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11 如图，在半径为R的圆形钢板上，挖去四个半径为r的小圆，当R=7.6 cm，r=1.2 cm时，剩余部分的面积为
（第11题）
52π
cm². （第11题）答案
11. $52π$
解析
【分析】
要求剩余部分的面积，首先明确剩余面积等于大圆的面积减去4个小圆的面积之和。先根据圆的面积公式写出面积表达式，再观察表达式的特点，利用平方差公式因式分解后再代入数值计算，可以简化运算过程，避免直接计算乘方带来的复杂运算。
【解析】
解：剩余部分的面积 = 大圆面积 - 4个小圆的面积
根据圆的面积公式$S=π r^2$可得：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{剩余}}&=π R^2 - 4π r^2\\&=π(R^2 - 4r^2)\\&=π(R + 2r)(R - 2r)\end{aligned}$
将$R=7.6\ \mathrm{cm}$，$r=1.2\ \mathrm{cm}$代入上式：
$R+2r=7.6 + 2×1.2=7.6+2.4=10$
$R-2r=7.6 - 2×1.2=7.6-2.4=5.2$
$\begin{aligned}S_{\mathrm{剩余}}&=π×10×5.2\\&=52π\ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
【答案】
$52π$
【知识点】
圆的面积计算；平方差公式的应用；代数式化简求值
【点评】
本题解题的关键是先根据面积关系列出代数式，再利用因式分解简化计算，相比直接代入数值计算乘方，先化简再求值的方式运算量更小，准确率更高。
【难度系数】
0.7
要求剩余部分的面积，首先明确剩余面积等于大圆的面积减去4个小圆的面积之和。先根据圆的面积公式写出面积表达式，再观察表达式的特点，利用平方差公式因式分解后再代入数值计算，可以简化运算过程，避免直接计算乘方带来的复杂运算。
【解析】
解：剩余部分的面积 = 大圆面积 - 4个小圆的面积
根据圆的面积公式$S=π r^2$可得：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{剩余}}&=π R^2 - 4π r^2\\&=π(R^2 - 4r^2)\\&=π(R + 2r)(R - 2r)\end{aligned}$
将$R=7.6\ \mathrm{cm}$，$r=1.2\ \mathrm{cm}$代入上式：
$R+2r=7.6 + 2×1.2=7.6+2.4=10$
$R-2r=7.6 - 2×1.2=7.6-2.4=5.2$
$\begin{aligned}S_{\mathrm{剩余}}&=π×10×5.2\\&=52π\ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
【答案】
$52π$
【知识点】
圆的面积计算；平方差公式的应用；代数式化简求值
【点评】
本题解题的关键是先根据面积关系列出代数式，再利用因式分解简化计算，相比直接代入数值计算乘方，先化简再求值的方式运算量更小，准确率更高。
【难度系数】
0.7
12 如图①所示为一个棱长为$a$的正方体中挖去一个棱长为$b$的小正方体$(a＞b)$，将剩余部分进行切割得到如图②所示的三个长方体. 通过计算剩余部分的体积，可对多项式$a^3 - b^3$分解因式，即$a^3 - b^3 =$
$(a-b)(a^2+ab+b^2)$
.答案
12. $(a-b)(a^2+ab+b^2)$
解析
【分析】
要推导多项式$a^3 - b^3$的因式分解结果，我们利用切割前后几何体体积不变的原理：首先计算原剩余部分的体积，即大正方体体积减去挖去的小正方体体积；再计算切割后三个长方体的体积之和，得到剩余体积的另一种表达式；最后令两个体积表达式相等，整理即可得到因式分解的结果。
【解析】
1. 计算图①剩余部分的体积：
剩余体积 = 棱长为$a$的大正方体体积 - 挖去的棱长为$b$的小正方体体积，即
$V = a^3 - b^3$
2. 计算切割后三个长方体的体积之和：
三个长方体的体积分别为$a^2(a-b)$、$ab(a-b)$、$b^2(a-b)$，因此总体积为：
$\begin{aligned}V &= a^2(a-b) + ab(a-b) + b^2(a-b) \\&= (a-b)(a^2 + ab + b^2)\end{aligned}$
3. 因为切割前后体积相等，因此可得：
$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$
【答案】
$(a-b)(a^2+ab+b^2)$
【知识点】
立方差因式分解，正方体体积计算，等积变换
【点评】
