知识，将函数图象与方程、方程组相结合，同时涉及不规则图形的面积计算，需要熟练掌握数形结合思想，逐一验证结论即可解题。
【难度系数】
0.6
解题时先利用两条直线交点的性质：交点同时在两条直线上，坐标满足两个函数解析式，先求解参数k和m，再逐一验证四个结论：①根据一次函数与一元一次方程的关系，方程$kx+5=m$的解就是$y_1=kx+5$的函数值为m时对应的x值，即交点的横坐标；②将交点坐标代入两个函数解析式列方程求解k，判断是否正确；③二元一次方程组的解就是对应两个一次函数图象的交点坐标，求出交点坐标即可判断；④求不规则四边形面积可采用割补法，将四边形拆分为两个三角形分别计算面积再求和，验证结果是否正确。
【解析】
∵ 直线$y_1=kx+5$与$y_2=2x+k$交于点$P(2,m)$，
1. 验证结论①：当$y_1=m$时，对应$x=2$，即一元一次方程$kx+5=m$的解为$x=2$，故①正确；
2. 验证结论②：将$P(2,m)$分别代入两个函数解析式，得$\begin{cases}m=2k+5 \\ m=2×2 +k\end{cases}$，联立得$2k+5=4+k$，解得$k=-1$，不是$-\frac{1}{3}$，故②错误；
3. 验证结论③：将$k=-1$代入两个函数，得$y_1=-x+5$，$y_2=2x-1$，将$x=2$代入$y_1=-x+5$，得$m=-2+5=3$，即$P(2,3)$。方程组$\begin{cases}kx-y=-5 \\ 2x-y=-k\end{cases}$可变形为$\begin{cases}y=kx+5 \\ y=2x+k\end{cases}$，其解就是两个一次函数图象的交点坐标，即$\begin{cases}x=2 \\ y=3\end{cases}$，故③正确；
4. 验证结论④：在$y_1=-x+5$中，令$x=0$，得$y=5$，即$A(0,5)$，$OA=5$；在$y_2=2x-1$中，令$y=0$，得$x=\frac{1}{2}$，即$D(\frac{1}{2},0)$，$OD=\frac{1}{2}$。连接$OP$，则$S_{四边形AODP}=S_{△ AOP}+S_{△ DOP}=\frac{1}{2}× OA× x_P + \frac{1}{2}× OD× y_P=\frac{1}{2}×5×2 + \frac{1}{2}×\frac{1}{2}×3=5+\frac{3}{4}=\frac{23}{4}$，故④正确。
综上，正确的结论为①③④。
【答案】
D
【知识点】
一次函数与方程（组）的关系；一次函数交点性质；割补法求面积
【点评】
本题综合考查一次函数的相关知识，将函数图象与方程、方程组相结合，同时涉及不规则图形的面积计算，需要熟练掌握数形结合思想，逐一验证结论即可解题。
【难度系数】
0.6
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
6 [2026北京丰台区质检]若$x,y$满足方程组$\begin{cases}2x - y = 7, \\x + y = -1,\end{cases}$则$x - 2y$的值是 ______ .
6 [2026北京丰台区质检]若$x,y$满足方程组$\begin{cases}2x - y = 7, \\x + y = -1,\end{cases}$则$x - 2y$的值是 ______ .
答案
6.8 【解析】$\begin{cases}2x-y=7,① \\x+y=-1,② \end{cases}$ ①-②，得$2x-x-y-y=7-(-1)$，所以$x-2y=8$，故答案为8.
