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1 下列各式从左到右的变形为因式分解的是（
A.$x^2 - y^2 = (x - y)^2$
B.$x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2$
C.$(a + 2)(a - 1) = a^2 + a - 2$
D.$a^2 - 4 + 3a = (a + 2)(a - 2) + 3a$
B
）A.$x^2 - y^2 = (x - y)^2$
B.$x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2$
C.$(a + 2)(a - 1) = a^2 + a - 2$
D.$a^2 - 4 + 3a = (a + 2)(a - 2) + 3a$
答案
1. B
解析
【分析】
要解这道题，首先要明确因式分解的3个判断标准：①变形的对象是多项式；②变形的结果必须是几个整式的乘积形式；③变形前后等式两边必须恒等。解题时我们对照这3个标准逐一判断每个选项即可。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。
逐一分析选项：
选项A：左边$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，右边$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$，左右两边不相等，不是恒等变形，不属于因式分解；
选项B：左边$x^2-8x+16$是多项式，右边$(x-4)^2$是两个整式$(x-4)$的乘积，且展开右边可得$x^2-8x+16$，与左边相等，完全符合因式分解的定义；
选项C：左边是两个整式的乘积，右边是多项式，这是整式的乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解；
选项D：右边$(a+2)(a-2)+3a$是整式乘积与另一个整式的和，不是几个整式乘积的形式，不属于因式分解。
综上，符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
因式分解的定义；整式乘法与因式分解的区别；完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础概念题，解题关键是紧扣因式分解的核心判断依据，一是结果必须为整式乘积的形式，二是变形必须是恒等变形，同时要注意区分因式分解和整式乘法的运算方向。
【难度系数】
0.8
要解这道题，首先要明确因式分解的3个判断标准：①变形的对象是多项式；②变形的结果必须是几个整式的乘积形式；③变形前后等式两边必须恒等。解题时我们对照这3个标准逐一判断每个选项即可。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。
逐一分析选项：
选项A：左边$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，右边$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$，左右两边不相等，不是恒等变形，不属于因式分解；
选项B：左边$x^2-8x+16$是多项式，右边$(x-4)^2$是两个整式$(x-4)$的乘积，且展开右边可得$x^2-8x+16$，与左边相等，完全符合因式分解的定义；
选项C：左边是两个整式的乘积，右边是多项式，这是整式的乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解；
选项D：右边$(a+2)(a-2)+3a$是整式乘积与另一个整式的和，不是几个整式乘积的形式，不属于因式分解。
综上，符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
因式分解的定义；整式乘法与因式分解的区别；完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础概念题，解题关键是紧扣因式分解的核心判断依据，一是结果必须为整式乘积的形式，二是变形必须是恒等变形，同时要注意区分因式分解和整式乘法的运算方向。
【难度系数】
0.8
2 $8x^2y^4 - 12xy^2z$ 中各项的公因式为 （
A.$4x^2y^2$
B.$4xyz$
C.$4x^2y^4$
D.$4xy^2$
D
）A.$4x^2y^2$
B.$4xyz$
C.$4x^2y^4$
D.$4xy^2$
答案
2. D
解析
【分析】
找多项式各项的公因式可按三步思考：首先找各项系数绝对值的最大公约数作为公因式的系数，其次筛选出所有项都共同含有的字母，最后对每个共同字母取它在各项中的最低次幂，三者结合就是公因式，再对照选项选出答案即可。
【解析】
