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1.如图,要使$△ ACD ∽ △ ABC$,则需添加的条件是（
A.$\frac{AD}{CD}=\frac{AB}{BD}$
B.$\frac{AC}{CD}=\frac{AB}{BC}$
C.$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$
D.$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{AD}$
（第1题图）
（第2题图）
C
）A.$\frac{AD}{CD}=\frac{AB}{BD}$
B.$\frac{AC}{CD}=\frac{AB}{BC}$
C.$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$
D.$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{AD}$
（第1题图）
（第2题图）
答案
1.C
解析
【分析】
要判定△ACD∽△ABC，首先观察两个三角形的公共角：∠A是两个三角形共有的内角，已经满足一组角相等。根据相似三角形的判定定理2（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似），接下来只需要让夹公共角∠A的两组边对应成比例即可。我们先分别确定两个三角形中夹∠A的边：△ACD中夹∠A的边是AD和AC，△ABC中夹∠A的边是AC和AB，据此列出比例式再匹配选项即可得到答案。
【解析】
第一步：找相等的角
∠A是△ACD和△ABC的公共角，因此$∠ A = ∠ A$。
第二步：结合判定定理列比例式
根据相似三角形判定定理2，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，因此需要夹∠A的两组边对应成比例：
△ACD中∠A的两条邻边为$AD$、$AC$，△ABC中∠A的两条邻边为$AC$、$AB$，因此需满足$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$。
第三步：匹配选项
该比例式对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.相似三角形的判定
2.公共角的性质
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础题型，解题核心是先确定两个三角形的公共角，再根据判定定理准确识别夹角对应的两组边，避免对应边混淆即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判定△ACD∽△ABC，首先观察两个三角形的公共角：∠A是两个三角形共有的内角，已经满足一组角相等。根据相似三角形的判定定理2（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似），接下来只需要让夹公共角∠A的两组边对应成比例即可。我们先分别确定两个三角形中夹∠A的边：△ACD中夹∠A的边是AD和AC，△ABC中夹∠A的边是AC和AB，据此列出比例式再匹配选项即可得到答案。
【解析】
第一步：找相等的角
∠A是△ACD和△ABC的公共角，因此$∠ A = ∠ A$。
第二步：结合判定定理列比例式
根据相似三角形判定定理2，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，因此需要夹∠A的两组边对应成比例：
△ACD中∠A的两条邻边为$AD$、$AC$，△ABC中∠A的两条邻边为$AC$、$AB$，因此需满足$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$。
第三步：匹配选项
该比例式对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.相似三角形的判定
2.公共角的性质
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础题型，解题核心是先确定两个三角形的公共角，再根据判定定理准确识别夹角对应的两组边，避免对应边混淆即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2.如图，已知△ABC，则下列四个三角形中，与△ABC相似的是（
D
）答案
2.D
解析
【分析】
要判断哪个三角形和△ABC相似，我们可以用相似三角形的判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。首先先分析原△ABC的特征：△ABC是等腰三角形，两条腰长度相等，所以腰的比为1:1，两腰的夹角（顶角）为100°，两个底角均为40°。接下来我们只需要找满足两边对应成比例且夹角（顶角）为100°的三角形即可。
【解析】
首先观察△ABC：△ABC为等腰三角形，两腰相等，因此两腰的比为1:1，两腰的夹角即顶角∠A=180°-2×40°=100°。
根据相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，我们逐一分析选项：
A选项：等腰三角形顶角为80°，夹角和△ABC的100°不相等，不相似；
B选项：等腰三角形顶角为40°，夹角不相等，不相似；
C选项：两边比不是1:1，且夹角为40°，不满足条件，不相似；
D选项：等腰三角形顶角为100°，两腰比为1:1，满足两边对应成比例且夹角相等，因此与△ABC相似。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定定理2
