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1 教材P140练习T2变式 式子$\frac{2}{5}x,\frac{1}{π},\frac{2}{x^2+4},x^2-\frac{2}{3},\frac{1}{x},\frac{x+1}{x+2}$中，属于分式的有 （
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
B
）A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
1. B
解析
【分析】
要判断哪些式子属于分式，首先要明确分式的判定标准：形如$\frac{A}{B}$的式子，若A、B都是整式，且分母B中含有字母，则该式子是分式，特别注意π是常数，不属于字母。解题时只需逐个对照标准判断每个式子即可，最后统计分式的个数对应选项。
【解析】
根据分式的定义，判断依据为：分母中含有字母的整式商的形式是分式，π为常数不属于字母，逐个分析如下：
1. $\frac{2}{5}x$：分母为常数5，无字母，属于整式；
2. $\frac{1}{π}$：分母为常数π，无字母，属于整式；
3. $\frac{2}{x^2+4}$：分母含字母x，符合分式定义，是分式；
4. $x^2-\frac{2}{3}$：无分母（分母为常数1），属于整式；
5. $\frac{1}{x}$：分母为字母x，符合分式定义，是分式；
6. $\frac{x+1}{x+2}$：分母含字母x，符合分式定义，是分式。
综上，分式共有3个。
【答案】
B
【知识点】
1. 分式的定义 2. 代数式分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是牢记分式的判定规则，尤其要注意π是固定常数，不要误将其当作字母导致判断错误。
【难度系数】
0.8
要判断哪些式子属于分式，首先要明确分式的判定标准：形如$\frac{A}{B}$的式子，若A、B都是整式，且分母B中含有字母，则该式子是分式，特别注意π是常数，不属于字母。解题时只需逐个对照标准判断每个式子即可，最后统计分式的个数对应选项。
【解析】
根据分式的定义，判断依据为：分母中含有字母的整式商的形式是分式，π为常数不属于字母，逐个分析如下：
1. $\frac{2}{5}x$：分母为常数5，无字母，属于整式；
2. $\frac{1}{π}$：分母为常数π，无字母，属于整式；
3. $\frac{2}{x^2+4}$：分母含字母x，符合分式定义，是分式；
4. $x^2-\frac{2}{3}$：无分母（分母为常数1），属于整式；
5. $\frac{1}{x}$：分母为字母x，符合分式定义，是分式；
6. $\frac{x+1}{x+2}$：分母含字母x，符合分式定义，是分式。
综上，分式共有3个。
【答案】
B
【知识点】
1. 分式的定义 2. 代数式分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是牢记分式的判定规则，尤其要注意π是固定常数，不要误将其当作字母导致判断错误。
【难度系数】
0.8
2 一个梯形的面积为S，上底与下底的和为a，则高是
$\frac{2S}{a}$
。答案
2. $\frac{2S}{a}$
解析
【分析】
解题时首先回忆梯形的面积计算公式，已知梯形的面积S和上底与下底的和a，要求高，我们可以先设高为h，将已知量代入面积公式后，通过等式的性质对公式做变形，把未知量h单独整理到等式的一侧，就能求出高的表达式。
【解析】
设该梯形的高为$h$，根据梯形的面积公式：$\mathrm{梯形面积}=\frac{1}{2}×(\mathrm{上底}+\mathrm{下底})×\mathrm{高}$，代入已知条件可得：
$S=\frac{1}{2} × a × h$
等式两边同时乘2，得：
$2S=ah$
由于上底与下底的和$a≠0$，等式两边同时除以$a$，得：
$h=\frac{2S}{a}$
【答案】
$\frac{2S}{a}$
【知识点】
梯形面积公式，等式的性质，分式的概念
【点评】
本题是基础题型，重点考查梯形面积公式的逆用，需要大家熟练掌握常见几何图形的基本公式，能结合已知条件对公式进行灵活变形，最后结果要整理为规范的分式形式。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆梯形的面积计算公式，已知梯形的面积S和上底与下底的和a，要求高，我们可以先设高为h，将已知量代入面积公式后，通过等式的性质对公式做变形，把未知量h单独整理到等式的一侧，就能求出高的表达式。
【解析】
设该梯形的高为$h$，根据梯形的面积公式：$\mathrm{梯形面积}=\frac{1}{2}×(\mathrm{上底}+\mathrm{下底})×\mathrm{高}$，代入已知条件可得：
$S=\frac{1}{2} × a × h$
等式两边同时乘2，得：
$2S=ah$
由于上底与下底的和$a≠0$，等式两边同时除以$a$，得：
$h=\frac{2S}{a}$
【答案】
$\frac{2S}{a}$
【知识点】
梯形面积公式，等式的性质，分式的概念
【点评】
本题是基础题型，重点考查梯形面积公式的逆用，需要大家熟练掌握常见几何图形的基本公式，能结合已知条件对公式进行灵活变形，最后结果要整理为规范的分式形式。
【难度系数】
0.9
3 教材P139练习T1变式 列式表示下列各量：
（1）某计算器降价$a\%$后的单价为$m$元.求此计算器降价前的单价.
