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1. 对正整数$n$，记$n!=1×2×…×n$，则$1!+2!+3!+…+10!$的末位数字是 （
A.0
B.1
C.3
D.5
C
）A.0
B.1
C.3
D.5
答案
1. C 解析:因为 $n!=1×2×…×n$,所以当 $n≥5$ 时,$n!$的末位数字是0. 因为 $1!=1,2!=2,3!=6,4!=24$,且$1+2+6+24=33$,所以 $1!+2!+3!+…+10!$ 的末位数字是3.
2. 观察下列各式的变化规律：$\frac{2}{1×3}=1-\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3×5}=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$，$\frac{2}{5×7}=\frac{1}{5}-\frac{1}{7}$，$\frac{2}{7×9}=\frac{1}{7}-\frac{1}{9}$，….根据上面的规律计算：$\frac{2}{1×3}+\frac{2}{3×5}+\frac{2}{5×7}+…+\frac{2}{2025×2027}=$
$\frac{2026}{2027}$
.答案
2. $\frac{2026}{2027}$ 解析:原式$=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+$$\frac{1}{2025}-\frac{1}{2027}=1-\frac{1}{2027}=\frac{2026}{2027}.$
3. 已知 $ S=4+\dfrac{4}{5}+\dfrac{4}{5^2}+\dfrac{4}{5^3}+\dots+\dfrac{4}{5^{2026}} $，求 $ S $ 的值.
答案
3. 因为 $ S=4+\frac{4}{5}+\frac{4}{5^2}+\frac{4}{5^3}+…+\frac{4}{5^{2026}}$ ①,所以 $\frac{1}{5}S=$$\frac{4}{5}+\frac{4}{5^2}+\frac{4}{5^3}+\frac{4}{5^4}+…+\frac{4}{5^{2027}}$ ②. ①$-$②,得 $\frac{4}{5}S=4-$$\frac{4}{5^{2027}}$,所以 $S=5-\frac{1}{5^{2026}}.$
4. 计算：$\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+···+\frac{1}{6561}$
答案
4. 设 $S=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+…+\frac{1}{6561}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+…+$$\frac{1}{3^8}$①,则 $\frac{1}{3}S=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^4}+…+\frac{1}{3^9}$②. ①$-$②,得$\frac{2}{3}S=\frac{1}{3}-\frac{1}{3^9}$,所以 $S=\frac{1}{2}-\frac{1}{2×3^8}=\frac{3280}{6561}$,即 $\frac{1}{3}+$$\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+…+\frac{1}{6561}=\frac{3280}{6561}.$
5. 计算:$1+\dfrac{1}{1+2}+\dfrac{1}{1+2+$
$}+\dots+\dfrac{1}{1+2+3+\dots+100}.$
$}+\dots+\dfrac{1}{1+2+3+\dots+100}.$答案
5. 因为 $1+2+3+…+n=\frac{n(n+1)}{2}$, 所以$\frac{1}{1+2+3+…+n}=\frac{1}{\frac{n(n+1)}{2}}=\frac{2}{n(n+1)}=\frac{2}{n}-\frac{2}{n+1},$所以原式$=1+\frac{2}{2}-\frac{2}{3}+\frac{2}{3}-\frac{2}{4}+…+\frac{2}{100}-\frac{2}{101}=$$2-\frac{2}{101}=\frac{200}{101}.$
6. 新素养 运算能力 计算：$( 17 \frac{7}{27} + 27 \frac{7}{17} - 11 \frac{37}{39} ) ÷ ( 8 \frac{17}{27} + 13 \frac{12}{17} - 5 \frac{38}{39} )$
答案
6. 令 $A=8\frac{17}{27}+13\frac{12}{17}-5\frac{38}{39}$. 因为 $17\frac{7}{27}+27\frac{7}{17}-11\frac{37}{39}=$$16\frac{34}{27}+26\frac{24}{17}-10\frac{76}{39}=2A$,所以原式$=2A÷A=2.$
7. 已知$1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 15^3 = 14400$，求$2^3 + 4^3 + 6^3 + \dots + 30^3$的值.
答案
7. 原式$=2^3×(1^3+2^3+3^3+…+15^3)=8×14400=115200.$
8. 计算：$\frac{1}{2}+(\frac{1}{3}+\frac{2}{3})+(\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4})+(\frac{1}{5}+\frac{2}{5}+\frac{3}{5}+\frac{4}{5})+\dots+(\frac{1}{60}+\frac{2}{60}+\frac{3}{60}+\dots+\frac{58}{60}+\frac{59}{60}).$
答案
8. 设原式$=S$,对原式每个括号内的各项都倒序排列,显然结果不变,即 $S=\frac{1}{2}+(\frac{2}{3}+\frac{1}{3})+(\frac{3}{4}+\frac{2}{4}+$$\frac{1}{4})+(\frac{4}{5}+\frac{3}{5}+\frac{2}{5}+\frac{1}{5})+…+(\frac{59}{60}+\frac{58}{60}+…+$$\frac{3}{60}+\frac{2}{60}+\frac{1}{60})$. 将原序和倒序相加,则 $2S=1+2+3+$$4+…+59=\frac{(1+59)×59}{2}=30×59$,所以 $S=15×$$59=885.$
