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1.如图,有一个直角三角形纸板破损了一个角,如果把它补成完整的三角形纸板,需要补的角的度数是（
A.45°
B.35°
C.55°
D.25°
B
）A.45°
B.35°
C.55°
D.25°
答案
1.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确补全后的图形是直角三角形，我们可以利用三角形内角和的性质来计算缺失角的度数。首先回忆三角形内角和为180°，直角三角形有一个内角是90°，已知其中一个锐角是55°，用内角和减去已知的两个角的度数，就能得到需要补的角的度数。
【解析】
根据三角形内角和定理，任意三角形的内角和为180°。
补全后的三角形为直角三角形，因此有一个角为90°，已知另一个锐角为55°，则需要补的角的度数为：
$180° - 90° - 55° = 35°$
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理、直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对三角形内角和以及直角三角形性质的掌握，只要牢记相关定理就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先明确补全后的图形是直角三角形，我们可以利用三角形内角和的性质来计算缺失角的度数。首先回忆三角形内角和为180°，直角三角形有一个内角是90°，已知其中一个锐角是55°，用内角和减去已知的两个角的度数，就能得到需要补的角的度数。
【解析】
根据三角形内角和定理，任意三角形的内角和为180°。
补全后的三角形为直角三角形，因此有一个角为90°，已知另一个锐角为55°，则需要补的角的度数为：
$180° - 90° - 55° = 35°$
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理、直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对三角形内角和以及直角三角形性质的掌握，只要牢记相关定理就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
2.(2025·黔南州模拟)将一个含$30°$角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若$∠ 1=40°$，则$∠ 2$的度数是（
A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
C
）A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
答案
2.C
解析
【分析】
解题时首先利用直尺对边互相平行的性质，将∠1通过平行线的内错角相等的性质转化到和三角板直角相关的位置，再结合直角三角板的直角为90°的特征，利用角的和差关系即可求出∠2的度数。思考步骤：第一步先回忆平行线的性质，找到和∠1相等的角；第二步结合直角三角板的直角，得到两个角的和为90°；第三步代入已知角度计算，等量代换得到∠2的度数。
【解析】
过直角三角板的直角顶点作直尺的平行线，因为直尺的上下两边互相平行，根据平行线的传递性，所作直线与直尺上下两边均平行。
根据“两直线平行，内错角相等”可得：∠1=∠3=40°，∠2=∠4。
已知直角三角板的直角为90°，即∠3+∠4=90°，
代入∠3=40°可得：∠4=90°-40°=50°，
因此∠2=∠4=50°。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；直角三角形的性质；角的和差计算
【点评】
本题属于基础几何题，结合生活常见的直尺和三角板考查几何性质，解题关键是熟练运用平行线的性质转化角度，结合直角的特征进行计算，是平行线和直角三角形性质结合考查的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用直尺对边互相平行的性质，将∠1通过平行线的内错角相等的性质转化到和三角板直角相关的位置，再结合直角三角板的直角为90°的特征，利用角的和差关系即可求出∠2的度数。思考步骤：第一步先回忆平行线的性质，找到和∠1相等的角；第二步结合直角三角板的直角，得到两个角的和为90°；第三步代入已知角度计算，等量代换得到∠2的度数。
【解析】
过直角三角板的直角顶点作直尺的平行线，因为直尺的上下两边互相平行，根据平行线的传递性，所作直线与直尺上下两边均平行。
根据“两直线平行，内错角相等”可得：∠1=∠3=40°，∠2=∠4。
已知直角三角板的直角为90°，即∠3+∠4=90°，
代入∠3=40°可得：∠4=90°-40°=50°，
因此∠2=∠4=50°。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；直角三角形的性质；角的和差计算
【点评】
本题属于基础几何题，结合生活常见的直尺和三角板考查几何性质，解题关键是熟练运用平行线的性质转化角度，结合直角的特征进行计算，是平行线和直角三角形性质结合考查的典型题型。
【难度系数】
0.7
3.(教材P14例3变式)如图，$AB ⊥ BD$，$AC ⊥ CD$，$∠ D = 35°$，则$∠ A$的度数为（
A.$65°$
B.$35°$
C.$55°$
D.$45°$
B
）A.$65°$
B.$35°$
C.$55°$
