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1. [2026亳州谯城区段考]将二次函数表达式$y=x^2 -2x +3$化为$y=(x-h)^2 +k$的形式，结果为
（
A.$y=(x+1)^2 +4$
B.$y=(x+1)^2 +2$
C.$y=(x-1)^2 +4$
D.$y=(x-1)^2 +2$
（
D
）A.$y=(x+1)^2 +4$
B.$y=(x+1)^2 +2$
C.$y=(x-1)^2 +4$
D.$y=(x-1)^2 +2$
答案
1.D
2. ▶一题多解 将抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2 -6x +21$ 向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到新的抛物线的表达式为（
A.$y=\frac{1}{2}(x-8)^2 +5$
B.$y=\frac{1}{2}(x-4)^2 +5$
C.$y=\frac{1}{2}(x-8)^2 +3$
D.$y=\frac{1}{2}(x-4)^2 +3$
B
）A.$y=\frac{1}{2}(x-8)^2 +5$
B.$y=\frac{1}{2}(x-4)^2 +5$
C.$y=\frac{1}{2}(x-8)^2 +3$
D.$y=\frac{1}{2}(x-4)^2 +3$
答案
2.B
通解：$y=\frac{1}{2}x^2 -6x +21 = \frac{1}{2}(x-6)^2 +3$,即抛物线$y=\frac{1}{2}x^2 -6x +21$的顶点坐标为$(6,3)$,把点$(6,3)$向左平移2个单位长度,再向上平移2个单位长度得到的点的坐标为$(4,5)$,所以得到的新的抛物线的表达式为$y=\frac{1}{2}(x-4)^2 +5$.
另解：$y=\frac{1}{2}x^2 -6x +21 = \frac{1}{2}(x-6)^2 +3$,根据抛物线的平移规律“左加右减、上加下减”得到的新的抛物线的表达式为$y=\frac{1}{2}(x-6+2)^2 +3+2$,即$y=\frac{1}{2}(x-4)^2 +5$.
通解：$y=\frac{1}{2}x^2 -6x +21 = \frac{1}{2}(x-6)^2 +3$,即抛物线$y=\frac{1}{2}x^2 -6x +21$的顶点坐标为$(6,3)$,把点$(6,3)$向左平移2个单位长度,再向上平移2个单位长度得到的点的坐标为$(4,5)$,所以得到的新的抛物线的表达式为$y=\frac{1}{2}(x-4)^2 +5$.
另解：$y=\frac{1}{2}x^2 -6x +21 = \frac{1}{2}(x-6)^2 +3$,根据抛物线的平移规律“左加右减、上加下减”得到的新的抛物线的表达式为$y=\frac{1}{2}(x-6+2)^2 +3+2$,即$y=\frac{1}{2}(x-4)^2 +5$.
3. [2026蚌埠段考]已知抛物线$y=-x^2 -kx +k -3$（k是常数）的顶点在x轴上，则k的值为（
A.-6或2
B.-2或6
C.-6
D.2
A
）A.-6或2
B.-2或6
C.-6
D.2
答案
3.A 由题意可知抛物线$y=-x^2 -kx +k -3$的顶点的纵坐标为0,即$\frac{4×(-1)×(k-3)-(-k)^2}{4×(-1)}=0$,解得$k=-6$或$k=2$.
解题通法
求抛物线$y=ax^2 +bx +c$顶点坐标的方法
(1)配方法:用配方法把二次函数$y=ax^2 +bx +c$化为顶点式$y=a(x-h)^2 +k$,即可得顶点坐标$(h,k)$;
(2)公式法:直接套用抛物线$y=ax^2 +bx +c$的顶点坐标公式$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$.
解题通法
求抛物线$y=ax^2 +bx +c$顶点坐标的方法
(1)配方法:用配方法把二次函数$y=ax^2 +bx +c$化为顶点式$y=a(x-h)^2 +k$,即可得顶点坐标$(h,k)$;
(2)公式法:直接套用抛物线$y=ax^2 +bx +c$的顶点坐标公式$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$.
4. [2026合肥五十中月考] 下列四条抛物线中，开口最大的是（
A.$y=3x^2 +4x$
B.$y=-5x^2 +6$
C.$y=(x+3)^2$
D.$y=-0.1x^2 +2x -3$
D
）A.$y=3x^2 +4x$
B.$y=-5x^2 +6$
C.$y=(x+3)^2$
D.$y=-0.1x^2 +2x -3$
答案
4.D $\because |-5|＞|3|＞|1|＞|-0.1|,\therefore$ 抛物线$y=-0.1x^2 +2x -3$的开口最大(二次函数图象的开口大小与$|a|$有关,$|a|$越大,开口越小;$|a|$越小,开口越大).
5. [2025合肥多校联考]已知二次函数$y=ax^2+bx+c$满足$a-b+c=-2$，则该二次函数的图象一定经过点（
A.$(-1,2)$
B.$(-1,-2)$
C.$(1,2)$
D.$(1,-2)$
B
）A.$(-1,2)$
B.$(-1,-2)$
C.$(1,2)$
D.$(1,-2)$
答案
5.B 当$x=-1$时,$y=a×(-1)^2 +b×(-1)+c=a-b+c=-2$,所以该二次函数的图象一定经过点$(-1,-2)$.
