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8. 如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且将这个四边形分成①②③④四个三角形.若$OA:OC=OB:OD$,则下列结论一定正确的是 (
A.①与②相似
B.①与③相似
C.①与④相似
D.②与④相似
B
)A.①与②相似
B.①与③相似
C.①与④相似
D.②与④相似
答案
8.B
解析
【分析】
解题时首先回忆相似三角形的判定定理，题目给出了两组边的比例关系，首先找到这两组边所在的三角形，再看两组边的夹角是否相等：已知OA:OC=OB:OD，OA、OB是△AOB（即①）的两条边，OC、OD是△COD（即③）的两条边，它们的夹角∠AOB和∠COD是对顶角，天然相等，刚好符合“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定条件，再逐一排查其余选项即可得到答案。
【解析】
解：已知$OA:OC=OB:OD$，
∵∠AOB与∠COD是对顶角，
∴$∠ AOB=∠ COD$。
根据相似三角形判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ AOB ∽ △ COD$，即①与③相似。
其余选项中的三角形均不满足相似三角形的判定条件，故排除A、C、D。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
对顶角相等；相似三角形的判定
【点评】
本题属于基础类考题，核心考查相似三角形的判定方法，解题时要注意挖掘题目中隐含的对顶角相等的条件，准确对应两个三角形的成比例边与夹角，避免因对应关系搞错选错答案。
【难度系数】
0.75
解题时首先回忆相似三角形的判定定理，题目给出了两组边的比例关系，首先找到这两组边所在的三角形，再看两组边的夹角是否相等：已知OA:OC=OB:OD，OA、OB是△AOB（即①）的两条边，OC、OD是△COD（即③）的两条边，它们的夹角∠AOB和∠COD是对顶角，天然相等，刚好符合“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定条件，再逐一排查其余选项即可得到答案。
【解析】
解：已知$OA:OC=OB:OD$，
∵∠AOB与∠COD是对顶角，
∴$∠ AOB=∠ COD$。
根据相似三角形判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ AOB ∽ △ COD$，即①与③相似。
其余选项中的三角形均不满足相似三角形的判定条件，故排除A、C、D。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
对顶角相等；相似三角形的判定
【点评】
本题属于基础类考题，核心考查相似三角形的判定方法，解题时要注意挖掘题目中隐含的对顶角相等的条件，准确对应两个三角形的成比例边与夹角，避免因对应关系搞错选错答案。
【难度系数】
0.75
9.在三角形纸片ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，则下列沿虚线剪下的阴影部分的三角形与△ABC相似的是（
B
）答案
9.B
解析
【分析】
本题考查相似三角形的判定定理2（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）的应用。解题思路如下：首先明确△ABC的各边长度，再逐个分析选项中阴影三角形与△ABC的公共角，随后验证夹该公共角的两组对应边是否成比例，若比例相等则两个三角形相似，否则不相似。
【解析】
已知在△ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，逐个分析选项：
选项A：阴影三角形与△ABC共享公共角∠B。△ABC中夹∠B的两边为AB=9、BC=12；阴影三角形中夹∠B的两边长为6（在AB边上）、12（BC边）。计算比例：$\frac{6}{AB}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$，$\frac{BC}{BC}=1$，$\frac{2}{3}≠1$，两边比例不相等，故不相似，A错误。
选项B：阴影三角形与△ABC共享公共角∠A。△ABC中夹∠A的两边为AB=9、AC=6；阴影三角形中夹∠A的两边长为4（在AB边上）、AC=6。计算比例：$\frac{4}{AC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，$\frac{AC}{AB}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$，两组对应边比例相等，且夹角均为∠A，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可知两三角形相似，B正确。
选项C：阴影三角形与△ABC共享公共角∠B。△ABC中夹∠B的两边为AB=9、BC=12；阴影三角形中夹∠B的两边长为4（在BC边上）、AB=9。计算比例：$\frac{4}{AB}=\frac{4}{9}$，$\frac{AB}{BC}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$，$\frac{4}{9}≠\frac{3}{4}$，两边比例不相等，故不相似，C错误。
选项D：阴影三角形与△ABC共享公共角∠C。△ABC中夹∠C的两边为AC=6、BC=12；阴影三角形中夹∠C的两边长为4（在BC边上）、AC=6。计算比例：$\frac{4}{AC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，$\frac{AC}{BC}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}≠\frac{1}{2}$，两边比例不相等，故不相似，D错误。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；公共角性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题，重点考查对“两边成比例且夹角相等”判定定理的掌握程度，解题时要注意找准公共角，不要混淆对应边的比例关系。
