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11. [2025滁州段考]已知点$A(-2,3),B(4,3)$在抛物线$y=ax^2+bx+c$上,则该抛物线的顶点坐标可能是 (
A.$(1,4)$
B.$(-1,4)$
C.$(-1,3)$
D.$(1,3)$
A
)A.$(1,4)$
B.$(-1,4)$
C.$(-1,3)$
D.$(1,3)$
答案
11.A $\because$ 点 $ A(-2,3) $, $ B(4,3) $ 在抛物线上(注意:纵坐标相等),$\therefore$ 该抛物线的对称轴为直线 $ x=\frac{-2+4}{2}=1 $,即抛物线的顶点的横坐标为1,易知顶点的纵坐标不等于3,结合选项可知选项A符合题意.
12. [2026崇左段考] 在平面直角坐标系中，若把对称轴为直线$x = 1$的抛物线$y = mx^2 + nx + m - 2(m ＞ 2)$向上平移，使得平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点，则下列平移方式正确的是（
A.向上平移1个单位长度
B.向上平移2个单位长度
C.向上平移3个单位长度
D.向上平移4个单位长度
B
）A.向上平移1个单位长度
B.向上平移2个单位长度
C.向上平移3个单位长度
D.向上平移4个单位长度
答案
12.B $\because$ 抛物线的对称轴为直线 $ x=1 $,$\therefore -\frac{n}{2m}=1 $,$\therefore n=-2m $,$\therefore$ 抛物线的表达式为 $ y=mx^2 -2mx +m -2 = m(x-1)^2 -2 $,$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为 $ (1,-2) $. 又$\because$ 平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点,$\therefore$ 平移后的抛物线顶点在 $ x $ 轴上,$\therefore$ 应将抛物线 $ y=mx^2 +nx +m -2 $ 向上平移2个单位长度.
13. [2025哈尔滨中考]如图,在$□ ABCD$中,$∠ A = 30°$,$AB=6$,$AD=3$.点P从点A出发,以每秒3个单位长度的速度沿折线$AD→DC$运动,同时点Q从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿AB向点B运动,其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动.设$△ BPQ$的面积为$y$,运动时间为$x$秒,则下列图象中大致反映$y$与$x$之间函数关系的是 (
A
)答案
13.A $\because AB=6$,$AD=3$,$\therefore$ 点 $ Q $ 从点 $ A $ 到点 $ B $ 需要3秒,点 $ P $ 从点 $ A $ 到点 $ D $ 需要1秒,从点 $ D $ 到点 $ C $ 需要2秒. ①当 $ 0＜x≤1 $ 时,
,过点 $ P $ 作 $ PH⊥ AB $ 于点 $ H $, $ AP=3x $, $ AQ=2x $,$\therefore BQ=AB-AQ=6-2x $. 又$\because ∠ A=30°$,$\therefore PH=\frac{1}{2}AP=\frac{3}{2}x$,$\therefore S_{△ BPQ}=\frac{1}{2}BQ· PH=-\frac{3}{2}x^2 +\frac{9}{2}x$,即 $ y=-\frac{3}{2}x^2 +\frac{9}{2}x $. ②当 $ 1＜x＜3 $ 时,
,过点 $ P $ 作 $ PG⊥ AB $ 于点 $ G $,过点 $ D $ 作 $ DE⊥ AB $ 于点 $ E $. $\because AB// CD$,$\therefore DE=PG$(依据:两条平行线间的距离处处相等). $\because ∠ A=30°$,$AD=3$,$\therefore PG=DE=\frac{3}{2}$,$\therefore S_{△ BPQ}=\frac{1}{2}BQ· PG=-\frac{3}{2}x +\frac{9}{2}$,即 $ y=-\frac{3}{2}x +\frac{9}{2} $. 结合选项可知选项A符合题意.14. 已知二次函数 $y = ax^2 + bx + c$（$a≠0$）的图象如图所示，对称轴是直线$x = -1$. 给出下列结论：
①$abc ＜ 0$；②$2a + b = 0$；
③$a - b + c ＞ 0$；④$4a - 2b + c ＜ 0$. 其中正确的是
①$abc ＜ 0$；②$2a + b = 0$；
③$a - b + c ＞ 0$；④$4a - 2b + c ＜ 0$. 其中正确的是
①④
.(填序号)答案
14.①④ 由题图可知 $ a＞0 $, $ -\frac{b}{2a}＜0 $,$\therefore b＞0$,$\because$ 抛物线与 $ y $ 轴交于负半轴,$\therefore c＜0$,$\therefore abc＜0$,故①正确; $\because$ 对称轴为直线 $ x=-1 $,$\therefore -\frac{b}{2a}=-1$,即 $ 2a -b=0 $,故②错误; $\because$ 当 $ x=-1 $ 时,$y＜0$,$\therefore a -b +c ＜0$,故③错误; $\because$ 当 $ x=0 $ 时,$y＜0$,$\therefore$ 当 $ x=-2 $ 时,$y＜0$,$\therefore 4a -2b +c ＜0$,故④正确.