解析
【分析】
要求$x-2y$的值，有两种解题思路：一是先解方程组求出$x$、$y$的具体值，再代入$x-2y$计算；二是观察目标式的结构，对比方程组两个方程的左边，发现用第一个方程减去第二个方程，能直接得到$x-2y$的表达式，不需要单独求解$x$、$y$，计算更简便，优先选择第二种方法。
【解析】
记方程组为$\begin{cases}2x-y=7,① \\x+y=-1,② \end{cases}$
用①式减去②式，左边运算得：$2x-y - (x+y) = 2x - y - x - y = x - 2y$，右边运算得：$7 - (-1) = 8$，因此$x-2y=8$。
【答案】
8
【知识点】
加减消元法，二元一次方程组求解，代数式求值
【点评】
本题属于基础题，考查二元一次方程组的灵活应用，解题时可优先观察目标代数式与已知方程的结构关系，选择整体运算的简便方法，能有效减少计算量、降低出错概率。
【难度系数】
0.9
要求$x-2y$的值，有两种解题思路：一是先解方程组求出$x$、$y$的具体值，再代入$x-2y$计算；二是观察目标式的结构，对比方程组两个方程的左边，发现用第一个方程减去第二个方程，能直接得到$x-2y$的表达式，不需要单独求解$x$、$y$，计算更简便，优先选择第二种方法。
【解析】
记方程组为$\begin{cases}2x-y=7,① \\x+y=-1,② \end{cases}$
用①式减去②式，左边运算得：$2x-y - (x+y) = 2x - y - x - y = x - 2y$，右边运算得：$7 - (-1) = 8$，因此$x-2y=8$。
【答案】
8
【知识点】
加减消元法，二元一次方程组求解，代数式求值
【点评】
本题属于基础题，考查二元一次方程组的灵活应用，解题时可优先观察目标代数式与已知方程的结构关系，选择整体运算的简便方法，能有效减少计算量、降低出错概率。
【难度系数】
0.9
7 一个两位数，十位数字比个位数字大3，若将十位数字和个位数字交换位置，所得的新两位数比原两位数的$\frac{1}{3}$多15，则这个两位数是
63
。答案
7.63 【解析】设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y. 由题意得$\begin{cases}x-y=3, \\10y+x=\frac{1}{3}(10x+y)+15,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=6, \\y=3,\end{cases}$所以这个两位数为63. 故答案为63.
解析
【分析】
这是一道数字类的二元一次方程组应用题，解题思路如下：首先明确两位数的表示方法：若十位数字为x、个位数字为y，则该两位数可表示为10x+y，交换数位后的新两位数为10y+x。接下来从题干中提取两个等量关系：①十位数字比个位数字大3，即x-y=3；②交换后的新两位数比原两位数的$\frac{1}{3}$多15，即$10y+x = \frac{1}{3}(10x+y)+15$。最后通过列、解二元一次方程组，即可求出两个数位上的数字，进而得到原两位数。
【解析】
设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases}x-y=3 \\10y+x=\frac{1}{3}(10x+y)+15\end{cases}$
先整理第二个方程：两边同乘3得$30y+3x=10x+y+45$，移项合并同类项得$29y-7x=45$。
把$x=y+3$代入上式，得$29y -7(y+3)=45$，展开得$29y-7y-21=45$，即$22y=66$，解得$y=3$。
把$y=3$代入$x=y+3$，得$x=6$。
所以原两位数为$10x+y=10×6+3=63$。
【答案】
63
【知识点】
二元一次方程组的应用；两位数的表示方法
【点评】
本题是典型的数字类应用题，解题核心是正确用代数式表示原两位数和交换数位后的新两位数，准确提取题干中的等量关系列方程组求解，侧重考察学生梳理数量关系的能力。
【难度系数】
0.7
这是一道数字类的二元一次方程组应用题，解题思路如下：首先明确两位数的表示方法：若十位数字为x、个位数字为y，则该两位数可表示为10x+y，交换数位后的新两位数为10y+x。接下来从题干中提取两个等量关系：①十位数字比个位数字大3，即x-y=3；②交换后的新两位数比原两位数的$\frac{1}{3}$多15，即$10y+x = \frac{1}{3}(10x+y)+15$。最后通过列、解二元一次方程组，即可求出两个数位上的数字，进而得到原两位数。
【解析】
设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases}x-y=3 \\10y+x=\frac{1}{3}(10x+y)+15\end{cases}$
先整理第二个方程：两边同乘3得$30y+3x=10x+y+45$，移项合并同类项得$29y-7x=45$。
把$x=y+3$代入上式，得$29y -7(y+3)=45$，展开得$29y-7y-21=45$，即$22y=66$，解得$y=3$。
把$y=3$代入$x=y+3$，得$x=6$。
所以原两位数为$10x+y=10×6+3=63$。
【答案】
63
【知识点】
二元一次方程组的应用；两位数的表示方法
【点评】
本题是典型的数字类应用题，解题核心是正确用代数式表示原两位数和交换数位后的新两位数，准确提取题干中的等量关系列方程组求解，侧重考察学生梳理数量关系的能力。
【难度系数】
0.7
8 如图,某电视背景墙由10块形状、大小完全相同的长方形墙砖砌成(厚度忽略不计),则这个电视背景墙的面积是
(第8题图)
(第9题图)
3.6
m².(第8题图)
(第9题图)
答案
8.3.6 【解析】设1块长方形墙砖的长为x m，宽为y m. 依题意得$\begin{cases}x+y=1.5, \\2x=x+4y,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=1.2, \\y=0.3,\end{cases}$所以电视背景墙的面积为$2×1.2×1.5=3.6(\mathrm{m}^2)$. 故答案为3.6.