【难度系数】
0.7
本题考查相似三角形的判定定理2（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）的应用。解题思路如下：首先明确△ABC的各边长度，再逐个分析选项中阴影三角形与△ABC的公共角，随后验证夹该公共角的两组对应边是否成比例，若比例相等则两个三角形相似，否则不相似。
【解析】
已知在△ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，逐个分析选项：
选项A：阴影三角形与△ABC共享公共角∠B。△ABC中夹∠B的两边为AB=9、BC=12；阴影三角形中夹∠B的两边长为6（在AB边上）、12（BC边）。计算比例：$\frac{6}{AB}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$，$\frac{BC}{BC}=1$，$\frac{2}{3}≠1$，两边比例不相等，故不相似，A错误。
选项B：阴影三角形与△ABC共享公共角∠A。△ABC中夹∠A的两边为AB=9、AC=6；阴影三角形中夹∠A的两边长为4（在AB边上）、AC=6。计算比例：$\frac{4}{AC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，$\frac{AC}{AB}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$，两组对应边比例相等，且夹角均为∠A，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可知两三角形相似，B正确。
选项C：阴影三角形与△ABC共享公共角∠B。△ABC中夹∠B的两边为AB=9、BC=12；阴影三角形中夹∠B的两边长为4（在BC边上）、AB=9。计算比例：$\frac{4}{AB}=\frac{4}{9}$，$\frac{AB}{BC}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$，$\frac{4}{9}≠\frac{3}{4}$，两边比例不相等，故不相似，C错误。
选项D：阴影三角形与△ABC共享公共角∠C。△ABC中夹∠C的两边为AC=6、BC=12；阴影三角形中夹∠C的两边长为4（在BC边上）、AC=6。计算比例：$\frac{4}{AC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，$\frac{AC}{BC}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}≠\frac{1}{2}$，两边比例不相等，故不相似，D错误。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；公共角性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题，重点考查对“两边成比例且夹角相等”判定定理的掌握程度，解题时要注意找准公共角，不要混淆对应边的比例关系。
【难度系数】
0.7
10.如图,在△ABC中,D为BC上一点,BC=$\sqrt{3}$AB=3BD,则$\frac{AD}{AC}$的值为
（第10题图）
（第11题图）
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
.（第10题图）
（第11题图）
答案
10.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
解析
【分析】
要求$\frac{AD}{AC}$的值，可通过证明含AD、AC的两个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例求解。首先根据已知的边的等量关系，计算出△ABD和△CBA两组对应边的比值，再结合公共角∠B证明两个三角形相似，最后利用相似的性质即可得到所求比值。
【解析】
设$BD=x$，
$\because BC=3BD$，$\therefore BC=3x$，
又$\because BC=\sqrt{3}AB$，$\therefore AB=\frac{BC}{\sqrt{3}}=\frac{3x}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}x$，
$\therefore \frac{BD}{AB}=\frac{x}{\sqrt{3}x}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，$\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{3}x}{3x}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，
即$\frac{BD}{AB}=\frac{AB}{BC}$，
又$\because ∠B$是$△ ABD$和$△ CBA$的公共角，
$\therefore △ ABD ∽ △ CBA$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{AB}{BC}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形判定与性质的基础应用题，解题核心是根据已知边的数量关系推导对应边成比例，结合公共角完成相似证明，是相似章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
要求$\frac{AD}{AC}$的值，可通过证明含AD、AC的两个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例求解。首先根据已知的边的等量关系，计算出△ABD和△CBA两组对应边的比值，再结合公共角∠B证明两个三角形相似，最后利用相似的性质即可得到所求比值。
【解析】
设$BD=x$，
$\because BC=3BD$，$\therefore BC=3x$，