【点评】
本题主要考查相似三角形判定定理2的应用，解题时要注意找准对应边的比例和对应的夹角，避免混淆夹角和底角而出错。
【难度系数】
0.7
要判断哪个三角形和△ABC相似，我们可以用相似三角形的判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。首先先分析原△ABC的特征：△ABC是等腰三角形，两条腰长度相等，所以腰的比为1:1，两腰的夹角（顶角）为100°，两个底角均为40°。接下来我们只需要找满足两边对应成比例且夹角（顶角）为100°的三角形即可。
【解析】
首先观察△ABC：△ABC为等腰三角形，两腰相等，因此两腰的比为1:1，两腰的夹角即顶角∠A=180°-2×40°=100°。
根据相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，我们逐一分析选项：
A选项：等腰三角形顶角为80°，夹角和△ABC的100°不相等，不相似；
B选项：等腰三角形顶角为40°，夹角不相等，不相似；
C选项：两边比不是1:1，且夹角为40°，不满足条件，不相似；
D选项：等腰三角形顶角为100°，两腰比为1:1，满足两边对应成比例且夹角相等，因此与△ABC相似。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定定理2
【点评】
本题主要考查相似三角形判定定理2的应用，解题时要注意找准对应边的比例和对应的夹角，避免混淆夹角和底角而出错。
【难度系数】
0.7
3. 生产工具情境化 用卡钳测量容器内径的示意图如图所示，现量得卡钳上A，D两个端点之间的距离为5 cm，$\frac{AO}{BO}=\frac{DO}{CO}=\frac{1}{2}$，则容器的内径BC的长为（
A.5 cm
B.8 cm
C.10 cm
D.12 cm
C
）A.5 cm
B.8 cm
C.10 cm
D.12 cm
答案
3.C
解析
【分析】
首先观察图形可得∠AOD与∠BOC是对顶角，二者大小相等；题目给出两组对应边的比值相等，且相等的角恰好是这两组对应边的夹角，符合相似三角形判定定理2的条件，可先证明△AOD与△BOC相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，结合已知AD的长度，即可求出BC的长度。
【解析】
解：
∵∠AOD和∠BOC是对顶角，
∴∠AOD=∠BOC，
又
∵$\frac{AO}{BO}=\frac{DO}{CO}=\frac{1}{2}$，
∴△AOD∽△BOC（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AD}{BC}=\frac{AO}{BO}=\frac{1}{2}$，
将AD=5cm代入得$\frac{5}{BC}=\frac{1}{2}$，
解得BC=10cm。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、对顶角的性质
【点评】
本题结合实际测量容器内径的生活情境，考查相似三角形的实际应用，解题核心是根据已知的边的比例关系和对顶角相等判定三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例求解未知边长，能有效考查学生对知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.8
首先观察图形可得∠AOD与∠BOC是对顶角，二者大小相等；题目给出两组对应边的比值相等，且相等的角恰好是这两组对应边的夹角，符合相似三角形判定定理2的条件，可先证明△AOD与△BOC相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，结合已知AD的长度，即可求出BC的长度。
【解析】
解：
∵∠AOD和∠BOC是对顶角，
∴∠AOD=∠BOC，
又
∵$\frac{AO}{BO}=\frac{DO}{CO}=\frac{1}{2}$，
∴△AOD∽△BOC（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AD}{BC}=\frac{AO}{BO}=\frac{1}{2}$，
将AD=5cm代入得$\frac{5}{BC}=\frac{1}{2}$，
解得BC=10cm。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、对顶角的性质
【点评】
本题结合实际测量容器内径的生活情境，考查相似三角形的实际应用，解题核心是根据已知的边的比例关系和对顶角相等判定三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例求解未知边长，能有效考查学生对知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.8
4.如图,在$□ ABCD$中,$AB=10$,$AD=6$,$E$是$AD$的中点.在$AB$上取一点$F$,使$△ CBF ∽ △ CDE$,则$BF$的长是
1.8
.答案
4.1.8
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以结合平行四边形性质和相似三角形的性质逐步推导：第一步，利用平行四边形对边相等的性质，求出△CDE和△CBF的已知边长；第二步，根据E是AD中点求出DE的长度；第三步，根据相似三角形对应边成比例的性质，结合对应顶点的对应关系列比例式，代入数值计算即可得到BF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD = AB = 10，BC = AD = 6，