本题结合几何直观考查因式分解的推导，利用等体积法将代数运算和几何图形结合，能帮助学生更深刻地理解立方差公式的来源，侧重考查数形结合的思想和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
要推导多项式$a^3 - b^3$的因式分解结果，我们利用切割前后几何体体积不变的原理：首先计算原剩余部分的体积，即大正方体体积减去挖去的小正方体体积；再计算切割后三个长方体的体积之和，得到剩余体积的另一种表达式；最后令两个体积表达式相等，整理即可得到因式分解的结果。
【解析】
1. 计算图①剩余部分的体积：
剩余体积 = 棱长为$a$的大正方体体积 - 挖去的棱长为$b$的小正方体体积，即
$V = a^3 - b^3$
2. 计算切割后三个长方体的体积之和：
三个长方体的体积分别为$a^2(a-b)$、$ab(a-b)$、$b^2(a-b)$，因此总体积为：
$\begin{aligned}V &= a^2(a-b) + ab(a-b) + b^2(a-b) \\&= (a-b)(a^2 + ab + b^2)\end{aligned}$
3. 因为切割前后体积相等，因此可得：
$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$
【答案】
$(a-b)(a^2+ab+b^2)$
【知识点】
立方差因式分解，正方体体积计算，等积变换
【点评】
本题结合几何直观考查因式分解的推导，利用等体积法将代数运算和几何图形结合，能帮助学生更深刻地理解立方差公式的来源，侧重考查数形结合的思想和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
13 把多项式$x^2y^5 - xy^n z$分解因式时，提取的公因式为$xy^5$，则$n$的值可能为 （
A.6
B.4
C.3
D.2
A
）A.6
B.4
C.3
D.2
答案
13. A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确公因式的确定规则：公因式的系数取各项系数的最大公因数，相同字母取各项都含有的字母，且相同字母的指数取各项中该字母的最低次幂。本题已知提取的公因式为$xy^5$，我们可以根据公因式中$y$的指数，推导第二项中$y$的指数$n$的取值范围，再结合选项选出正确答案。
【解析】
根据公因式的确定规则，相同字母的指数取各项中该字母的最小指数：
多项式的两项分别为$x^2y^5$和$-xy^n z$，两项中$y$的指数分别为$5$和$n$，已知提取的公因式中$y$的指数为$5$，说明$5$是两个指数的最小值，因此$n≥5$。
观察选项，只有A选项的$6$满足$n≥5$，其余选项$4、3、2$均小于$5$，不符合要求。
【答案】
A
【知识点】
公因式的确定，因式分解的概念
【点评】
本题是基础题型，核心考查公因式确定时“相同字母取最低次幂”的规则，熟练掌握公因式的确定方法即可快速作答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确公因式的确定规则：公因式的系数取各项系数的最大公因数，相同字母取各项都含有的字母，且相同字母的指数取各项中该字母的最低次幂。本题已知提取的公因式为$xy^5$，我们可以根据公因式中$y$的指数，推导第二项中$y$的指数$n$的取值范围，再结合选项选出正确答案。
【解析】
根据公因式的确定规则，相同字母的指数取各项中该字母的最小指数：
多项式的两项分别为$x^2y^5$和$-xy^n z$，两项中$y$的指数分别为$5$和$n$，已知提取的公因式中$y$的指数为$5$，说明$5$是两个指数的最小值，因此$n≥5$。
观察选项，只有A选项的$6$满足$n≥5$，其余选项$4、3、2$均小于$5$，不符合要求。
【答案】
A
【知识点】
公因式的确定，因式分解的概念
【点评】
本题是基础题型，核心考查公因式确定时“相同字母取最低次幂”的规则，熟练掌握公因式的确定方法即可快速作答。
【难度系数】
0.8
14 已知$5^8 -1$可以被20到30之间的某两个整数整除，则这两个整数是（
A.24,26
B.25,27
C.26,28
D.27,29
A
）A.24,26
B.25,27
C.26,28
D.27,29
答案
14. A
解析
【分析】
题目要求找出能整除$5^8 -1$且在20~30之间的两个整数，观察$5^8 -1$的形式符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，因此解题思路为：利用平方差公式对原式逐步因式分解，将高次幂降为低次幂，从分解后的因式中找出符合20~30范围的整数即可。
【解析】
利用平方差公式对$5^8 -1$分解因式：
第一步：$5^8 -1=(5^4)^2 - 1^2=(5^4 -1)(5^4 +1)$
第二步：继续对$5^4 -1$用平方差公式分解：