又$\because BC=\sqrt{3}AB$，$\therefore AB=\frac{BC}{\sqrt{3}}=\frac{3x}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}x$，
$\therefore \frac{BD}{AB}=\frac{x}{\sqrt{3}x}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，$\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{3}x}{3x}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，
即$\frac{BD}{AB}=\frac{AB}{BC}$，
又$\because ∠B$是$△ ABD$和$△ CBA$的公共角，
$\therefore △ ABD ∽ △ CBA$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{AB}{BC}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形判定与性质的基础应用题，解题核心是根据已知边的数量关系推导对应边成比例，结合公共角完成相似证明，是相似章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
11.如图，在$△ ABC$中，点$D$，$E$，$G$分别在边$AB$，$AC$，$BC$上，$∠ AED=∠ B$，$AG$与$DE$交于点$F$，且$\frac{AD}{AC}=\frac{DF}{CG}$。若$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$，则$\frac{AF}{FG}$的值为
1
。答案
11.1
解析
【分析】
首先利用已知的等角$∠ AED=∠ B$，结合公共角$∠ EAD=∠ BAC$，证明$△ ADE ∽ △ ACB$，得到对应角$∠ ADF=∠ C$；再结合已知的边成比例$\frac{AD}{AC}=\frac{DF}{CG}$，利用两边对应成比例且夹角相等证明$△ ADF ∽ △ ACG$，得到对应边的比例关系，最后推导$\frac{AF}{FG}$的比值。
【解析】
1. 证明$△ ADE ∽ △ ACB$：
$\because ∠ AED=∠ B$，$∠ EAD=∠ BAC$（公共角）
$\therefore △ ADE ∽ △ ACB$（两角分别相等的两个三角形相似）
$\therefore ∠ ADF=∠ C$（相似三角形对应角相等）
2. 证明$△ ADF ∽ △ ACG$：
已知$\frac{AD}{AC}=\frac{DF}{CG}$，且已证$∠ ADF=∠ C$
$\therefore △ ADF ∽ △ ACG$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
$\therefore \frac{AF}{AG}=\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$（相似三角形对应边成比例）
3. 推导$\frac{AF}{FG}$的值：
由$\frac{AF}{AG}=\frac{1}{2}$可得$AG=2AF$，
又$\because AG=AF+FG$，
$\therefore 2AF=AF+FG$，即$AF=FG$，
$\therefore \frac{AF}{FG}=1$。
【答案】
$\boxed{1}$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题考查相似三角形判定与性质的综合应用，解题的核心是先通过两角相等证第一组相似得到等角，再结合边的比例关系证第二组相似，进而得到线段比例关系，需要熟练掌握相似三角形的判定定理，逐步推导即可求解。
【难度系数】
0.7
首先利用已知的等角$∠ AED=∠ B$，结合公共角$∠ EAD=∠ BAC$，证明$△ ADE ∽ △ ACB$，得到对应角$∠ ADF=∠ C$；再结合已知的边成比例$\frac{AD}{AC}=\frac{DF}{CG}$，利用两边对应成比例且夹角相等证明$△ ADF ∽ △ ACG$，得到对应边的比例关系，最后推导$\frac{AF}{FG}$的比值。
【解析】
1. 证明$△ ADE ∽ △ ACB$：
$\because ∠ AED=∠ B$，$∠ EAD=∠ BAC$（公共角）
$\therefore △ ADE ∽ △ ACB$（两角分别相等的两个三角形相似）
$\therefore ∠ ADF=∠ C$（相似三角形对应角相等）
2. 证明$△ ADF ∽ △ ACG$：
已知$\frac{AD}{AC}=\frac{DF}{CG}$，且已证$∠ ADF=∠ C$
$\therefore △ ADF ∽ △ ACG$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
$\therefore \frac{AF}{AG}=\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$（相似三角形对应边成比例）
3. 推导$\frac{AF}{FG}$的值：
由$\frac{AF}{AG}=\frac{1}{2}$可得$AG=2AF$，
又$\because AG=AF+FG$，
$\therefore 2AF=AF+FG$，即$AF=FG$，
$\therefore \frac{AF}{FG}=1$。
【答案】
$\boxed{1}$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题考查相似三角形判定与性质的综合应用，解题的核心是先通过两角相等证第一组相似得到等角，再结合边的比例关系证第二组相似，进而得到线段比例关系，需要熟练掌握相似三角形的判定定理，逐步推导即可求解。
【难度系数】
0.7
12.(合肥期末)如图,在$△ ABC$中,点D在边AB上,点E,F在边AC上,且$DE// BC$, $\frac{AF}{FE}=\frac{AE}{EC}$.
(1)求证:$DF// BE$;
(2)如果$AF=4$,$EF=6$,求AC的值.
(1)求证:$DF// BE$;
(2)如果$AF=4$,$EF=6$,求AC的值.