D.$45°$
答案
3.B
解析
【分析】
首先从已知的垂直条件入手，可得△ABE和△DCE均为直角三角形，根据直角三角形两锐角互余的性质，可知∠A与∠AEB互余、∠D与∠DEC互余；再结合图形中∠AEB和∠DEC是对顶角、二者相等的特点，根据同角的余角相等，即可推出∠A与∠D相等，代入已知∠D的度数就能求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵AB⊥BD，AC⊥CD，
∴∠B=∠C=90°（垂直的定义）。
在Rt△ABE中，∠A + ∠AEB = 90°（直角三角形的两个锐角互余），
在Rt△DCE中，∠D + ∠DEC = 90°（直角三角形的两个锐角互余）。
又
∵∠AEB=∠DEC（对顶角相等），
∴∠A=∠D（同角的余角相等）。
已知∠D=35°，因此∠A=35°。
【答案】
B
【知识点】
1.直角三角形两锐角互余
2.对顶角相等
3.余角的性质
【点评】
本题属于基础几何题，解题的关键是结合图形找到角之间的数量关系，利用直角三角形的性质和余角的性质快速推导，无需复杂计算即可得到答案，有助于巩固直角三角形相关的基础性质。
【难度系数】
0.8
首先从已知的垂直条件入手，可得△ABE和△DCE均为直角三角形，根据直角三角形两锐角互余的性质，可知∠A与∠AEB互余、∠D与∠DEC互余；再结合图形中∠AEB和∠DEC是对顶角、二者相等的特点，根据同角的余角相等，即可推出∠A与∠D相等，代入已知∠D的度数就能求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵AB⊥BD，AC⊥CD，
∴∠B=∠C=90°（垂直的定义）。
在Rt△ABE中，∠A + ∠AEB = 90°（直角三角形的两个锐角互余），
在Rt△DCE中，∠D + ∠DEC = 90°（直角三角形的两个锐角互余）。
又
∵∠AEB=∠DEC（对顶角相等），
∴∠A=∠D（同角的余角相等）。
已知∠D=35°，因此∠A=35°。
【答案】
B
【知识点】
1.直角三角形两锐角互余
2.对顶角相等
3.余角的性质
【点评】
本题属于基础几何题，解题的关键是结合图形找到角之间的数量关系，利用直角三角形的性质和余角的性质快速推导，无需复杂计算即可得到答案，有助于巩固直角三角形相关的基础性质。
【难度系数】
0.8
4. 情境题 中国传统文化《周礼·考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫作宣，一宣半的角叫作欘……”即：1宣 = $\frac{1}{2}$矩，1欘 = $1\frac{1}{2}$宣（1矩 = 90°），问题：图①为中国古代一种强弩图，图②为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A = 1矩，∠B = 1欘，则∠C的度数为
22.5°
。答案
4.22.5°
解析
【分析】
解题时首先要理解题目给出的新角度单位的换算规则，第一步先将“宣”“欘”换算为我们熟悉的角度单位，求出∠A和∠B的具体度数；第二步结合三角形内角和为180°的性质，代入已知角度即可求出∠C的度数。
【解析】
解：根据题意可知：
1矩 = 90°
先计算1宣的度数：$1宣=\frac{1}{2}矩=\frac{1}{2}×90°=45°$
再计算1欘的度数：$1欘=1\frac{1}{2}宣=\frac{3}{2}×45°=67.5°$
由此得：∠A = 1矩 = 90°，∠B = 1欘 = 67.5°
根据三角形内角和为180°，可得：
∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 90° - 67.5° = 22.5°
【答案】
22.5°
【知识点】
角度单位换算；三角形内角和定理
【点评】
本题结合中国传统文化背景考查角度计算，解题关键是正确理解新定义的角度换算规则，再结合基础的几何性质求解，同时考查了学生的阅读理解能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先要理解题目给出的新角度单位的换算规则，第一步先将“宣”“欘”换算为我们熟悉的角度单位，求出∠A和∠B的具体度数；第二步结合三角形内角和为180°的性质，代入已知角度即可求出∠C的度数。
【解析】
解：根据题意可知：
1矩 = 90°
先计算1宣的度数：$1宣=\frac{1}{2}矩=\frac{1}{2}×90°=45°$
再计算1欘的度数：$1欘=1\frac{1}{2}宣=\frac{3}{2}×45°=67.5°$
由此得：∠A = 1矩 = 90°，∠B = 1欘 = 67.5°
根据三角形内角和为180°，可得：
∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 90° - 67.5° = 22.5°
【答案】
22.5°
【知识点】
角度单位换算；三角形内角和定理
【点评】
本题结合中国传统文化背景考查角度计算，解题关键是正确理解新定义的角度换算规则，再结合基础的几何性质求解，同时考查了学生的阅读理解能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
5. 情境题 生活(2024·高安期中)两个长方形的位置如图所示，若∠1=120°，则∠2的度数为
60°
。答案
5.60°
解析
【分析】