1. 确定公因式的系数：两项的系数分别为8和-12，8和12的最大公约数是4，因此公因式的系数为4；
2. 确定公因式的字母部分：观察两项的字母，均含有x和y，z仅在第二项出现，因此公因式含有的字母为x、y；
3. 确定字母的指数：x在两项中的次数分别为2和1，取最低次1；y在两项中的次数分别为4和2，取最低次2；
综上，该多项式各项的公因式为$4xy^2$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
公因式的确定，最大公约数计算，幂的次数选取
【点评】
本题是因式分解的基础题型，主要考查公因式的确定方法，解题时需注意不要错取字母的最高次幂，也不要纳入仅在部分项中出现的字母，熟练掌握找公因式的步骤即可快速解答。
【难度系数】
0.8
找多项式各项的公因式可按三步思考：首先找各项系数绝对值的最大公约数作为公因式的系数，其次筛选出所有项都共同含有的字母，最后对每个共同字母取它在各项中的最低次幂，三者结合就是公因式，再对照选项选出答案即可。
【解析】
1. 确定公因式的系数：两项的系数分别为8和-12，8和12的最大公约数是4，因此公因式的系数为4；
2. 确定公因式的字母部分：观察两项的字母，均含有x和y，z仅在第二项出现，因此公因式含有的字母为x、y；
3. 确定字母的指数：x在两项中的次数分别为2和1，取最低次1；y在两项中的次数分别为4和2，取最低次2；
综上，该多项式各项的公因式为$4xy^2$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
公因式的确定，最大公约数计算，幂的次数选取
【点评】
本题是因式分解的基础题型，主要考查公因式的确定方法，解题时需注意不要错取字母的最高次幂，也不要纳入仅在部分项中出现的字母，熟练掌握找公因式的步骤即可快速解答。
【难度系数】
0.8
3 把$6a(a-b)^2 -4(b-a)^3$分解因式，应提取的公因式为 （
A.$6a$
B.$6a(a-b)^3$
C.$4a(a-b)$
D.$2(a-b)^2$
D
）A.$6a$
B.$6a(a-b)^3$
C.$4a(a-b)$
D.$2(a-b)^2$
答案
3. D
解析
【分析】
要确定分解因式时应提取的公因式，需按公因式的确定规则逐步推导：首先将原式中底数互为相反数的多项式统一为相同底数，注意奇次幂变换时符号会改变；其次计算各项系数的最大公约数；最后找到各项都含有的相同因式，取该因式的最低次幂，三者组合即为所求公因式。
【解析】
首先对原式中的$(b-a)^3$进行变形：
$\because (b-a)^3=[-(a-b)]^3=-(a-b)^3$
$\therefore$ 原式可改写为：
$6a(a-b)^2 - 4×[-(a-b)^3] = 6a(a-b)^2 + 4(a-b)^3$
接下来确定公因式：
1. 系数部分：6和4的最大公因数是2；
2. 相同因式部分：两项都含有因式$(a-b)$，其中最低次数为2次；
因此应提取的公因式为$2(a-b)^2$。
【答案】
D
【知识点】
公因式的确定，奇次幂的符号性质，提公因式法分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查公因式的确定方法，易错点是忽略$(a-b)$与$(b-a)$奇次幂转换时的符号变化，解题时先统一多项式底数，再按规则判断即可。
【难度系数】
0.8
要确定分解因式时应提取的公因式，需按公因式的确定规则逐步推导：首先将原式中底数互为相反数的多项式统一为相同底数，注意奇次幂变换时符号会改变；其次计算各项系数的最大公约数；最后找到各项都含有的相同因式，取该因式的最低次幂，三者组合即为所求公因式。
【解析】
首先对原式中的$(b-a)^3$进行变形：
$\because (b-a)^3=[-(a-b)]^3=-(a-b)^3$
$\therefore$ 原式可改写为：
$6a(a-b)^2 - 4×[-(a-b)^3] = 6a(a-b)^2 + 4(a-b)^3$
接下来确定公因式：
1. 系数部分：6和4的最大公因数是2；
2. 相同因式部分：两项都含有因式$(a-b)$，其中最低次数为2次；
因此应提取的公因式为$2(a-b)^2$。
【答案】
D
【知识点】
公因式的确定，奇次幂的符号性质，提公因式法分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查公因式的确定方法，易错点是忽略$(a-b)$与$(b-a)$奇次幂转换时的符号变化，解题时先统一多项式底数，再按规则判断即可。
【难度系数】
0.8
4 分解因式:12abc -9a²b²c²=
3abc(4−3abc)
.答案
4. $3abc(4-3abc)$
解析
【分析】
本题是因式分解的基础题型，适用提公因式法求解，解题思路如下：第一步先确定公因式：先找各项系数的最大公因数，再找各项都含有的相同字母，取相同字母的最低次幂，三者乘积即为公因式；第二步提取公因式，将原式改写为公因式与剩余多项式相乘的形式，最后检查剩余部分是否还能继续分解，保证分解彻底。