解析
【分析】
要解决本题，首先需要求出每块长方形墙砖的长和宽。观察图形可得到两个核心等量关系：一是背景墙的总高度1.5m等于1块墙砖的长加1块墙砖的宽；二是从墙砖排布规律可知，1块墙砖的长等于4块墙砖的宽。我们可以设长和宽为未知数，根据这两个等量关系列二元一次方程组求解，得到长和宽后再计算背景墙的总面积即可。
【解析】
设1块长方形墙砖的长为$x\ \mathrm{m}$，宽为$y\ \mathrm{m}$。
依题意列方程组：
$\begin{cases}x+y=1.5 \\2x=x+4y\end{cases}$
整理第二个方程得$x=4y$，将其代入第一个方程：
$4y+y=1.5$，解得$y=0.3$
则$x=4×0.3=1.2$
背景墙的水平总长度为$2x=2×1.2=2.4\ \mathrm{m}$，总高度为$1.5\ \mathrm{m}$，因此面积为：
$2.4×1.5=3.6(\mathrm{m}^2)$
（或通过10块小墙砖总面积计算：$10×1.2×0.3=3.6(\mathrm{m}^2)$，结果一致）
【答案】
3.6
【知识点】
二元一次方程组的应用，长方形面积计算，二元一次方程组的解法
【点评】
本题是几何与代数结合的基础应用题，解题关键是从图形中挖掘出长和宽的隐含数量关系，结合已知条件列方程求解，重点考查学生的读图分析能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需要求出每块长方形墙砖的长和宽。观察图形可得到两个核心等量关系：一是背景墙的总高度1.5m等于1块墙砖的长加1块墙砖的宽；二是从墙砖排布规律可知，1块墙砖的长等于4块墙砖的宽。我们可以设长和宽为未知数，根据这两个等量关系列二元一次方程组求解，得到长和宽后再计算背景墙的总面积即可。
【解析】
设1块长方形墙砖的长为$x\ \mathrm{m}$，宽为$y\ \mathrm{m}$。
依题意列方程组：
$\begin{cases}x+y=1.5 \\2x=x+4y\end{cases}$
整理第二个方程得$x=4y$，将其代入第一个方程：
$4y+y=1.5$，解得$y=0.3$
则$x=4×0.3=1.2$
背景墙的水平总长度为$2x=2×1.2=2.4\ \mathrm{m}$，总高度为$1.5\ \mathrm{m}$，因此面积为：
$2.4×1.5=3.6(\mathrm{m}^2)$
（或通过10块小墙砖总面积计算：$10×1.2×0.3=3.6(\mathrm{m}^2)$，结果一致）
【答案】
3.6
【知识点】
二元一次方程组的应用，长方形面积计算，二元一次方程组的解法
【点评】
本题是几何与代数结合的基础应用题，解题关键是从图形中挖掘出长和宽的隐含数量关系，结合已知条件列方程求解，重点考查学生的读图分析能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
9 已知二元一次方程组$\begin{cases}y - kx = 4, \\ y + 3x = b\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 2, \\ y = 6,\end{cases}$则图中三角形ABC的面积为 ______ .
答案
9.24 【解析】因为二元一次方程组$\begin{cases}y-kx=4, \\y+3x=b\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=2, \\y=6,\end{cases}$所以函数$y=kx+4$与函数$y=-3x+b$的图象的交点为$(2,6)$. 将$(2,6)$代入$y=kx+4$，得$6=2k+4$，解得$k=1$；代入$y=-3x+b$，得$6=-6+b$，解得$b=12$，所以两函数表达式分别为$y=x+4$，$y=-3x+12$，所以易得$B(-4,0)$，$C(4,0)$，所以$BC=8$，所以三角形ABC的面积为$\frac{1}{2}×8×6=24$. 故答案为24.