解题时首先回忆长方形的性质：长方形的四个内角均为90°。已知∠1的度数，我们可以先通过对顶角相等得到与∠1相等的角，该角位于两个长方形重叠形成的四边形中，这个四边形另外两个内角都是长方形的直角，结合四边形内角和为360°，可算出四边形的第四个内角，再利用对顶角相等就能得到∠2的度数。
【解析】
解：设∠1的对顶角为∠3，根据对顶角相等可得∠3=∠1=120°。
观察两个长方形重叠构成的四边形，其中两个内角均为长方形的内角，大小为90°。
根据四边形内角和为360°，可计算该四边形的第四个内角∠4的度数：
∠4 = 360° - 90° - 90° - ∠3 = 360° - 90° - 90° - 120° = 60°
由于∠4和∠2是对顶角，根据对顶角相等可得∠2=∠4=60°。
【答案】
60°
【知识点】
长方形的性质、对顶角相等、四边形内角和定理
【点评】
本题结合长方形叠放的实际情境考查基础几何定理的应用，解题关键是观察图形梳理清楚角与角之间的关联，熟练掌握常见几何图形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆长方形的性质：长方形的四个内角均为90°。已知∠1的度数，我们可以先通过对顶角相等得到与∠1相等的角，该角位于两个长方形重叠形成的四边形中，这个四边形另外两个内角都是长方形的直角，结合四边形内角和为360°，可算出四边形的第四个内角，再利用对顶角相等就能得到∠2的度数。
【解析】
解：设∠1的对顶角为∠3，根据对顶角相等可得∠3=∠1=120°。
观察两个长方形重叠构成的四边形，其中两个内角均为长方形的内角，大小为90°。
根据四边形内角和为360°，可计算该四边形的第四个内角∠4的度数：
∠4 = 360° - 90° - 90° - ∠3 = 360° - 90° - 90° - 120° = 60°
由于∠4和∠2是对顶角，根据对顶角相等可得∠2=∠4=60°。
【答案】
60°
【知识点】
长方形的性质、对顶角相等、四边形内角和定理
【点评】
本题结合长方形叠放的实际情境考查基础几何定理的应用，解题关键是观察图形梳理清楚角与角之间的关联，熟练掌握常见几何图形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
6.(2025·定西期末)已知在$△ ABC$中，$∠ A = ∠ B - ∠ C$，则$△ ABC$为（
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.以上都有可能
C
）A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.以上都有可能
答案
6.C
解析
【分析】
解决这道题的核心是结合三角形内角和定理与题目给出的角的等量关系，求出其中一个内角的度数，进而判断三角形的类型。首先回忆三角形内角和为180°，再将已知的∠A=∠B-∠C代入内角和公式，消去∠A和∠C，就能求出∠B的度数，根据∠B的度数即可确定三角形的形状。
【解析】
根据三角形内角和定理可知，任意三角形的内角和为180°，因此在△ABC中：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
已知$∠ A = ∠ B - ∠ C$，将其代入上式可得：
$(∠ B - ∠ C) + ∠ B + ∠ C = 180°$
化简后得：$2∠ B = 180°$
解得：$∠ B = 90°$
有一个内角为90°的三角形是直角三角形，因此△ABC为直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，通过代入消元的方法求出特殊角的度数，进而判断三角形的形状。
【难度系数】
0.9
解决这道题的核心是结合三角形内角和定理与题目给出的角的等量关系，求出其中一个内角的度数，进而判断三角形的类型。首先回忆三角形内角和为180°，再将已知的∠A=∠B-∠C代入内角和公式，消去∠A和∠C，就能求出∠B的度数，根据∠B的度数即可确定三角形的形状。
【解析】
根据三角形内角和定理可知，任意三角形的内角和为180°，因此在△ABC中：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
已知$∠ A = ∠ B - ∠ C$，将其代入上式可得：
$(∠ B - ∠ C) + ∠ B + ∠ C = 180°$
化简后得：$2∠ B = 180°$
解得：$∠ B = 90°$
有一个内角为90°的三角形是直角三角形，因此△ABC为直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，通过代入消元的方法求出特殊角的度数，进而判断三角形的形状。
【难度系数】
0.9
7.(2025·滨州期末)下列条件:①$∠ A+∠ B=∠ C$;②$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$;③$∠ A=90°-∠ B$;④$∠ A=∠ B=∠ C$;⑤$∠ A=2∠ B=3∠ C$,其中能确定$△ ABC$是直角三角形的条件有 (
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
C
)A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
答案
7.C
解析
【分析】
本题要求判断给定条件能否确定△ABC是直角三角形，核心依据是三角形内角和为180°，只要能通过条件推导出三角形中有一个内角为90°，即可判定为直角三角形，解题时只需逐个验证每个条件即可。
【解析】