15. [2024成都中考]在平面直角坐标系$xOy$中，$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$是二次函数$y=-x^2+4x-1$图象上三点.若$0＜x_1＜1$，$x_2＞4$，则$y_1$
若对于$m＜x_1＜m+1,m+1＜x_2＜m+2,m+2＜x_3＜m+3$,存在$y_1＜y_3＜y_2$,则$m$的取值范围是
＞
$y_2$(填“＞”或“＜”);若对于$m＜x_1＜m+1,m+1＜x_2＜m+2,m+2＜x_3＜m+3$,存在$y_1＜y_3＜y_2$,则$m$的取值范围是
$-\frac{1}{2}＜m＜1$
.答案
15.＞ $-\frac{1}{2}＜m＜1$ 第一个空:画出二次函数的大致图象
,易知当 $ x=0 $ 或4时,$y=-1$,结合图上标注可知 $ y_1＞y_2 $.第二个空:
是第一种极限位置,其中点 $ A' $ 略低于点 $ C' $,即点 $ B' $ 在对称轴左侧,$\therefore m+1＜2$,$\therefore m＜1$. 
是第二种极限位置,其中点 $ B' $ 略高于点 $ C' $,即对称轴在直线 $ x=\frac{m+2+m+3}{2} $ 的左侧,$\therefore \frac{m+2+m+3}{2}＞2$,解得 $ m＞-\frac{1}{2} $. 综上,$m$ 的取值范围为 $ -\frac{1}{2}＜m＜1 $.16. [2024安徽中考]已知抛物线$y=-x^2+bx$（b为常数）的顶点横坐标比抛物线$y=-x^2+2x$的顶点横坐标大1.
(1)求b的值.
(2)点$A(x_1,y_1)$在抛物线$y=-x^2+2x$上，点$B(x_1+t,y_1+h)$在抛物线$y=-x^2+bx$上.
①若$h=3t$，且$x_1≥0,t＞0$，求h的值；
②若$x_1=t-1$，求h的最大值.
(1)求b的值.
(2)点$A(x_1,y_1)$在抛物线$y=-x^2+2x$上，点$B(x_1+t,y_1+h)$在抛物线$y=-x^2+bx$上.
①若$h=3t$，且$x_1≥0,t＞0$，求h的值；
②若$x_1=t-1$，求h的最大值.
答案
16.解:(1)抛物线 $ y=-x^2 +bx $ 的顶点横坐标为 $ \frac{b}{2} $,抛物线 $ y=-x^2 +2x $ 的顶点横坐标为1,由题意可得 $ \frac{b}{2}-1=1 $,解得 $ b=4 $.
(2)因为点 $ A(x_1,y_1) $ 在抛物线 $ y=-x^2 +2x $ 上,
所以 $ y_1=-x_1^2 +2x_1 $.
因为点 $ B(x_1 +t,y_1 +h) $ 在抛物线 $ y=-x^2 +4x $ 上,
所以 $ y_1 +h=-(x_1 +t)^2 +4(x_1 +t) $,
所以 $ -x_1^2 +2x_1 +h=-(x_1 +t)^2 +4(x_1 +t) $,
整理,得 $ h=-t^2 -2x_1 t +2x_1 +4t $.
①因为 $ h=3t $,所以 $ 3t=-t^2 -2x_1 t +2x_1 +4t $,
整理,得 $ t(t +2x_1)=t +2x_1 $.
又因为 $ x_1≥0 $,$t＞0$,所以 $ t +2x_1＞0 $,故 $ t=1 $,从而 $ h=3 $.
②将 $ x_1 =t-1 $ 代入 $ h=-t^2 -2x_1 t +2x_1 +4t $,整理,得 $ h=-3t^2 +8t -2 $,配方,得 $ h=-3(t-\frac{4}{3})^2 +\frac{10}{3} $.
因为 $ -3＜0 $,所以当 $ t=\frac{4}{3} $,即 $ x_1=\frac{1}{3} $ 时,$h$ 取得最大值,为 $ \frac{10}{3} $.