解析
【分析】
要计算三角形ABC的面积，首先需要明确底和高：BC边在x轴上，高为点A到x轴的距离（即点A的纵坐标）。首先二元一次方程组的解就是对应两个一次函数图象的交点坐标，可直接得到点A坐标为(2,6)；接下来将交点坐标代入两个函数解析式求出k、b的值，得到完整的函数表达式；再分别令两个函数的y=0，求出它们与x轴交点B、C的坐标，计算出BC的长度，最后代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
∵ 二元一次方程组$\begin{cases}y - kx = 4 \\ y + 3x = b\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 2 \\ y = 6\end{cases}$
∴ 一次函数$y=kx+4$与$y=-3x+b$的图象交点A的坐标为$(2,6)$
将$(2,6)$代入$y=kx+4$，得$6=2k+4$，解得$k=1$，即函数解析式为$y=x+4$
将$(2,6)$代入$y=-3x+b$，得$6=-3×2 + b$，解得$b=12$，即函数解析式为$y=-3x+12$
令$y=x+4$中$y=0$，得$0=x+4$，解得$x=-4$，即点B坐标为$(-4,0)$
令$y=-3x+12$中$y=0$，得$0=-3x+12$，解得$x=4$，即点C坐标为$(4,0)$
∴ $BC=4-(-4)=8$，点A到x轴的高为6
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×8×6=24$
【答案】
24
【知识点】
一次函数与二元一次方程组，一次函数与坐标轴交点，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，解题核心是理解二元一次方程组的解和对应一次函数图象交点的对应关系，结合一次函数与坐标轴交点的求法即可求解，是一次函数章节的典型考法。
【难度系数】
0.7
要计算三角形ABC的面积，首先需要明确底和高：BC边在x轴上，高为点A到x轴的距离（即点A的纵坐标）。首先二元一次方程组的解就是对应两个一次函数图象的交点坐标，可直接得到点A坐标为(2,6)；接下来将交点坐标代入两个函数解析式求出k、b的值，得到完整的函数表达式；再分别令两个函数的y=0，求出它们与x轴交点B、C的坐标，计算出BC的长度，最后代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
∵ 二元一次方程组$\begin{cases}y - kx = 4 \\ y + 3x = b\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 2 \\ y = 6\end{cases}$
∴ 一次函数$y=kx+4$与$y=-3x+b$的图象交点A的坐标为$(2,6)$
将$(2,6)$代入$y=kx+4$，得$6=2k+4$，解得$k=1$，即函数解析式为$y=x+4$
将$(2,6)$代入$y=-3x+b$，得$6=-3×2 + b$，解得$b=12$，即函数解析式为$y=-3x+12$
令$y=x+4$中$y=0$，得$0=x+4$，解得$x=-4$，即点B坐标为$(-4,0)$
令$y=-3x+12$中$y=0$，得$0=-3x+12$，解得$x=4$，即点C坐标为$(4,0)$
∴ $BC=4-(-4)=8$，点A到x轴的高为6
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×8×6=24$
【答案】
24
【知识点】
一次函数与二元一次方程组，一次函数与坐标轴交点，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，解题核心是理解二元一次方程组的解和对应一次函数图象交点的对应关系，结合一次函数与坐标轴交点的求法即可求解，是一次函数章节的典型考法。
【难度系数】
0.7
10 甲、乙、丙三家花店准备采购多肉、茉莉花、绣球三种植物(三种都要采购),多肉、茉莉花、绣球的单价分别为5元/株、15元/株、25元/株,乙采购的多肉数量是甲的10倍,茉莉花数量是甲的6倍,绣球数量是甲的8倍,丙采购的多肉数量是甲的3倍,茉莉花数量是甲的7倍,绣球数量和甲相同,三家花店采购共花费金额2510元,丙比甲多用420元,则三家花店采购多肉共花费
420
元.答案
10.420 【解析】设甲花店准备采购多肉、茉莉花、绣球三种植物x株，y株，z株，则乙花店准备采购多肉、茉莉花、绣球三种植物10x株，6y株，8z株，丙花店准备采购多肉、茉莉花、绣球三种植物3x株，7y株，z株. 由题意得$5(x+10x+3x)+15(y+6y+7y)+25(z+8z+z)=2510$，$5×3x+15×7y+25z-(5x+15y+25z)=420$，所以$\begin{cases}7x+21y+25z=251,① \\x+9y=42,② \end{cases}$ 由②得$x=42-9y$. ③ 因为x，y都是正整数，所以y的取值可能是1,2,3,4. 把③代入①并整理得$z=\frac{42y-43}{25}$. 因为z是正整数，所以y的取值只能是4. 当y=4时，$x=42-9y=6$，所以$5(x+10x+3x)=70x=70×6=420$，所以三家花店采购多肉共花费420元. 故答案为420.
