1.若$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$是抛物线$y=ax^2(a＞0)$上两个不同的点，则$(|x_1|-|x_2|)(y_1-y_2)$为（）

A.正数
B.负数
C.非正数
D.非负数

1.D 抛物线 $ y=ax^2(a＞0) $ 的开口向上,对称轴为 $ y $ 轴,$\therefore$ 抛物线上的点离对称轴越远,函数值越大,当 $ |x_1|-0|≥|x_2|-0| $,即 $ |x_1|≥|x_2| $ 时,$y_1≥ y_2$,则 $ (|x_1|-|x_2|)(y_1 -y_2)≥0 $. 当 $ |x_1|-0|≤|x_2|-0| $,即 $ |x_1|≤|x_2| $ 时,$y_1≤ y_2$,则 $ (|x_1|-|x_2|)(y_1 -y_2)≥0 $. 综上,可知 $ (|x_1|-|x_2|)(y_1 -y_2) $ 为非负数.

2. [2024福建中考]已知二次函数$y=x^2 -2ax +a$（$a≠0$）的图象经过$A(\dfrac{a}{2},y_1)$，$B(3a,y_2)$两点，则下列判断正确的是（）

A.可以找到一个实数$a$，使得$y_1 ＞ a$
B.无论实数$a$取什么值，都有$y_1 ＞ a$
C.可以找到一个实数$a$，使得$y_2 ＜ 0$
D.无论实数$a$取什么值，都有$y_2 ＜ 0$

2.C 将 $ A(\frac{a}{2},y_1) $ 代入 $ y=x^2 -2ax +a $,得 $ y_1=(\frac{a}{2})^2 -2a·\frac{a}{2} +a=-\frac{3}{4}a^2 +a $. $\because a≠0$,$\therefore -\frac{3}{4}a^2 ＜0$,$\therefore -\frac{3}{4}a^2 +a ＜a$,即 $ y_1 ＜a $,故选项 A,B 的判断均错误. 将 $ B(3a,y_2) $ 代入 $ y=x^2 -2ax +a $,得 $ y_2=9a^2 -6a^2 +a=3a^2 +a=3(a+\frac{1}{6})^2 -\frac{1}{12}≥ -\frac{1}{12} $($ y_2≥ -\frac{1}{12} $,说明 $ y_2 $ 可以是负数、零、正数),故选项 C 的判断正确,选项 D 的判断错误.

3. [2025 阜阳段考]已知二次函数 $y=\frac{1}{3}(x-3n)^2 +4 -2n$。
(1)求证:不论n取何值,抛物线的顶点始终在一条直线上.
(2)若点$A(b+2,a)$,$B(6n + b -4,a)$都在该二次函数图象上,求证:$a≥\frac{5}{3}$.

3.证明:(1)抛物线的顶点坐标为 $ (3n,4-2n) $,
设 $ x=3n $,则 $ y=4-2n=4-\frac{2}{3}×3n=-\frac{2}{3}x +4 $,
$\therefore$ 抛物线的顶点始终在直线 $ y=-\frac{2}{3}x +4 $ 上.
(2)易知点 $ A,B $ 关于抛物线的对称轴直线 $ x=3n $ 对称,
$\therefore (b+2)+(6n +b -4)=6n$,解得 $ b=1 $,
$\therefore$ 点 $ A $ 的坐标为 $ (3,a) $,
将其代入 $ y=\frac{1}{3}(x-3n)^2 +4 -2n $,
得 $ a=\frac{1}{3}(3-3n)^2 +4 -2n=3(n-\frac{4}{3})^2 +\frac{5}{3}≥ \frac{5}{3} $.

1. 如图,抛物线$y=\frac{1}{4}(x-h)^2 +k$和抛物线$y=\frac{1}{2}(x-m)^2 +n$有相同的对称轴,则下列结论中,不正确的是 ()


A.$h=m$
B.$k=n$
C.$k＞n$
D.$k＞0,n＜0$

1.B 抛物线 $ y=\frac{1}{4}(x-h)^2 +k $ 的顶点为 $ (h,k) $,对称轴为直线 $ x=h $,抛物线 $ y=\frac{1}{2}(x-m)^2 +n $ 的顶点为 $ (m,n) $,对称轴为直线 $ x=m $,$\because$ 二者有相同的对称轴,$\therefore h=m $. 由题中图象可知点 $ (h,k) $ 在 $ x $ 轴的上方,点 $ (m,n) $ 在 $ x $ 轴的下方,$\therefore k＞0 $,$n＜0 $,$\therefore k＞n $.

2. [2025淮北一中月考]已知二次函数$y=x^2+bx+c$的图象如图所示，点$M,N,P,Q$在$x$轴上，若满足以下条件:①函数图象与$y$轴负半轴相交;②当$x＜0,y$随$x$的增大而减小，则平面直角坐标系的原点$O$可能是（）


A.点$M$
B.点$N$
C.点$P$
D.点$Q$

2.B 如图所示,当点 $ N $ 是原点 $ O $ 时,满足题中所述条件.

3. [2026淮南期中]如图,点A,B的坐标分别为$(-4,4)$和$(-1,4)$,抛物线$y=a(x-m)^2 + n$的顶点在线段AB上运动(抛物线随顶点一起平移),与x轴交于C,D两点(C在D的左侧),点C的横坐标最小值为$-6$,则点D的横坐标最大值为 ()


A.$-3$
B.$1$
C.$5$
D.$8$

3.B 由题中图象可知当抛物线 $ y=a(x-m)^2 +n $ 过点 $ A $ 时,其与 $ x $ 轴的交点 $ C $ 的横坐标能取到最小值 $ -6 $,$\therefore 0=a(-6+4)^2 +4 $,$\therefore a=-1 $. 当抛物线 $ y=-(x-m)^2 +n $ 过点 $ B $ 时,其与 $ x $ 轴的交点 $ D $ 的横坐标能取到最大值,$\therefore 0=-(x+1)^2 +4 $,$\therefore x_1=1 $,$x_2=-3 $,$\therefore$ 点 $ D $ 的横坐标最大值为1.

4.已知$\mathrm{Rt}△ ABC$的顶点坐标为$A(1,2),B(2,2),C(2,1)$，若抛物线$y=ax^2(a＞0)$与该直角三角形无公共点，则$a$的取值范围是 ()

A.$a＞2$
B.$a＜2$
C.$0＜a＜\frac{1}{4}$
D.$a＞2$或$0＜a＜\frac{1}{4}$

4.D 解题思路:分别求出抛物线 $ y=ax^2 $ 经过点 $ A $ 与点 $ C $ 时 $ a $ 的值,然后根据 $ |a| $ 越大,开口越小, $ |a| $ 越小,开口越大,判断 $ a $ 的取值范围.
如图,若抛物线 $ y=ax^2 $ 经过点 $ A $,则 $ a=2 $,所以当 $ a＞2 $ 时,抛物线 $ y=ax^2 $ 与该直角三角形无公共点;若抛物线 $ y=ax^2 $ 经过点 $ C $,则 $ 4a=1 $,解得 $ a=\frac{1}{4} $,所以当 $ 0＜a＜\frac{1}{4} $ 时,抛物线 $ y=ax^2 $ 与该直角三角形无公共点. 综上,$a$ 的取值范围是 $ a＞2 $ 或 $ 0＜a＜\frac{1}{4} $.