【解析】
解：首先确定公因式：
1. 系数部分：12和9的最大公因数是3；
2. 字母部分：两项均含字母a、b、c，且a、b、c的最低次数均为1，相同字母部分为abc；
因此该多项式的公因式为$3abc$。
提取公因式可得：
$\begin{aligned}12abc -9a^2b^2c^2&=3abc×4 - 3abc×3abc\\&=3abc(4-3abc)\end{aligned}$
检查剩余因式$4-3abc$，无公因式且无法继续分解，分解完成。
【答案】
$3abc(4-3abc)$
【知识点】
提公因式法分解因式、公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的常规基础题，重点考查提公因式法的应用，解题核心是准确找出各项的公因式，提取公因式后要注意核验剩余因式是否还能分解，避免分解不彻底。
【难度系数】
0.85
本题是因式分解的基础题型，适用提公因式法求解，解题思路如下：第一步先确定公因式：先找各项系数的最大公因数，再找各项都含有的相同字母，取相同字母的最低次幂，三者乘积即为公因式；第二步提取公因式，将原式改写为公因式与剩余多项式相乘的形式，最后检查剩余部分是否还能继续分解，保证分解彻底。
【解析】
解：首先确定公因式：
1. 系数部分：12和9的最大公因数是3；
2. 字母部分：两项均含字母a、b、c，且a、b、c的最低次数均为1，相同字母部分为abc；
因此该多项式的公因式为$3abc$。
提取公因式可得：
$\begin{aligned}12abc -9a^2b^2c^2&=3abc×4 - 3abc×3abc\\&=3abc(4-3abc)\end{aligned}$
检查剩余因式$4-3abc$，无公因式且无法继续分解，分解完成。
【答案】
$3abc(4-3abc)$
【知识点】
提公因式法分解因式、公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的常规基础题，重点考查提公因式法的应用，解题核心是准确找出各项的公因式，提取公因式后要注意核验剩余因式是否还能分解，避免分解不彻底。
【难度系数】
0.85
5 把下列各式分解因式：
（1）$4a^3b^2 -14ab^2c$；
（2）$6b(a+b)-4a(a+b)$。
（1）$4a^3b^2 -14ab^2c$；
（2）$6b(a+b)-4a(a+b)$。
答案
5. (1) $2ab^2(2a^2-7c)$ (2) $2(a+b)(3b-2a)$
解析
【分析】
这两道题都适用提公因式法分解因式，解题思路如下：第一步先确定各项的公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母（或多项式因式）的最低次幂，两者相乘就是公因式；第二步提取公因式，将原式写成公因式乘剩余部分的和的形式，注意剩余部分是原式各项除以公因式得到的结果，要保证剩余部分没有公因式，分解彻底。
第（1）题中两项的系数4和14的最大公约数是2，都含有的相同字母最低次幂是$a^1$、$b^2$，公因式为$2ab^2$，提取后即可得到结果；第（2）题中两项的系数6和4的最大公约数是2，都含有的相同多项式因式是$(a+b)$的一次，公因式为$2(a+b)$，提取后即可得到结果。
【解析】
（1）先确定公因式为$2ab^2$：
$\begin{aligned}原式&=2ab^2 · 2a^2 - 2ab^2 · 7c\\&=2ab^2(2a^2 - 7c)\end{aligned}$
（2）先确定公因式为$2(a+b)$：
$\begin{aligned}原式&=2(a+b) · 3b - 2(a+b) · 2a\\&=2(a+b)(3b - 2a)\end{aligned}$
【答案】
(1) $2ab^2(2a^2-7c)$
(2) $2(a+b)(3b-2a)$
【知识点】
提公因式法因式分解、公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题的关键是准确找出公因式，提取公因式后注意检查剩余项是否还能继续分解，保证因式分解的彻底性。
【难度系数】
0.85
这两道题都适用提公因式法分解因式，解题思路如下：第一步先确定各项的公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母（或多项式因式）的最低次幂，两者相乘就是公因式；第二步提取公因式，将原式写成公因式乘剩余部分的和的形式，注意剩余部分是原式各项除以公因式得到的结果，要保证剩余部分没有公因式，分解彻底。
第（1）题中两项的系数4和14的最大公约数是2，都含有的相同字母最低次幂是$a^1$、$b^2$，公因式为$2ab^2$，提取后即可得到结果；第（2）题中两项的系数6和4的最大公约数是2，都含有的相同多项式因式是$(a+b)$的一次，公因式为$2(a+b)$，提取后即可得到结果。
【解析】
（1）先确定公因式为$2ab^2$：