答案
(1)证明:$\because DE// BC, \therefore \frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}. \because \frac{AF}{FE}=\frac{AE}{EC}, \therefore \frac{AD}{DB}=\frac{AF}{FE}. \therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AF}{AE}. \because ∠ DAF=∠ BAE, \therefore △ ADF ∽ △ ABE. \therefore ∠ ADF=∠ ABE. \therefore DF// BE.$
(2)解:$\because AE=4,EF=6, \therefore AE=AF+EF=10. \because \frac{AE}{EC}=\frac{AF}{FE}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}, \therefore EC=\frac{3}{2}AE=15. \therefore AC=AE+EC=25.$
(2)解:$\because AE=4,EF=6, \therefore AE=AF+EF=10. \because \frac{AE}{EC}=\frac{AF}{FE}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}, \therefore EC=\frac{3}{2}AE=15. \therefore AC=AE+EC=25.$
解析
【分析】
（1）要证$DF// BE$，可通过证明同位角相等推导：首先由$DE// BC$结合平行线分线段成比例定理得到$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，再结合题目给出的$\frac{AF}{FE}=\frac{AE}{EC}$做等量代换，得到$△ ADF$和$△ ABE$的对应边成比例，结合公共角可证两个三角形相似，得到对应同位角相等，即可推出平行。
（2）先由线段和的关系求出$AE$的长度，再利用已知的比例关系$\frac{AF}{FE}=\frac{AE}{EC}$代入数值求出$EC$的长度，最后根据$AC=AE+EC$即可算出结果。
【解析】
(1) 证明：
$\because DE// BC$，根据平行线分线段成比例定理，$\therefore \frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$。
$\because \frac{AF}{FE}=\frac{AE}{EC}$，$\therefore \frac{AD}{DB}=\frac{AF}{FE}$，整理得$\frac{AD}{AB}=\frac{AF}{AE}$。
又$\because ∠ DAF=∠ BAE$（公共角），根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ ADF ∽ △ ABE$。
$\therefore ∠ ADF=∠ ABE$，根据同位角相等，两直线平行，$\therefore DF// BE$。
(2) 解：
已知$AF=4$，$EF=6$，$\therefore AE=AF+EF=4+6=10$。
由题意得$\frac{AE}{EC}=\frac{AF}{FE}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，
$\therefore EC=\frac{3}{2}AE=\frac{3}{2}×10=15$，
$\therefore AC=AE+EC=10+15=25$。
【答案】
(1) $DF// BE$得证；(2) $\boxed{25}$
【知识点】
平行线分线段成比例定理；相似三角形的判定与性质；平行线的判定
【点评】
本题属于相似章节的基础常考题，解题核心是利用平行线性质得到比例关系，再通过等量代换关联待证结论的条件，计算类问题只需代入比例关系求解即可，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
（1）要证$DF// BE$，可通过证明同位角相等推导：首先由$DE// BC$结合平行线分线段成比例定理得到$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，再结合题目给出的$\frac{AF}{FE}=\frac{AE}{EC}$做等量代换，得到$△ ADF$和$△ ABE$的对应边成比例，结合公共角可证两个三角形相似，得到对应同位角相等，即可推出平行。
（2）先由线段和的关系求出$AE$的长度，再利用已知的比例关系$\frac{AF}{FE}=\frac{AE}{EC}$代入数值求出$EC$的长度，最后根据$AC=AE+EC$即可算出结果。
【解析】
(1) 证明：
$\because DE// BC$，根据平行线分线段成比例定理，$\therefore \frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$。
$\because \frac{AF}{FE}=\frac{AE}{EC}$，$\therefore \frac{AD}{DB}=\frac{AF}{FE}$，整理得$\frac{AD}{AB}=\frac{AF}{AE}$。
又$\because ∠ DAF=∠ BAE$（公共角），根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ ADF ∽ △ ABE$。
$\therefore ∠ ADF=∠ ABE$，根据同位角相等，两直线平行，$\therefore DF// BE$。
(2) 解：
已知$AF=4$，$EF=6$，$\therefore AE=AF+EF=4+6=10$。
由题意得$\frac{AE}{EC}=\frac{AF}{FE}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，
$\therefore EC=\frac{3}{2}AE=\frac{3}{2}×10=15$，
$\therefore AC=AE+EC=10+15=25$。
【答案】
(1) $DF// BE$得证；(2) $\boxed{25}$
【知识点】
平行线分线段成比例定理；相似三角形的判定与性质；平行线的判定
【点评】
本题属于相似章节的基础常考题，解题核心是利用平行线性质得到比例关系，再通过等量代换关联待证结论的条件，计算类问题只需代入比例关系求解即可，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
13. 分类讨论 新理念 如图,在钝角三角形ABC中,AB=5 cm,AC=10 cm,动点D从点A出发,运动到点B停止,动点E从点C出发,运动到点A停止,点D运动的速度为1 cm/s,点E运动的速度为2 cm/s.两点同时出发,经过几秒后,以A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似?