$5^4 -1=(5^2)^2 -1^2=(5^2 -1)(5^2 +1)$
第三步：代入计算低次幂的结果：
$5^2=25$，因此$5^2 -1=24$，$5^2 +1=26$
因此$5^8 -1=24×26×(5^4 +1)$，可见24和26是$5^8 -1$的因数，且都在20到30之间。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式；因式分解的应用；整除的性质
【点评】
本题核心是利用因式分解处理整除问题，解题关键是准确识别多项式符合平方差公式的结构，通过逐步分解降次得到对应范围内的因数，属于对公式应用能力的常规考查。
【难度系数】
0.7
题目要求找出能整除$5^8 -1$且在20~30之间的两个整数，观察$5^8 -1$的形式符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，因此解题思路为：利用平方差公式对原式逐步因式分解，将高次幂降为低次幂，从分解后的因式中找出符合20~30范围的整数即可。
【解析】
利用平方差公式对$5^8 -1$分解因式：
第一步：$5^8 -1=(5^4)^2 - 1^2=(5^4 -1)(5^4 +1)$
第二步：继续对$5^4 -1$用平方差公式分解：
$5^4 -1=(5^2)^2 -1^2=(5^2 -1)(5^2 +1)$
第三步：代入计算低次幂的结果：
$5^2=25$，因此$5^2 -1=24$，$5^2 +1=26$
因此$5^8 -1=24×26×(5^4 +1)$，可见24和26是$5^8 -1$的因数，且都在20到30之间。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式；因式分解的应用；整除的性质
【点评】
本题核心是利用因式分解处理整除问题，解题关键是准确识别多项式符合平方差公式的结构，通过逐步分解降次得到对应范围内的因数，属于对公式应用能力的常规考查。
【难度系数】
0.7
15 整式$a^2 - a$和$(a - 1)^2$的公因式为
a−1
。答案
15. $a-1$
解析
【分析】
要找两个整式的公因式，需先将两个整式分别因式分解，再对比分解结果找出两个式子共有的相同因式，即为所求公因式。第一步先用提公因式法分解第一个整式$a^2 - a$，第二个整式$(a-1)^2$本身是乘积形式，可直接写成两个因式相乘的形式，最后对比找公共因式即可。
【解析】
解：先对两个整式分别因式分解：
1. 对$a^2 - a$提取公因式$a$，可得：
$a^2 - a = a(a - 1)$
2. 将$(a - 1)^2$写为乘积形式，可得：
$(a - 1)^2 = (a - 1)(a - 1)$
对比两个分解后的式子，二者共同含有的因式为$a - 1$，即两个整式的公因式为$a - 1$。
【答案】
$a-1$
【知识点】
因式分解；公因式识别
【点评】
本题考查公因式的判定，解题核心是熟练掌握提公因式法因式分解，将多项式转化为乘积形式后就能快速找到公共因式，是基础类考题。
【难度系数】
0.9
要找两个整式的公因式，需先将两个整式分别因式分解，再对比分解结果找出两个式子共有的相同因式，即为所求公因式。第一步先用提公因式法分解第一个整式$a^2 - a$，第二个整式$(a-1)^2$本身是乘积形式，可直接写成两个因式相乘的形式，最后对比找公共因式即可。
【解析】
解：先对两个整式分别因式分解：
1. 对$a^2 - a$提取公因式$a$，可得：
$a^2 - a = a(a - 1)$
2. 将$(a - 1)^2$写为乘积形式，可得：
$(a - 1)^2 = (a - 1)(a - 1)$
对比两个分解后的式子，二者共同含有的因式为$a - 1$，即两个整式的公因式为$a - 1$。
【答案】
$a-1$
【知识点】
因式分解；公因式识别
【点评】
本题考查公因式的判定，解题核心是熟练掌握提公因式法因式分解，将多项式转化为乘积形式后就能快速找到公共因式，是基础类考题。
【难度系数】
0.9
16 将下列各式分解因式：
(1) $-a^2 + 2ab - ac$；
(2) $(a^2 - ab) + c(a - b)$；
(3) $5a^3 - 45ab^2$；
(4) $1 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{16}x^2$。
(1) $-a^2 + 2ab - ac$；
(2) $(a^2 - ab) + c(a - b)$；
(3) $5a^3 - 45ab^2$；
(4) $1 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{16}x^2$。
答案
16. (1) $-a(a-2b+c)$ (2) $(a-b)(a+c)$ (3) $5a(a+3b)(a-3b)$ (4) $(1+\frac{1}{4}x)^2$
解析
【分析】