（2）甲稻田有$n$公顷，共收获稻谷$a$千克；乙稻田有$m$公顷，共收获稻谷$b$千克.求甲、乙两稻田稻谷的平均产量.
（3）一货轮在距离为$s$ km的A,B两码头之间航行，已知货轮在静水中航行的速度是$a$ km/h($a＞3$)，水流速度是3 km/h.请分别写出货轮在A,B两码头之间顺流航行和逆流航行所用的时间.
（1）某计算器降价$a\%$后的单价为$m$元.求此计算器降价前的单价.
（2）甲稻田有$n$公顷，共收获稻谷$a$千克；乙稻田有$m$公顷，共收获稻谷$b$千克.求甲、乙两稻田稻谷的平均产量.
（3）一货轮在距离为$s$ km的A,B两码头之间航行，已知货轮在静水中航行的速度是$a$ km/h($a＞3$)，水流速度是3 km/h.请分别写出货轮在A,B两码头之间顺流航行和逆流航行所用的时间.
答案
3. (1) $\frac{m}{1-a\%}$元 (2) $\frac{a+b}{m+n}$千克/公顷 (3) 顺流航行所用的时间为$\frac{s}{a+3}$ h,逆流航行所用的时间为$\frac{s}{a-3}$ h
解析
【分析】
（1）求解降价前单价时，先将降价前单价看作单位“1”，降价a%后售价是原价的(1-a%)，已知降价后售价为m元，即原价×(1-a%)=m，根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法”即可推出原价的表达式。
（2）平均产量的计算遵循“平均产量=总产量÷总种植面积”的关系，先分别求出甲乙两块稻田的总产量和总种植面积，代入公式即可得到结果。
（3）行船问题中，顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度，再结合“时间=路程÷速度”的基本公式，将对应路程和速度代入，即可求出顺流、逆流的航行时间。
【解析】
（1）设降价前的单价为x元，根据题意列等式：
$x·(1-a\%)=m$
解得 $x=\frac{m}{1-a\%}$，即降价前单价为$\frac{m}{1-a\%}$元。
（2）甲乙两稻田总产量为$(a+b)$千克，总种植面积为$(n+m)=(m+n)$公顷，因此平均产量为：
$\frac{a+b}{m+n}$ 千克/公顷。
（3）顺流航行时，货轮实际速度为静水速度加水流速度，即$(a+3)\mathrm{km/h}$，所以顺流航行时间为：
$\frac{s}{a+3}\ \mathrm{h}$；
逆流航行时，货轮实际速度为静水速度减水流速度，即$(a-3)\mathrm{km/h}$，所以逆流航行时间为：
$\frac{s}{a-3}\ \mathrm{h}$。
【答案】
(1) $\frac{m}{1-a\%}$元 (2) $\frac{a+b}{m+n}$千克/公顷 (3) 顺流航行所用的时间为$\frac{s}{a+3}$ h,逆流航行所用的时间为$\frac{s}{a-3}$ h
【知识点】
列代数式，平均数计算，行程问题公式
【点评】
本题结合三类常见实际场景考查列代数式的能力，解题核心是准确把握不同场景下的数量关系，注意百分率的单位“1”判定、顺逆流速度的差异，属于基础题型，熟练掌握这类题目可为后续分式的应用打好基础。
【难度系数】
0.8
（1）求解降价前单价时，先将降价前单价看作单位“1”，降价a%后售价是原价的(1-a%)，已知降价后售价为m元，即原价×(1-a%)=m，根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法”即可推出原价的表达式。
（2）平均产量的计算遵循“平均产量=总产量÷总种植面积”的关系，先分别求出甲乙两块稻田的总产量和总种植面积，代入公式即可得到结果。
（3）行船问题中，顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度，再结合“时间=路程÷速度”的基本公式，将对应路程和速度代入，即可求出顺流、逆流的航行时间。