$\begin{aligned}原式&=2ab^2 · 2a^2 - 2ab^2 · 7c\\&=2ab^2(2a^2 - 7c)\end{aligned}$
（2）先确定公因式为$2(a+b)$：
$\begin{aligned}原式&=2(a+b) · 3b - 2(a+b) · 2a\\&=2(a+b)(3b - 2a)\end{aligned}$
【答案】
(1) $2ab^2(2a^2-7c)$
(2) $2(a+b)(3b-2a)$
【知识点】
提公因式法因式分解、公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题的关键是准确找出公因式，提取公因式后注意检查剩余项是否还能继续分解，保证因式分解的彻底性。
【难度系数】
0.85
6 $(x-1)^2 -9$ 分解因式的结果是 （
A.$(x-10)(x+8)$
B.$(x+8)(x+1)$
C.$(x-2)(x+4)$
D.$(x+2)(x-4)$
D
）A.$(x-10)(x+8)$
B.$(x+8)(x+1)$
C.$(x-2)(x+4)$
D.$(x+2)(x-4)$
答案
6. D
解析
【分析】
首先观察待分解的式子，发现是两个数的平方相减的形式，符合平方差公式$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$的结构特征，因此可以先套用平方差公式分解，再对分解后的两个因式分别化简合并同类项，最后匹配选项即可。
【解析】
首先将原式变形为平方差的标准形式：
$(x-1)^2 - 9 = (x-1)^2 - 3^2$
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$，令$a=x-1$，$b=3$，代入得：
原式$=[(x-1)-3][(x-1)+3]$
分别化简两个括号内的整式：
第一个括号：$(x-1)-3 = x-1-3 = x-4$
第二个括号：$(x-1)+3 = x-1+3 = x+2$
因此分解结果为$(x+2)(x-4)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解、平方差公式
【点评】
本题考查因式分解中平方差公式的应用，解题的核心是准确识别平方差的结构，分解后注意合并同类项化简，是因式分解的基础题型。
【难度系数】
0.8
首先观察待分解的式子，发现是两个数的平方相减的形式，符合平方差公式$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$的结构特征，因此可以先套用平方差公式分解，再对分解后的两个因式分别化简合并同类项，最后匹配选项即可。
【解析】
首先将原式变形为平方差的标准形式：
$(x-1)^2 - 9 = (x-1)^2 - 3^2$
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$，令$a=x-1$，$b=3$，代入得：
原式$=[(x-1)-3][(x-1)+3]$
分别化简两个括号内的整式：
第一个括号：$(x-1)-3 = x-1-3 = x-4$
第二个括号：$(x-1)+3 = x-1+3 = x+2$
因此分解结果为$(x+2)(x-4)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解、平方差公式
【点评】
本题考查因式分解中平方差公式的应用，解题的核心是准确识别平方差的结构，分解后注意合并同类项化简，是因式分解的基础题型。
【难度系数】
0.8
7 一次课堂练习中小红做了下列四道分解因式的题目，她做得不够完整的一道题目是(
A.$4a^3 -4a =4a(a^2 -1)$
B.$m^2 -2mn +n^2=(m-n)^2$
C.$x^2y -xy^2=xy(x-y)$
D.$2x^2 -xy -x=x(2x -y -1)$
A
)A.$4a^3 -4a =4a(a^2 -1)$
B.$m^2 -2mn +n^2=(m-n)^2$
C.$x^2y -xy^2=xy(x-y)$
D.$2x^2 -xy -x=x(2x -y -1)$
答案
7. A
解析
【分析】
要判断哪道题分解不完整，首先要明确因式分解的核心要求：一是结果必须是几个整式的乘积形式，二是分解必须彻底，即结果中的每一个多项式因式都不能再用提公因式法、公式法等继续分解。解题时逐一检查四个选项的分解结果，结合提公因式法、平方差公式、完全平方公式，验证每个因式是否还能继续分解即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 选项A：对$4a^3-4a$分解，先提公因式得$4a(a^2-1)$，但$a^2-1$符合平方差公式的形式，还可继续分解为$(a+1)(a-1)$，完整分解结果应为$4a(a+1)(a-1)$，因此该选项分解不完整，符合题意。