(2)因为点 $ A(x_1,y_1) $ 在抛物线 $ y=-x^2 +2x $ 上,
所以 $ y_1=-x_1^2 +2x_1 $.
因为点 $ B(x_1 +t,y_1 +h) $ 在抛物线 $ y=-x^2 +4x $ 上,
所以 $ y_1 +h=-(x_1 +t)^2 +4(x_1 +t) $,
所以 $ -x_1^2 +2x_1 +h=-(x_1 +t)^2 +4(x_1 +t) $,
整理,得 $ h=-t^2 -2x_1 t +2x_1 +4t $.
①因为 $ h=3t $,所以 $ 3t=-t^2 -2x_1 t +2x_1 +4t $,
整理,得 $ t(t +2x_1)=t +2x_1 $.
又因为 $ x_1≥0 $,$t＞0$,所以 $ t +2x_1＞0 $,故 $ t=1 $,从而 $ h=3 $.
②将 $ x_1 =t-1 $ 代入 $ h=-t^2 -2x_1 t +2x_1 +4t $,整理,得 $ h=-3t^2 +8t -2 $,配方,得 $ h=-3(t-\frac{4}{3})^2 +\frac{10}{3} $.
因为 $ -3＜0 $,所以当 $ t=\frac{4}{3} $,即 $ x_1=\frac{1}{3} $ 时,$h$ 取得最大值,为 $ \frac{10}{3} $.
17. 几何直观 [2024 乐山中考]在平面直角坐标系$xOy$中,我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”. 抛物线$y = ax^2 - 2ax + 2a$（$a$为常数且$a ＞ 0$）与$y$轴交于点$A$.
(1)若$a = 1$,求抛物线的顶点坐标.
(2)若线段$OA$(含端点)上的“完美点”个数大于3个且小于6个,求$a$的取值范围.
(3)若抛物线与直线$y = x$交于$M,N$两点,线段$MN$与抛物线围成的区域(含边界)内恰有4个“完美点”,求$a$的取值范围.
(1)若$a = 1$,求抛物线的顶点坐标.
(2)若线段$OA$(含端点)上的“完美点”个数大于3个且小于6个,求$a$的取值范围.
(3)若抛物线与直线$y = x$交于$M,N$两点,线段$MN$与抛物线围成的区域(含边界)内恰有4个“完美点”,求$a$的取值范围.
答案
17.解:(1)当 $ a=1 $ 时,抛物线 $ y=x^2 -2x +2=(x-1)^2 +1 $,
$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为 $ (1,1) $.
(2)当 $ x=0 $ 时,$y=2a$,即抛物线与 $ y $ 轴的交点 $ A $ 的坐标为 $ (0,2a) $.
$\because$ 线段 $ OA $(含端点)上的“完美点”的个数大于3个且小于6个,即“完美点”的个数为4个或5个,而 $ a＞0 $,
$\therefore$ 当“完美点”个数为4个时,这4个“完美点”的坐标分别为 $ (0,0),(0,1),(0,2),(0,3) $,
当“完美点”个数为5个时,这5个“完美点”的坐标分别为 $ (0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(0,4) $,
$\therefore 3≤ 2a ＜5$,$\therefore a$ 的取值范围是 $ \frac{3}{2}≤ a ＜\frac{5}{2} $.
(3)易知抛物线的顶点坐标为 $ (1,a) $,过点 $ P(2,2a) $,$ Q(3,5a) $,$ R(4,10a) $.
显然,“完美点”$ (1,1) $,$ (2,2) $,$ (3,3) $符合题意. 下面讨论抛物线经过 $ (2,1) $,$ (3,2) $ 的两种情况:
当抛物线经过 $ (2,1) $ 时,解得 $ a=\frac{1}{2} $. 此时, $ P(2,1) $, $ Q(3,\frac{5}{2}) $, $ R(4,5) $.
,满足题意的“完美点”有 $ (1,1) $, $ (2,1) $, $ (2,2) $, $ (3,3) $,共4个.当抛物线经过 $ (3,2) $ 时,解得 $ a=\frac{2}{5} $. 此时, $ P(2,\frac{4}{5}) $, $ Q(3,2) $, $ R(4,4) $.
,满足题意的“完美点”有 $ (1,1) $, $ (2,1) $, $ (2,2) $, $ (3,2) $, $ (3,3) $, $ (4,4) $,共6个. 结合图象可知 $ a $ 的取值范围是 $ \frac{2}{5}＜a≤ \frac{1}{2} $.