因式分解的通用解题思路为“一提二套三查”：第一步先观察多项式是否有公因式，若有先提取公因式，注意首项为负时优先提取负号；第二步根据提取公因式后剩余项的形式，判断是否符合平方差公式或完全平方公式的结构，选择对应公式继续分解；第三步检查分解结果是否彻底，是否还能继续分解。
各小题具体思考方向：(1) 各项含公因式$-a$，提取公因式即可完成分解；(2) 先对第一组式子提取公因式$a$，会得到整体公因式$(a-b)$，再提取该整体公因式即可；(3) 先提公因式$5a$，剩余部分符合平方差公式结构，继续用公式分解；(4) 三项式符合完全平方和公式的结构，直接套用公式分解即可。
【解析】
(1) 提取公因式$-a$：
$-a^2 + 2ab - ac = -a(a - 2b + c)$
(2) 先对第一部分提取公因式$a$，再提取整体公因式$(a-b)$：
$(a^2 - ab) + c(a - b) = a(a - b) + c(a - b) = (a - b)(a + c)$
(3) 先提取公因式$5a$，再对剩余部分用平方差公式$m^2 - n^2 = (m+n)(m-n)$分解：
$5a^3 - 45ab^2 = 5a(a^2 - 9b^2) = 5a(a + 3b)(a - 3b)$
(4) 符合完全平方和公式$m^2 + 2mn + n^2 = (m+n)^2$，其中$m=1$，$n=\frac{1}{4}x$：
$1 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{16}x^2 = 1^2 + 2×1×\frac{1}{4}x + (\frac{1}{4}x)^2 = (1 + \frac{1}{4}x)^2$
【答案】
(1) $-a(a-2b+c)$ (2) $(a-b)(a+c)$ (3) $5a(a+3b)(a-3b)$ (4) $(1+\frac{1}{4}x)^2$
【知识点】
提公因式法，公式法分解因式，因式分解步骤
【点评】
本题是因式分解的基础题型，熟练掌握“一提二套三查”的分解步骤即可解题，需注意公因式要提取彻底，套用公式时要准确识别公式的结构特征，最终结果要分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.85
因式分解的通用解题思路为“一提二套三查”：第一步先观察多项式是否有公因式，若有先提取公因式，注意首项为负时优先提取负号；第二步根据提取公因式后剩余项的形式，判断是否符合平方差公式或完全平方公式的结构，选择对应公式继续分解；第三步检查分解结果是否彻底，是否还能继续分解。
各小题具体思考方向：(1) 各项含公因式$-a$，提取公因式即可完成分解；(2) 先对第一组式子提取公因式$a$，会得到整体公因式$(a-b)$，再提取该整体公因式即可；(3) 先提公因式$5a$，剩余部分符合平方差公式结构，继续用公式分解；(4) 三项式符合完全平方和公式的结构，直接套用公式分解即可。
【解析】
(1) 提取公因式$-a$：
$-a^2 + 2ab - ac = -a(a - 2b + c)$
(2) 先对第一部分提取公因式$a$，再提取整体公因式$(a-b)$：
$(a^2 - ab) + c(a - b) = a(a - b) + c(a - b) = (a - b)(a + c)$
(3) 先提取公因式$5a$，再对剩余部分用平方差公式$m^2 - n^2 = (m+n)(m-n)$分解：
$5a^3 - 45ab^2 = 5a(a^2 - 9b^2) = 5a(a + 3b)(a - 3b)$
(4) 符合完全平方和公式$m^2 + 2mn + n^2 = (m+n)^2$，其中$m=1$，$n=\frac{1}{4}x$：
$1 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{16}x^2 = 1^2 + 2×1×\frac{1}{4}x + (\frac{1}{4}x)^2 = (1 + \frac{1}{4}x)^2$
【答案】
(1) $-a(a-2b+c)$ (2) $(a-b)(a+c)$ (3) $5a(a+3b)(a-3b)$ (4) $(1+\frac{1}{4}x)^2$
【知识点】
提公因式法，公式法分解因式，因式分解步骤
【点评】
本题是因式分解的基础题型，熟练掌握“一提二套三查”的分解步骤即可解题，需注意公因式要提取彻底，套用公式时要准确识别公式的结构特征，最终结果要分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.85
17 整体思想 在数学解题中，我们经常会用到“整体思想”，下面例题运用“整体思想”对多项式进行因式分解：
分解因式：$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1.$