【解析】
（1）设降价前的单价为x元，根据题意列等式：
$x·(1-a\%)=m$
解得 $x=\frac{m}{1-a\%}$，即降价前单价为$\frac{m}{1-a\%}$元。
（2）甲乙两稻田总产量为$(a+b)$千克，总种植面积为$(n+m)=(m+n)$公顷，因此平均产量为：
$\frac{a+b}{m+n}$ 千克/公顷。
（3）顺流航行时，货轮实际速度为静水速度加水流速度，即$(a+3)\mathrm{km/h}$，所以顺流航行时间为：
$\frac{s}{a+3}\ \mathrm{h}$；
逆流航行时，货轮实际速度为静水速度减水流速度，即$(a-3)\mathrm{km/h}$，所以逆流航行时间为：
$\frac{s}{a-3}\ \mathrm{h}$。
【答案】
(1) $\frac{m}{1-a\%}$元 (2) $\frac{a+b}{m+n}$千克/公顷 (3) 顺流航行所用的时间为$\frac{s}{a+3}$ h,逆流航行所用的时间为$\frac{s}{a-3}$ h
【知识点】
列代数式，平均数计算，行程问题公式
【点评】
本题结合三类常见实际场景考查列代数式的能力，解题核心是准确把握不同场景下的数量关系，注意百分率的单位“1”判定、顺逆流速度的差异，属于基础题型，熟练掌握这类题目可为后续分式的应用打好基础。
【难度系数】
0.8
4 [2025常州]若使分式$\frac{5}{x+1}$有意义，则x的取值范围是（
A.$x≠-1$
B.$x=-1$
C.$x≥-1$
D.$x＞-1$
A
）A.$x≠-1$
B.$x=-1$
C.$x≥-1$
D.$x＞-1$
答案
4. A
解析
【分析】
要确定分式有意义时x的取值范围，首先回忆分式有意义的核心条件：分式的分母不能为0。解题时先找到给定分式的分母，再令分母不等于0，解这个简单的一元一次不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
对于分式$\frac{5}{x+1}$，其分母为$x+1$。
根据分式有意义的条件：分母不为0，可得：
$x+1 ≠ 0$
解这个不等式得：$x ≠ -1$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
分式有意义的条件、解一元一次不等式
【点评】
本题是分式相关的基础常考题，核心考察对分式有意义条件的识记和简单应用，只要牢记“分母不为0”这一判定规则，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
要确定分式有意义时x的取值范围，首先回忆分式有意义的核心条件：分式的分母不能为0。解题时先找到给定分式的分母，再令分母不等于0，解这个简单的一元一次不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
对于分式$\frac{5}{x+1}$，其分母为$x+1$。
根据分式有意义的条件：分母不为0，可得：
$x+1 ≠ 0$
解这个不等式得：$x ≠ -1$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
分式有意义的条件、解一元一次不等式
【点评】
本题是分式相关的基础常考题，核心考察对分式有意义条件的识记和简单应用，只要牢记“分母不为0”这一判定规则，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
5 若$x=-3$能使一个分式无意义，则这个分式可以是 （
A.$\dfrac{x+3}{x-3}$
B.$\dfrac{x-3}{x+3}$
C.$\dfrac{x-3}{-3+x}$
D.$\dfrac{x+3}{3x}$
B