2. 选项B：$m^2-2mn+n^2$是完全平方式，用完全平方公式分解得$(m-n)^2$，分解后的因式不能再继续分解，分解完整。
3. 选项C：对$x^2y-xy^2$提公因式$xy$得$xy(x-y)$，$x-y$是一次多项式，不能再分解，分解完整。
4. 选项D：对$2x^2-xy-x$提公因式$x$得$x(2x-y-1)$，括号内的一次多项式不能再分解，分解完整。
综上，分解不够完整的是选项A。
【答案】A
【知识点】因式分解的要求；提公因式法；公式法分解因式
【点评】本题考查因式分解的判断，解题的关键是牢记因式分解要彻底的要求，分解完成后需检查每个多项式因式是否还能继续分解，避免出现分解到一半的错误。
【难度系数】0.7
要判断哪道题分解不完整，首先要明确因式分解的核心要求：一是结果必须是几个整式的乘积形式，二是分解必须彻底，即结果中的每一个多项式因式都不能再用提公因式法、公式法等继续分解。解题时逐一检查四个选项的分解结果，结合提公因式法、平方差公式、完全平方公式，验证每个因式是否还能继续分解即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 选项A：对$4a^3-4a$分解，先提公因式得$4a(a^2-1)$，但$a^2-1$符合平方差公式的形式，还可继续分解为$(a+1)(a-1)$，完整分解结果应为$4a(a+1)(a-1)$，因此该选项分解不完整，符合题意。
2. 选项B：$m^2-2mn+n^2$是完全平方式，用完全平方公式分解得$(m-n)^2$，分解后的因式不能再继续分解，分解完整。
3. 选项C：对$x^2y-xy^2$提公因式$xy$得$xy(x-y)$，$x-y$是一次多项式，不能再分解，分解完整。
4. 选项D：对$2x^2-xy-x$提公因式$x$得$x(2x-y-1)$，括号内的一次多项式不能再分解，分解完整。
综上，分解不够完整的是选项A。
【答案】A
【知识点】因式分解的要求；提公因式法；公式法分解因式
【点评】本题考查因式分解的判断，解题的关键是牢记因式分解要彻底的要求，分解完成后需检查每个多项式因式是否还能继续分解，避免出现分解到一半的错误。
【难度系数】0.7
8 已知$9x^2 + mxy + 16y^2$能运用完全平方公式分解因式，则m的值为（
A.12
B.$\pm12$
C.24
D.$\pm24$
D
）A.12
B.$\pm12$
C.24
D.$\pm24$
答案
8. D
解析
【分析】
本题需要结合完全平方公式的结构特征求解，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的两种形式（和的平方、差的平方），再将题目中多项式的首尾两项转化为平方形式，对应找到公式里的a和b，最后根据“中间项是两个底数乘积的2倍，且有正负两种可能”计算m的值，注意不要漏解。
【解析】
完全平方公式为：$\boldsymbol{(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2}$。
观察多项式$9x^2 + mxy + 16y^2$：
首项$9x^2=(3x)^2$，尾项$16y^2=(4y)^2$，对应公式中的$a^2$和$b^2$，即$a=3x$，$b=4y$。
根据公式结构，中间项$mxy$对应$\pm2ab$，代入计算得：
$\pm2ab=\pm2×3x×4y=\pm24xy$
因此$mxy=\pm24xy$，对比系数可得$m=\pm24$。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，公式法分解因式
【点评】
本题核心是掌握完全平方公式的两种结构，解题时最容易忽略差的平方对应的中间项为负的情况，导致漏选负数值，做这类题时要同时考虑正负两种可能。
【难度系数】
0.7
本题需要结合完全平方公式的结构特征求解，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的两种形式（和的平方、差的平方），再将题目中多项式的首尾两项转化为平方形式，对应找到公式里的a和b，最后根据“中间项是两个底数乘积的2倍，且有正负两种可能”计算m的值，注意不要漏解。
【解析】
完全平方公式为：$\boldsymbol{(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2}$。
观察多项式$9x^2 + mxy + 16y^2$：
首项$9x^2=(3x)^2$，尾项$16y^2=(4y)^2$，对应公式中的$a^2$和$b^2$，即$a=3x$，$b=4y$。
根据公式结构，中间项$mxy$对应$\pm2ab$，代入计算得：
$\pm2ab=\pm2×3x×4y=\pm24xy$
因此$mxy=\pm24xy$，对比系数可得$m=\pm24$。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，公式法分解因式
【点评】