解析
【分析】
本题未知量较多，我们可以先设甲采购的多肉、茉莉花、绣球数量分别为x株、y株、z株，再根据乙、丙与甲的采购数量关系，将乙、丙的采购量用x、y、z表示。接着找准两个核心等量关系：一是三家采购总花费为2510元，二是丙的采购花费比甲多420元，据此列方程化简后得到不定方程组。由于采购数量都是正整数，我们可以通过限定未知数的取值范围，代入验证找到符合条件的正整数解，最后代入三家采购多肉的总费用代数式计算即可。
【解析】
设甲花店采购多肉$x$株、茉莉花$y$株、绣球$z$株，则乙花店采购多肉$10x$株、茉莉花$6y$株、绣球$8z$株，丙花店采购多肉$3x$株、茉莉花$7y$株、绣球$z$株。
根据题意列方程：
1. 三家总花费2510元：
$5(x+10x+3x)+15(y+6y+7y)+25(z+8z+z)=2510$
化简得：$70x+210y+250z=2510$，两边同时除以10得：
$7x+21y+25z=251$ ①
2. 丙比甲多花420元：
$(5×3x+15×7y+25z)-(5x+15y+25z)=420$
化简得：$10x+90y=420$，两边同时除以10得：
$x+9y=42$ ②
由②得：$x=42-9y$ ③
因为$x$、$y$均为正整数，所以$42-9y＞0$，即$y＜\frac{42}{9}\approx4.67$，故$y$的可能取值为1、2、3、4。
将③代入①，整理得：$z=\frac{42y-43}{25}$
因为$z$为正整数，所以$42y-43$必须是25的正整数倍，将$y=1,2,3,4$分别代入验证：
$y=1$时，$z=\frac{42-43}{25}=-\frac{1}{25}$，不符合要求；
$y=2$时，$z=\frac{84-43}{25}=\frac{41}{25}$，不是整数，不符合要求；
$y=3$时，$z=\frac{126-43}{25}=\frac{83}{25}$，不是整数，不符合要求；
$y=4$时，$z=\frac{168-43}{25}=5$，是正整数，符合要求。
因此$y=4$，代入③得$x=42-9×4=6$。
三家采购多肉的总花费为：$5×(x+10x+3x)=5×14x=70×6=420$（元）
【答案】
420
【知识点】
三元一次方程组应用，不定方程整数解，代数式求值
【点评】
本题结合生活采购场景考查方程的实际应用，解题的关键是找准等量关系列方程，需要注意采购数量为正整数这一隐含条件，对学生的逻辑推理能力和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
本题未知量较多，我们可以先设甲采购的多肉、茉莉花、绣球数量分别为x株、y株、z株，再根据乙、丙与甲的采购数量关系，将乙、丙的采购量用x、y、z表示。接着找准两个核心等量关系：一是三家采购总花费为2510元，二是丙的采购花费比甲多420元，据此列方程化简后得到不定方程组。由于采购数量都是正整数，我们可以通过限定未知数的取值范围，代入验证找到符合条件的正整数解，最后代入三家采购多肉的总费用代数式计算即可。
【解析】
设甲花店采购多肉$x$株、茉莉花$y$株、绣球$z$株，则乙花店采购多肉$10x$株、茉莉花$6y$株、绣球$8z$株，丙花店采购多肉$3x$株、茉莉花$7y$株、绣球$z$株。
根据题意列方程：
1. 三家总花费2510元：
$5(x+10x+3x)+15(y+6y+7y)+25(z+8z+z)=2510$
化简得：$70x+210y+250z=2510$，两边同时除以10得：
$7x+21y+25z=251$ ①
2. 丙比甲多花420元：
$(5×3x+15×7y+25z)-(5x+15y+25z)=420$
化简得：$10x+90y=420$，两边同时除以10得：
$x+9y=42$ ②
由②得：$x=42-9y$ ③
因为$x$、$y$均为正整数，所以$42-9y＞0$，即$y＜\frac{42}{9}\approx4.67$，故$y$的可能取值为1、2、3、4。
将③代入①，整理得：$z=\frac{42y-43}{25}$
因为$z$为正整数，所以$42y-43$必须是25的正整数倍，将$y=1,2,3,4$分别代入验证：
$y=1$时，$z=\frac{42-43}{25}=-\frac{1}{25}$，不符合要求；
$y=2$时，$z=\frac{84-43}{25}=\frac{41}{25}$，不是整数，不符合要求；
$y=3$时，$z=\frac{126-43}{25}=\frac{83}{25}$，不是整数，不符合要求；
$y=4$时，$z=\frac{168-43}{25}=5$，是正整数，符合要求。
因此$y=4$，代入③得$x=42-9×4=6$。
三家采购多肉的总花费为：$5×(x+10x+3x)=5×14x=70×6=420$（元）
【答案】
420
【知识点】
三元一次方程组应用，不定方程整数解，代数式求值
【点评】
本题结合生活采购场景考查方程的实际应用，解题的关键是找准等量关系列方程，需要注意采购数量为正整数这一隐含条件，对学生的逻辑推理能力和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