）A.$\dfrac{x+3}{x-3}$
B.$\dfrac{x-3}{x+3}$
C.$\dfrac{x-3}{-3+x}$
D.$\dfrac{x+3}{3x}$
答案
5. B
解析
【分析】
本题考查分式无意义的判定，解题思路为：首先明确分式无意义的核心条件是分母的值为0，因此只需将$x=-3$分别代入四个选项的分母中，判断哪个分母的计算结果等于0，对应的选项即为正确答案。
【解析】
分式无意义的条件：当分式的分母为0时，分式无意义。我们逐个分析选项：
A. 分母为$x-3$，将$x=-3$代入得：$-3-3=-6≠0$，分式有意义，不符合要求；
B. 分母为$x+3$，将$x=-3$代入得：$-3+3=0$，分式无意义，符合要求；
C. 分母为$-3+x=x-3$，将$x=-3$代入得：$-3-3=-6≠0$，分式有意义，不符合要求；
D. 分母为$3x$，将$x=-3$代入得：$3×(-3)=-9≠0$，分式有意义，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
分式无意义的条件；代数式代入求值
【点评】
本题属于基础题型，是对分式基础概念的常规考查，只要牢记“分母为0时分式无意义”的判定规则，代入数值计算即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
本题考查分式无意义的判定，解题思路为：首先明确分式无意义的核心条件是分母的值为0，因此只需将$x=-3$分别代入四个选项的分母中，判断哪个分母的计算结果等于0，对应的选项即为正确答案。
【解析】
分式无意义的条件：当分式的分母为0时，分式无意义。我们逐个分析选项：
A. 分母为$x-3$，将$x=-3$代入得：$-3-3=-6≠0$，分式有意义，不符合要求；
B. 分母为$x+3$，将$x=-3$代入得：$-3+3=0$，分式无意义，符合要求；
C. 分母为$-3+x=x-3$，将$x=-3$代入得：$-3-3=-6≠0$，分式有意义，不符合要求；
D. 分母为$3x$，将$x=-3$代入得：$3×(-3)=-9≠0$，分式有意义，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
分式无意义的条件；代数式代入求值
【点评】
本题属于基础题型，是对分式基础概念的常规考查，只要牢记“分母为0时分式无意义”的判定规则，代入数值计算即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
6 教材P140练习T3变式 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
(1) $\frac{x-1}{2x^2}$；
(2) $\frac{2}{3a+1}$；
(3) $\frac{x-5}{(x-1)(x-5)}$；
(4) $\frac{1}{x^2 -4}$；
(5) $\frac{3a + b}{2a -6b}$；
(6) $\frac{2026}{(x+3)^2}$。
(1) $\frac{x-1}{2x^2}$；
(2) $\frac{2}{3a+1}$；
(3) $\frac{x-5}{(x-1)(x-5)}$；
(4) $\frac{1}{x^2 -4}$；
(5) $\frac{3a + b}{2a -6b}$；
(6) $\frac{2026}{(x+3)^2}$。
答案
6. (1) $x≠0$ (2) $a≠-\frac{1}{3}$ (3) $x≠1$且$x≠5$ (4) $x≠±2$
(5) $a≠3b$ (6) $x≠-3$
(5) $a≠3b$ (6) $x≠-3$
解析
【分析】
要判断分式有意义的条件，核心依据是：分式有意义等价于分式的分母不为0。解题时只需针对每道题的分母列出“分母≠0”的不等式，求解得到对应字母的取值范围即可。注意当分母是多个因式乘积的形式时，需保证每个因式都不为0；当分母是平方形式时，利用平方的非负性，只需保证平方的底数不为0即可。