6. [2024眉山中考]定义运算：$a\otimes b=(a+2b)(a-b)$，例如$4\otimes3=(4+2×3)(4-3)$，则函数$y=(x+1)\otimes2$的最小值为（
A.$-21$
B.$-9$
C.$-7$
D.$-5$
B
）A.$-21$
B.$-9$
C.$-7$
D.$-5$
答案
6.B 由题意可得$y=(x+1)\otimes2=(x+1+2×2)(x+1-2)=(x+5)(x-1)=x^2 +4x -5=(x+2)^2 -9$,$\therefore$ 函数$y=(x+1)\otimes2$的最小值为$-9$.
7. [2024内江中考]已知二次函数$y=x^2 -2x +1$的图象向左平移两个单位长度得到抛物线C，点$P(2,y_1),Q(3,y_2)$在抛物线C上，则$y_1$
＜
$y_2$（填“＞”或“＜”）。答案
7.＜ 抛物线$y=x^2 -2x +1=(x-1)^2$,将其向左平移两个单位长度,得抛物线$C$: $y=(x-1+2)^2$,即$y=(x+1)^2$.易知抛物线$C$开口向上,对称轴为直线$x=-1$,$\therefore$ 当$x＞-1$时,$y$随$x$的增大而增大.又$\because 2＜3$,$\therefore y_1 ＜ y_2$.
8. [2025 蚌埠期中] 已知抛物线 $ y = ax^2 - 4ax + 1 $（$ a ＞ 0 $）。
(1) 求该抛物线的对称轴。
(2) 若当 $ 1 ≤ x ≤ 5 $ 时，$ y $ 的最小值是 -1，求当 $ 1 ≤ x ≤ 5 $ 时，$ y $ 的最大值。
(1) 求该抛物线的对称轴。
(2) 若当 $ 1 ≤ x ≤ 5 $ 时，$ y $ 的最小值是 -1，求当 $ 1 ≤ x ≤ 5 $ 时，$ y $ 的最大值。
答案
8.解:(1)抛物线 $ y = ax^2 - 4ax + 1 $ 的对称轴为直线 $ x = -\frac{-4a}{2a}=2 $,即直线 $ x=2 $.
(2)$\because a＞0$,$\therefore$ 抛物线的开口向上.
又$\because$ 抛物线的对称轴为直线 $ x=2 $,
$\therefore$ 对于 $ 1≤ x≤ 5 $,当 $ x=2 $ 时,$y$ 取得最小值,为 $ -1 $,
$\therefore 4a -8a +1 = -1 $,解得 $ a=\frac{1}{2} $,
$\therefore$ 抛物线的表达式为 $ y=\frac{1}{2}x^2 -2x +1 $.
$\because 2-1 ＜ 5-2$,$\therefore$ 当 $ x=5 $ 时,$y$ 取得最大值,
此时 $ y=\frac{1}{2}×5^2 -2×5 +1 =\frac{7}{2} $,
$\therefore$ 当 $ 1≤ x≤ 5 $ 时,$y$ 的最大值为 $ \frac{7}{2} $.
(2)$\because a＞0$,$\therefore$ 抛物线的开口向上.
又$\because$ 抛物线的对称轴为直线 $ x=2 $,
$\therefore$ 对于 $ 1≤ x≤ 5 $,当 $ x=2 $ 时,$y$ 取得最小值,为 $ -1 $,
$\therefore 4a -8a +1 = -1 $,解得 $ a=\frac{1}{2} $,
$\therefore$ 抛物线的表达式为 $ y=\frac{1}{2}x^2 -2x +1 $.
$\because 2-1 ＜ 5-2$,$\therefore$ 当 $ x=5 $ 时,$y$ 取得最大值,
此时 $ y=\frac{1}{2}×5^2 -2×5 +1 =\frac{7}{2} $,
$\therefore$ 当 $ 1≤ x≤ 5 $ 时,$y$ 的最大值为 $ \frac{7}{2} $.
9. 二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象如图所示，则点 $ (b, \frac{c}{a}) $ 在（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
9.C 由题图可知 $ a＜0 $, $ -\frac{b}{2a}＜0 $, $ c＞0 $, $ \therefore b＜0 $, $ \frac{c}{a}＜0 $,
$\therefore$ 点 $ (b, \frac{c}{a}) $ 在第三象限.
$\therefore$ 点 $ (b, \frac{c}{a}) $ 在第三象限.
10. [2026重庆渝中区段考]关于x的二次函数$y = x^2 - 2mx + m^2 - 1(m ＞ 1)$的图象可能是(
C
)答案
10.C 当 $ x=0 $ 时,$y=m^2 -1 $. 因为 $ m＞1 $,所以 $ y=m^2 -1 ＞0 $,所以函数图象与 $ y $ 轴交于正半轴,故可排除选项 D; $ y=x^2 -2mx +m^2 -1=(x-m)^2 -1 $,所以函数图象的对称轴为直线 $ x=m＞1 $,故可排除选项 A;当 $ x=m $ 时, $ y=-1＜0 $,故可排除选项 B.