∵E是AD的中点，
∴DE = $\frac{1}{2}$AD = $\frac{1}{2}×6=3$，
∵△CBF ∽ △CDE，
∴$\frac{CB}{CD}=\frac{BF}{DE}$，
将CB=6，CD=10，DE=3代入得：
$\frac{6}{10}=\frac{BF}{3}$，
解得：BF = $\frac{6×3}{10}=1.8$。
【答案】
1.8
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的性质；线段中点的定义
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是准确匹配相似三角形的对应边，避免对应关系混淆出错，同时要熟练掌握平行四边形、相似三角形的基础性质。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以结合平行四边形性质和相似三角形的性质逐步推导：第一步，利用平行四边形对边相等的性质，求出△CDE和△CBF的已知边长；第二步，根据E是AD中点求出DE的长度；第三步，根据相似三角形对应边成比例的性质，结合对应顶点的对应关系列比例式，代入数值计算即可得到BF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD = AB = 10，BC = AD = 6，
∵E是AD的中点，
∴DE = $\frac{1}{2}$AD = $\frac{1}{2}×6=3$，
∵△CBF ∽ △CDE，
∴$\frac{CB}{CD}=\frac{BF}{DE}$，
将CB=6，CD=10，DE=3代入得：
$\frac{6}{10}=\frac{BF}{3}$，
解得：BF = $\frac{6×3}{10}=1.8$。
【答案】
1.8
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的性质；线段中点的定义
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是准确匹配相似三角形的对应边，避免对应关系混淆出错，同时要熟练掌握平行四边形、相似三角形的基础性质。
【难度系数】
0.7
5.如图,在$△ ABC$中,$∠ B=25°$,AD是BC边上的高,且$AD^2=BD· CD$,则$∠ C$的度数是
65°
.答案
5.65°
解析
【分析】
解题时首先由AD是BC边上的高可得∠ADB=∠CDA=90°，再将已知的乘积式$AD^2=BD·CD$转化为比例式，结合两边对应成比例且夹角相等可判定$△ ABD$与$△ CAD$相似，进而得到对应角相等，最后利用直角三角形两锐角互余即可求出$∠ C$的度数。
【解析】
∵AD是BC边上的高，
∴$∠ ADB=∠ CDA=90°$，
∵$AD^2=BD·CD$，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{CD}{AD}$，
在$△ ABD$和$△ CAD$中：
$\begin{cases}\frac{AD}{BD}=\frac{CD}{AD}\\∠ ADB=∠ CDA=90°\end{cases}$
∴$△ ABD ∽ △ CAD$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴$∠ B=∠ CAD=25°$，
在$Rt△ ADC$中，$∠ C+∠ CAD=90°$，
∴$∠ C=90°-25°=65°$。
【答案】
$65°$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础计算题，解题的突破口是将乘积式转化为比例式，结合直角相等判定三角形相似，再结合直角三角形的性质计算角度，解题时要注意相似三角形对应角的对应关系不要混淆。
【难度系数】
0.7
解题时首先由AD是BC边上的高可得∠ADB=∠CDA=90°，再将已知的乘积式$AD^2=BD·CD$转化为比例式，结合两边对应成比例且夹角相等可判定$△ ABD$与$△ CAD$相似，进而得到对应角相等，最后利用直角三角形两锐角互余即可求出$∠ C$的度数。
【解析】
∵AD是BC边上的高，
∴$∠ ADB=∠ CDA=90°$，
∵$AD^2=BD·CD$，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{CD}{AD}$，
在$△ ABD$和$△ CAD$中：
$\begin{cases}\frac{AD}{BD}=\frac{CD}{AD}\\∠ ADB=∠ CDA=90°\end{cases}$
∴$△ ABD ∽ △ CAD$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴$∠ B=∠ CAD=25°$，
在$Rt△ ADC$中，$∠ C+∠ CAD=90°$，
∴$∠ C=90°-25°=65°$。
【答案】
$65°$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础计算题，解题的突破口是将乘积式转化为比例式，结合直角相等判定三角形相似，再结合直角三角形的性质计算角度，解题时要注意相似三角形对应角的对应关系不要混淆。
【难度系数】
0.7
6.(淮北期末)如图,在$△ ABC$和$△ AED$中,$AB· AD=AC· AE,∠ BAD=∠ CAE$.求证:$△ ABC∽△ AED$.