【解析】
分式有意义的条件是分母不为0，据此逐一求解：
(1) 对于$\frac{x-1}{2x^2}$，令分母$2x^2 ≠ 0$，解得$x ≠ 0$；
(2) 对于$\frac{2}{3a+1}$，令分母$3a+1 ≠ 0$，移项得$3a ≠ -1$，解得$a ≠ -\frac{1}{3}$；
(3) 对于$\frac{x-5}{(x-1)(x-5)}$，令分母$(x-1)(x-5) ≠ 0$，即$x-1 ≠ 0$且$x-5 ≠ 0$，解得$x ≠ 1$且$x ≠ 5$；
(4) 对于$\frac{1}{x^2 -4}$，令分母$x^2 -4 ≠ 0$，即$x^2 ≠ 4$，解得$x ≠ \pm 2$；
(5) 对于$\frac{3a + b}{2a -6b}$，令分母$2a -6b ≠ 0$，移项得$2a ≠ 6b$，解得$a ≠ 3b$；
(6) 对于$\frac{2026}{(x+3)^2}$，令分母$(x+3)^2 ≠ 0$，即$x+3 ≠ 0$，解得$x ≠ -3$。
【答案】
(1) $x≠0$ (2) $a≠-\frac{1}{3}$ (3) $x≠1$且$x≠5$ (4) $x≠±2$
(5) $a≠3b$ (6) $x≠-3$
【知识点】
1. 分式有意义的条件
2. 一元一次不等式求解
3. 平方的非负性
【点评】
本题是分式概念的基础应用题，核心要牢记“分式有意义时分母不为0”的规则。易错点为第(3)问易遗漏$x≠5$的限制，第(4)问易漏解$x=-2$的情况，解题时注意分母是乘积、平方形式的特殊处理，掌握规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
要判断分式有意义的条件，核心依据是：分式有意义等价于分式的分母不为0。解题时只需针对每道题的分母列出“分母≠0”的不等式，求解得到对应字母的取值范围即可。注意当分母是多个因式乘积的形式时，需保证每个因式都不为0；当分母是平方形式时，利用平方的非负性，只需保证平方的底数不为0即可。
【解析】
分式有意义的条件是分母不为0，据此逐一求解：
(1) 对于$\frac{x-1}{2x^2}$，令分母$2x^2 ≠ 0$，解得$x ≠ 0$；
(2) 对于$\frac{2}{3a+1}$，令分母$3a+1 ≠ 0$，移项得$3a ≠ -1$，解得$a ≠ -\frac{1}{3}$；
(3) 对于$\frac{x-5}{(x-1)(x-5)}$，令分母$(x-1)(x-5) ≠ 0$，即$x-1 ≠ 0$且$x-5 ≠ 0$，解得$x ≠ 1$且$x ≠ 5$；
(4) 对于$\frac{1}{x^2 -4}$，令分母$x^2 -4 ≠ 0$，即$x^2 ≠ 4$，解得$x ≠ \pm 2$；
(5) 对于$\frac{3a + b}{2a -6b}$，令分母$2a -6b ≠ 0$，移项得$2a ≠ 6b$，解得$a ≠ 3b$；
(6) 对于$\frac{2026}{(x+3)^2}$，令分母$(x+3)^2 ≠ 0$，即$x+3 ≠ 0$，解得$x ≠ -3$。
【答案】
(1) $x≠0$ (2) $a≠-\frac{1}{3}$ (3) $x≠1$且$x≠5$ (4) $x≠±2$
(5) $a≠3b$ (6) $x≠-3$
【知识点】
1. 分式有意义的条件
2. 一元一次不等式求解
3. 平方的非负性
【点评】
本题是分式概念的基础应用题，核心要牢记“分式有意义时分母不为0”的规则。易错点为第(3)问易遗漏$x≠5$的限制，第(4)问易漏解$x=-2$的情况，解题时注意分母是乘积、平方形式的特殊处理，掌握规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