解：原式$=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1$
$=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)+1$
$=(x^2+5x)^2+10(x^2+5x)+24+1$
$=(x^2+5x)^2+10(x^2+5x)+25$
$=(x^2+5x+5)^2.$
（1）上面的例题在解答过程中把________当作一个整体，多项式变形后，运用________公式进行因式分解；
（2）请仿照以上方法对下面的多项式进行因式分解：$(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+25$；
（3）求证：四个连续自然数$n,n+1,n+2,n+3$的积与1的和等于一个奇数的平方。
分解因式：$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1.$
解：原式$=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1$
$=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)+1$
$=(x^2+5x)^2+10(x^2+5x)+24+1$
$=(x^2+5x)^2+10(x^2+5x)+25$
$=(x^2+5x+5)^2.$
（1）上面的例题在解答过程中把________当作一个整体，多项式变形后，运用________公式进行因式分解；
（2）请仿照以上方法对下面的多项式进行因式分解：$(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+25$；
（3）求证：四个连续自然数$n,n+1,n+2,n+3$的积与1的和等于一个奇数的平方。
答案
17. (1) $x^2+5x$ 完全平方
(2) 原式$=[(x-1)(x+2)][(x-3)(x+4)]+25=(x^2+x-2)(x^2+x-12)+25=(x^2+x)^2-14(x^2+x)+24+25=(x^2+x)^2-14(x^2+x)+49=(x^2+x-7)^2$
(3) $n(n+1)(n+2)(n+3)+1=[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1=(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1=(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)+1=(n^2+3n+1)^2$。$\because n$是自然数，$\therefore n(n+3)$一定是偶数。$\therefore n^2+3n=n(n+3)$是偶数。$\therefore n^2+3n+1$是奇数。$\therefore$ 四个连续自然数$n,n+1,n+2,n+3$的积与1的和等于一个奇数的平方。
(2) 原式$=[(x-1)(x+2)][(x-3)(x+4)]+25=(x^2+x-2)(x^2+x-12)+25=(x^2+x)^2-14(x^2+x)+24+25=(x^2+x)^2-14(x^2+x)+49=(x^2+x-7)^2$
(3) $n(n+1)(n+2)(n+3)+1=[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1=(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1=(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)+1=(n^2+3n+1)^2$。$\because n$是自然数，$\therefore n(n+3)$一定是偶数。$\therefore n^2+3n=n(n+3)$是偶数。$\therefore n^2+3n+1$是奇数。$\therefore$ 四个连续自然数$n,n+1,n+2,n+3$的积与1的和等于一个奇数的平方。
解析
【分析】
（1）观察例题的解题过程，可发现变形时始终将相同的二次式$x^2+5x$当作统一的整体运算，最终因式分解时用了两数和的平方公式，据此即可填空。
（2）仿照例题的分组思路，先将四个一次多项式两两配对相乘，使得两组乘积的二次项、一次项完全相同，再将相同的部分看作整体展开，最后用完全平方公式完成因式分解。
（3）先将四个连续自然数两两分组相乘，得到含相同整体的乘积形式，通过因式分解得到平方结构，再根据自然数的奇偶性规律，证明平方的底数是奇数即可。
【解析】
（1）例题中从第三步开始，均把$x^2+5x$当作一个整体进行运算，最后一步将$(x^2+5x)^2+10(x^2+5x)+25$分解为$(x^2+5x+5)^2$，运用的是完全平方公式。