答案
证明:$\because AB · AD=AC · AE, \therefore \frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}. \because ∠ BAD=∠ CAE, \therefore ∠ BAD+∠ DAC=∠ CAE+∠ DAC$,即$∠ BAC=∠ EAD.$
$\therefore △ ABC ∽ △ AED.$
$\therefore △ ABC ∽ △ AED.$
解析
【分析】
要证明△ABC∽△AED，可使用相似三角形的判定定理（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）推导。首先将已知的乘积式AB·AD=AC·AE转化为两个三角形对应边的比例式，再结合∠BAD=∠CAE的条件，给两个等角同时加上公共角∠DAC，即可得到两个三角形的对应夹角∠BAC=∠EAD，最后结合边成比例、夹角相等的条件即可完成证明。
【解析】
证明：
$\because AB · AD=AC · AE$，根据比例的基本性质，可得$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$。
$\because ∠ BAD=∠ CAE$，等式两边同时加上∠DAC，可得$∠ BAD+∠ DAC=∠ CAE+∠ DAC$，即$∠ BAC=∠ EAD$。
根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ ABC ∽ △ AED$。
【答案】
证明:$\because AB · AD=AC · AE, \therefore \frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}. \because ∠ BAD=∠ CAE, \therefore ∠ BAD+∠ DAC=∠ CAE+∠ DAC$,即$∠ BAC=∠ EAD.$$\therefore △ ABC ∽ △ AED.$
【知识点】
相似三角形判定、比例的性质、角的和差运算
【点评】
本题是相似三角形判定的常规基础题，重点考察乘积式与比例式的转化、对应夹角的推导，只要熟练掌握相似判定定理和基础的代数、角运算就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
要证明△ABC∽△AED，可使用相似三角形的判定定理（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）推导。首先将已知的乘积式AB·AD=AC·AE转化为两个三角形对应边的比例式，再结合∠BAD=∠CAE的条件，给两个等角同时加上公共角∠DAC，即可得到两个三角形的对应夹角∠BAC=∠EAD，最后结合边成比例、夹角相等的条件即可完成证明。
【解析】
证明：
$\because AB · AD=AC · AE$，根据比例的基本性质，可得$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$。
$\because ∠ BAD=∠ CAE$，等式两边同时加上∠DAC，可得$∠ BAD+∠ DAC=∠ CAE+∠ DAC$，即$∠ BAC=∠ EAD$。
根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ ABC ∽ △ AED$。
【答案】
证明:$\because AB · AD=AC · AE, \therefore \frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}. \because ∠ BAD=∠ CAE, \therefore ∠ BAD+∠ DAC=∠ CAE+∠ DAC$,即$∠ BAC=∠ EAD.$$\therefore △ ABC ∽ △ AED.$
【知识点】
相似三角形判定、比例的性质、角的和差运算
【点评】
本题是相似三角形判定的常规基础题，重点考察乘积式与比例式的转化、对应夹角的推导，只要熟练掌握相似判定定理和基础的代数、角运算就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
7.(教材P92习题T6变式)(界首期末)如图,点C,D在线段AB上,△CDP是等边三角形,且AC=2,CD=3,BD=$\frac{9}{2}$.求证:△ACP∽△PDB.