本题核心是掌握完全平方公式的两种结构，解题时最容易忽略差的平方对应的中间项为负的情况，导致漏选负数值，做这类题时要同时考虑正负两种可能。
【难度系数】
0.7
9 分解因式：
(1) $2m^2 -18=$
(2) $(2a - b)^2 +8ab=$
(1) $2m^2 -18=$
2(m+3)(m−3)
；(2) $(2a - b)^2 +8ab=$
(2a+b)²
。答案
9. (1) $2(m+3)(m-3)$ (2) $(2a+b)^2$
解析
【分析】
因式分解遵循“一提、二套、三查”的思路：第一步先观察多项式是否有公因式，若有先提取公因式；第二步再根据剩余多项式的项数选择对应公式，两项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式；第三步检查分解是否彻底，结果是否为整式乘积的形式。
对于第(1)问，先找公因式，提取后剩余两项符合平方差特征，继续分解即可；第(2)问先将原式展开合并同类项，得到三项式后验证是否符合完全平方公式特征，再套用公式分解。
【解析】
(1) 第一步提取公因式2：
$2m^2 -18 = 2(m^2 - 9)$
第二步对$m^2-9$套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$（此处$a=m$，$b=3$）：
$2(m^2 - 9)=2(m+3)(m-3)$
(2) 第一步先展开完全平方项：
$(2a - b)^2 +8ab = 4a^2 -4ab + b^2 +8ab$
第二步合并同类项：
$4a^2 -4ab + b^2 +8ab = 4a^2 +4ab + b^2$
第三步套用完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$（此处$a=2a$，$b=b$）：
$4a^2 +4ab + b^2=(2a+b)^2$
【答案】
(1) $2(m+3)(m-3)$ (2) $(2a+b)^2$
【知识点】
提公因式法，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，需牢记因式分解的常规步骤，注意提取公因式要提尽，套用公式时要准确对应公式的结构特征，分解完成后可反向展开验证结果是否正确。
【难度系数】
0.85
因式分解遵循“一提、二套、三查”的思路：第一步先观察多项式是否有公因式，若有先提取公因式；第二步再根据剩余多项式的项数选择对应公式，两项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式；第三步检查分解是否彻底，结果是否为整式乘积的形式。
对于第(1)问，先找公因式，提取后剩余两项符合平方差特征，继续分解即可；第(2)问先将原式展开合并同类项，得到三项式后验证是否符合完全平方公式特征，再套用公式分解。
【解析】
(1) 第一步提取公因式2：
$2m^2 -18 = 2(m^2 - 9)$
第二步对$m^2-9$套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$（此处$a=m$，$b=3$）：
$2(m^2 - 9)=2(m+3)(m-3)$
(2) 第一步先展开完全平方项：
$(2a - b)^2 +8ab = 4a^2 -4ab + b^2 +8ab$
第二步合并同类项：
$4a^2 -4ab + b^2 +8ab = 4a^2 +4ab + b^2$
第三步套用完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$（此处$a=2a$，$b=b$）：
$4a^2 +4ab + b^2=(2a+b)^2$
【答案】
(1) $2(m+3)(m-3)$ (2) $(2a+b)^2$
【知识点】
提公因式法，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，需牢记因式分解的常规步骤，注意提取公因式要提尽，套用公式时要准确对应公式的结构特征，分解完成后可反向展开验证结果是否正确。
【难度系数】
0.85
10 把下列各式分解因式：
(1) $-x^2y + 6xy -9y$；
(2) $x^3 -25x$；
(3) $(a+b)^2 -4a(a+b)+4a^2$。
(1) $-x^2y + 6xy -9y$；
(2) $x^3 -25x$；
(3) $(a+b)^2 -4a(a+b)+4a^2$。
答案
10. (1) $-y(x-3)^2$ (2) $x(x+5)(x-5)$ (3) $(b-a)^2$
解析
【分析】
因式分解的通用思路是“一提、二套、三查”：第一步先观察多项式是否有公因式，有公因式先提取公因式；第二步根据提取公因式后剩余多项式的结构选择公式，两项式考虑平方差公式，三项式考虑完全平方公式；第三步检查分解结果是否彻底、符号是否正确。对应各小题思路：(1) 各项均含公因式$-y$，提取后剩余的三项式符合完全平方公式结构，套用公式即可；(2) 各项均含公因式$x$，提取后剩余的二项式符合平方差公式结构，套用公式即可；(3) 将$(a+b)$和$2a$看作整体，原式符合完全平方差公式结构，直接套用公式后化简即可。