答案
解:设经过$x$ s后,以$A,D,E$为顶点的三角形与$△ ABC$相似,则$AD=x$ cm,$CE=2x$ cm.$\therefore AE=(10-2x)$cm. 分两种情况讨论:①若$△ ADE ∽ △ ABC$,则$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}, \therefore \frac{x}{5}=\frac{10-2x}{10}$,解得$x=2.5$;②若$△ ADE ∽ △ ACB$,则$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}, \therefore \frac{x}{10}=\frac{10-2x}{5}$,解得$x=4$. 综上所述,经过$2.5$ s或$4$ s后,以$A,D,E$为顶点的三角形与$△ ABC$相似.
解析
【分析】
这是一道动点引发的相似三角形存在性问题，解题思路如下：1. 两个三角形有公共角∠A，根据相似三角形的判定定理，只要夹∠A的两组边对应成比例即可判定相似；2. 由于相似时对应顶点不明确，需分两种对应情况讨论；3. 先设运动时间为x秒，用含x的代数式表示AD、AE的长度，再根据两种对应关系列比例式求解，最后验证解是否符合动点的运动范围即可。
【解析】
解：设经过$x$ s后，以$A,D,E$为顶点的三角形与$△ ABC$相似。
由题意得：$AD=x$ cm，$CE=2x$ cm，因此$AE=AC-CE=(10-2x)$ cm，且$x$的取值范围为$0\le x\le5$。
分两种情况讨论：
① 若$△ ADE ∽ △ ABC$，此时夹公共角$∠A$的对应边为$AD$对应$AB$，$AE$对应$AC$，可得：
$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$
代入线段长度得：$\frac{x}{5}=\frac{10-2x}{10}$
解得：$x=2.5$，符合取值范围。
② 若$△ ADE ∽ △ ACB$，此时夹公共角$∠A$的对应边为$AD$对应$AC$，$AE$对应$AB$，可得：
$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$
代入线段长度得：$\frac{x}{10}=\frac{10-2x}{5}$
解得：$x=4$，符合取值范围。
综上，经过2.5s或4s时满足条件。
【答案】
经过$\boxed{2.5\ \mathrm{s}}$或$\boxed{4\ \mathrm{s}}$后，以$A,D,E$为顶点的三角形与$△ ABC$相似。
【知识点】
相似三角形的判定、分类讨论思想
【点评】
本题是相似三角形与动点问题结合的典型题型，解题关键是抓住公共角这一隐含条件，结合相似判定定理分情况讨论，解题时要注意避免漏解，同时要验证所求时间是否符合动点的运动范围，排除增根。
【难度系数】
0.6
这是一道动点引发的相似三角形存在性问题，解题思路如下：1. 两个三角形有公共角∠A，根据相似三角形的判定定理，只要夹∠A的两组边对应成比例即可判定相似；2. 由于相似时对应顶点不明确，需分两种对应情况讨论；3. 先设运动时间为x秒，用含x的代数式表示AD、AE的长度，再根据两种对应关系列比例式求解，最后验证解是否符合动点的运动范围即可。
【解析】
解：设经过$x$ s后，以$A,D,E$为顶点的三角形与$△ ABC$相似。
由题意得：$AD=x$ cm，$CE=2x$ cm，因此$AE=AC-CE=(10-2x)$ cm，且$x$的取值范围为$0\le x\le5$。
分两种情况讨论：
① 若$△ ADE ∽ △ ABC$，此时夹公共角$∠A$的对应边为$AD$对应$AB$，$AE$对应$AC$，可得：
$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$
代入线段长度得：$\frac{x}{5}=\frac{10-2x}{10}$
解得：$x=2.5$，符合取值范围。
② 若$△ ADE ∽ △ ACB$，此时夹公共角$∠A$的对应边为$AD$对应$AC$，$AE$对应$AB$，可得：
$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$
代入线段长度得：$\frac{x}{10}=\frac{10-2x}{5}$
解得：$x=4$，符合取值范围。
综上，经过2.5s或4s时满足条件。
【答案】
经过$\boxed{2.5\ \mathrm{s}}$或$\boxed{4\ \mathrm{s}}$后，以$A,D,E$为顶点的三角形与$△ ABC$相似。
【知识点】
相似三角形的判定、分类讨论思想
【点评】
本题是相似三角形与动点问题结合的典型题型，解题关键是抓住公共角这一隐含条件，结合相似判定定理分情况讨论，解题时要注意避免漏解，同时要验证所求时间是否符合动点的运动范围，排除增根。
【难度系数】
0.6