（2）对$(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+25$因式分解：
先分组使两组乘积的二次、一次项相同：
原式$=[(x-1)(x+2)][(x-3)(x+4)]+25$
分别计算两组乘积：
$=(x^2+x-2)(x^2+x-12)+25$
把$x^2+x$看作整体展开计算：
$=(x^2+x)^2 -14(x^2+x)+24+25$
合并同类项得完全平方结构：
$=(x^2+x)^2 -14(x^2+x)+49$
用完全平方公式分解：
$=(x^2+x-7)^2$
（3）证明：
先计算四个连续自然数的积加1：
$n(n+1)(n+2)(n+3)+1$
分组计算：
$=[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1$
$=(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1$
把$n^2+3n$看作整体展开：
$=(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)+1$
因式分解得：
$=(n^2+3n+1)^2$
判断底数的奇偶性：
∵n是自然数，n和n+3中必有一个为偶数，
∴$n^2+3n=n(n+3)$是偶数，
∴$n^2+3n+1$是偶数加1，为奇数，
故四个连续自然数$n,n+1,n+2,n+3$的积与1的和等于一个奇数的平方。
【答案】
(1) $x^2+5x$ 完全平方
(2) $(x^2+x-7)^2$
(3) 四个连续自然数的积与1的和可变形为$(n^2+3n+1)^2$，其中$n^2+3n+1$是奇数，故结论成立。
【知识点】
整体思想，因式分解，完全平方公式
【点评】
本题以整体思想为核心，考察了因式分解的灵活应用，通过合理分组构造相同整体，结合乘法公式完成化简与证明，能有效提升学生的观察能力与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
（1）观察例题的解题过程，可发现变形时始终将相同的二次式$x^2+5x$当作统一的整体运算，最终因式分解时用了两数和的平方公式，据此即可填空。
（2）仿照例题的分组思路，先将四个一次多项式两两配对相乘，使得两组乘积的二次项、一次项完全相同，再将相同的部分看作整体展开，最后用完全平方公式完成因式分解。
（3）先将四个连续自然数两两分组相乘，得到含相同整体的乘积形式，通过因式分解得到平方结构，再根据自然数的奇偶性规律，证明平方的底数是奇数即可。
【解析】
（1）例题中从第三步开始，均把$x^2+5x$当作一个整体进行运算，最后一步将$(x^2+5x)^2+10(x^2+5x)+25$分解为$(x^2+5x+5)^2$，运用的是完全平方公式。
（2）对$(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+25$因式分解：
先分组使两组乘积的二次、一次项相同：
原式$=[(x-1)(x+2)][(x-3)(x+4)]+25$
分别计算两组乘积：
$=(x^2+x-2)(x^2+x-12)+25$
把$x^2+x$看作整体展开计算：
$=(x^2+x)^2 -14(x^2+x)+24+25$
合并同类项得完全平方结构：
$=(x^2+x)^2 -14(x^2+x)+49$
用完全平方公式分解：
$=(x^2+x-7)^2$
（3）证明：
先计算四个连续自然数的积加1：
$n(n+1)(n+2)(n+3)+1$
分组计算：
$=[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1$
$=(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1$
把$n^2+3n$看作整体展开：
$=(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)+1$
因式分解得：
$=(n^2+3n+1)^2$
判断底数的奇偶性：
∵n是自然数，n和n+3中必有一个为偶数，
∴$n^2+3n=n(n+3)$是偶数，
∴$n^2+3n+1$是偶数加1，为奇数，
故四个连续自然数$n,n+1,n+2,n+3$的积与1的和等于一个奇数的平方。
【答案】
(1) $x^2+5x$ 完全平方
(2) $(x^2+x-7)^2$
(3) 四个连续自然数的积与1的和可变形为$(n^2+3n+1)^2$，其中$n^2+3n+1$是奇数，故结论成立。
【知识点】
整体思想，因式分解，完全平方公式
【点评】
本题以整体思想为核心，考察了因式分解的灵活应用，通过合理分组构造相同整体，结合乘法公式完成化简与证明，能有效提升学生的观察能力与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