【解析】
(1) 对$-x^2y + 6xy -9y$分解因式：
第一步提取公因式$-y$，得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-y(x^2 - 6x +9)\\\end{aligned}$
第二步对括号内的三项式套用完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$（其中$a=x$，$b=3$），得：
$\begin{aligned}&=-y(x-3)^2\end{aligned}$
(2) 对$x^3 -25x$分解因式：
第一步提取公因式$x$，得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=x(x^2 -25)\\\end{aligned}$
第二步对括号内的二项式套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$（其中$a=x$，$b=5$），得：
$\begin{aligned}&=x(x+5)(x-5)\end{aligned}$
(3) 对$(a+b)^2 -4a(a+b)+4a^2$分解因式：
将$(a+b)$看作$A$，$2a$看作$B$，原式符合完全平方公式$A^2-2AB+B^2=(A-B)^2$的结构，代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(a+b -2a)^2\\&=(b -a)^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $-y(x-3)^2$ (2) $x(x+5)(x-5)$ (3) $(b-a)^2$
【知识点】
提公因式法，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心是掌握“一提二套三查”的分解步骤，要准确识别两种乘法公式的结构特征，提取公因式时需注意符号问题，最终要确保分解结果无法再继续分解。
【难度系数】
0.8
因式分解的通用思路是“一提、二套、三查”：第一步先观察多项式是否有公因式，有公因式先提取公因式；第二步根据提取公因式后剩余多项式的结构选择公式，两项式考虑平方差公式，三项式考虑完全平方公式；第三步检查分解结果是否彻底、符号是否正确。对应各小题思路：(1) 各项均含公因式$-y$，提取后剩余的三项式符合完全平方公式结构，套用公式即可；(2) 各项均含公因式$x$，提取后剩余的二项式符合平方差公式结构，套用公式即可；(3) 将$(a+b)$和$2a$看作整体，原式符合完全平方差公式结构，直接套用公式后化简即可。
【解析】
(1) 对$-x^2y + 6xy -9y$分解因式：
第一步提取公因式$-y$，得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-y(x^2 - 6x +9)\\\end{aligned}$
第二步对括号内的三项式套用完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$（其中$a=x$，$b=3$），得：
$\begin{aligned}&=-y(x-3)^2\end{aligned}$
(2) 对$x^3 -25x$分解因式：
第一步提取公因式$x$，得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=x(x^2 -25)\\\end{aligned}$
第二步对括号内的二项式套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$（其中$a=x$，$b=5$），得：
$\begin{aligned}&=x(x+5)(x-5)\end{aligned}$
(3) 对$(a+b)^2 -4a(a+b)+4a^2$分解因式：
将$(a+b)$看作$A$，$2a$看作$B$，原式符合完全平方公式$A^2-2AB+B^2=(A-B)^2$的结构，代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(a+b -2a)^2\\&=(b -a)^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $-y(x-3)^2$ (2) $x(x+5)(x-5)$ (3) $(b-a)^2$
【知识点】
提公因式法，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心是掌握“一提二套三查”的分解步骤，要准确识别两种乘法公式的结构特征，提取公因式时需注意符号问题，最终要确保分解结果无法再继续分解。
【难度系数】
0.8