答案
证明:$\because △ CDP$是等边三角形,$\therefore PC=PD=CD=3, ∠ PCD=∠ PDC=60°, \therefore ∠ ACP=180°-∠ PCD=120°, ∠ PDB=180°-∠ PDC=120°. \therefore ∠ ACP=∠ PDB. \because \frac{AC}{PD}=\frac{2}{3}, \frac{PC}{BD}=\frac{3}{\frac{9}{2}}=\frac{2}{3}, \therefore \frac{AC}{PD}=\frac{PC}{BD}. \therefore △ ACP ∽ △ PDB.$
解析
【分析】
要证明△ACP∽△PDB，可使用相似三角形判定定理2（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）推导：第一步，先利用等边三角形的性质，得到PC、PD的长度，以及∠PCD、∠PDC的度数，进而推出△ACP和△PDB的一组对应角∠ACP与∠PDB相等；第二步，计算两组对应边AC与PD、PC与BD的比值，验证比值是否相等；满足夹角相等且两边对应成比例，即可证明两个三角形相似。
【解析】
证明：
∵△CDP是等边三角形，
∴PC=PD=CD=3，∠PCD=∠PDC=60°，
∴∠ACP=180°-∠PCD=120°，∠PDB=180°-∠PDC=120°，
∴∠ACP=∠PDB，
∵$\frac{AC}{PD}=\frac{2}{3}$，$\frac{PC}{BD}=\frac{3}{\frac{9}{2}}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AC}{PD}=\frac{PC}{BD}$，
∴△ACP∽△PDB。
【答案】
证明:$\because △ CDP$是等边三角形,$\therefore PC=PD=CD=3, ∠ PCD=∠ PDC=60°, \therefore ∠ ACP=180°-∠ PCD=120°, ∠ PDB=180°-∠ PDC=120°. \therefore ∠ ACP=∠ PDB. \because \frac{AC}{PD}=\frac{2}{3}, \frac{PC}{BD}=\frac{3}{\frac{9}{2}}=\frac{2}{3}, \therefore \frac{AC}{PD}=\frac{PC}{BD}. \therefore △ ACP ∽ △ PDB.$
【知识点】
等边三角形的性质、相似三角形的判定、邻补角的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础常考题，解题核心是先利用等边三角形的性质得到相等的夹角和对应边长度，再验证两组对应边的比值相等即可完成证明，解题时注意不要混淆对应边。
【难度系数】
0.8
要证明△ACP∽△PDB，可使用相似三角形判定定理2（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）推导：第一步，先利用等边三角形的性质，得到PC、PD的长度，以及∠PCD、∠PDC的度数，进而推出△ACP和△PDB的一组对应角∠ACP与∠PDB相等；第二步，计算两组对应边AC与PD、PC与BD的比值，验证比值是否相等；满足夹角相等且两边对应成比例，即可证明两个三角形相似。
【解析】
证明：
∵△CDP是等边三角形，
∴PC=PD=CD=3，∠PCD=∠PDC=60°，
∴∠ACP=180°-∠PCD=120°，∠PDB=180°-∠PDC=120°，
∴∠ACP=∠PDB，
∵$\frac{AC}{PD}=\frac{2}{3}$，$\frac{PC}{BD}=\frac{3}{\frac{9}{2}}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AC}{PD}=\frac{PC}{BD}$，
∴△ACP∽△PDB。
【答案】
证明:$\because △ CDP$是等边三角形,$\therefore PC=PD=CD=3, ∠ PCD=∠ PDC=60°, \therefore ∠ ACP=180°-∠ PCD=120°, ∠ PDB=180°-∠ PDC=120°. \therefore ∠ ACP=∠ PDB. \because \frac{AC}{PD}=\frac{2}{3}, \frac{PC}{BD}=\frac{3}{\frac{9}{2}}=\frac{2}{3}, \therefore \frac{AC}{PD}=\frac{PC}{BD}. \therefore △ ACP ∽ △ PDB.$
【知识点】
等边三角形的性质、相似三角形的判定、邻补角的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础常考题，解题核心是先利用等边三角形的性质得到相等的夹角和对应边长度，再验证两组对应边的比值相等即可完成证明，解题时注意不要混淆对应边。
【难度系数】
0.8