根据三角形内角和定理，任意三角形中$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，逐个分析条件：
①已知$∠ A+∠ B=∠ C$，代入内角和公式得$∠ C+∠ C=180°$，解得$∠ C=90°$，可确定是直角三角形；
②已知$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$，设$∠ A=x$，$∠ B=2x$，$∠ C=3x$，代入得$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$，则$∠ C=3×30°=90°$，可确定是直角三角形；
③已知$∠ A=90°-∠ B$，移项得$∠ A+∠ B=90°$，则$∠ C=180°-(∠ A+∠ B)=90°$，可确定是直角三角形；
④已知$∠ A=∠ B=∠ C$，代入内角和得$3∠ A=180°$，解得$∠ A=∠ B=∠ C=60°$，是等边三角形，不是直角三角形；
⑤已知$∠ A=2∠ B=3∠ C$，设$∠ A=x$，则$∠ B=\frac{x}{2}$，$∠ C=\frac{x}{3}$，代入得$x+\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=180°$，解得$x=\frac{1080°}{11}\approx98.2°≠90°$，不是直角三角形。
综上，能确定是直角三角形的条件有①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
1.三角形内角和定理 2.直角三角形的判定
【点评】
本题考查直角三角形的判定，解题关键是结合三角形内角和定理，将所给角的等量关系转化为单个内角的度数，判断是否存在90°角，计算比例类或多重等量关系的角度时要注意换算准确，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
本题要求判断给定条件能否确定△ABC是直角三角形，核心依据是三角形内角和为180°，只要能通过条件推导出三角形中有一个内角为90°，即可判定为直角三角形，解题时只需逐个验证每个条件即可。
【解析】
根据三角形内角和定理，任意三角形中$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，逐个分析条件：
①已知$∠ A+∠ B=∠ C$，代入内角和公式得$∠ C+∠ C=180°$，解得$∠ C=90°$，可确定是直角三角形；
②已知$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$，设$∠ A=x$，$∠ B=2x$，$∠ C=3x$，代入得$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$，则$∠ C=3×30°=90°$，可确定是直角三角形；
③已知$∠ A=90°-∠ B$，移项得$∠ A+∠ B=90°$，则$∠ C=180°-(∠ A+∠ B)=90°$，可确定是直角三角形；
④已知$∠ A=∠ B=∠ C$，代入内角和得$3∠ A=180°$，解得$∠ A=∠ B=∠ C=60°$，是等边三角形，不是直角三角形；
⑤已知$∠ A=2∠ B=3∠ C$，设$∠ A=x$，则$∠ B=\frac{x}{2}$，$∠ C=\frac{x}{3}$，代入得$x+\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=180°$，解得$x=\frac{1080°}{11}\approx98.2°≠90°$，不是直角三角形。
综上，能确定是直角三角形的条件有①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
1.三角形内角和定理 2.直角三角形的判定
【点评】
本题考查直角三角形的判定，解题关键是结合三角形内角和定理，将所给角的等量关系转化为单个内角的度数，判断是否存在90°角，计算比例类或多重等量关系的角度时要注意换算准确，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
8.(教材 P14 例 3 变式)如图，$CE ⊥ AD$，垂足为$E$，$∠ A = ∠ C$.求证：$△ ABD$是直角三角形.
答案
8.$\because CE ⊥ AD, \therefore ∠ CED = 90°, \therefore ∠ C + ∠ D = 90°$,$\because ∠ A = ∠ C, \therefore ∠ A + ∠ D = 90°, \therefore △ ABD$ 是直角三角形
解析
【分析】
要证明△ABD是直角三角形，可根据“有两个内角互余的三角形是直角三角形”这一判定定理入手推导。首先利用已知CE⊥AD的条件，可得△CED是直角三角形，根据直角三角形的性质可知∠C与∠D互余；再结合给出的∠A=∠C的条件，通过等量代换得到△ABD中∠A与∠D互余，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ CE ⊥ AD，
∴ ∠CED = 90°，
根据直角三角形两锐角互余可得：∠C + ∠D = 90°，
∵ ∠A = ∠C，
通过等量代换可得：∠A + ∠D = 90°，
根据“两锐角互余的三角形是直角三角形”，可判定△ABD是直角三角形。
【答案】
$\because CE ⊥ AD, \therefore ∠ CED = 90°, \therefore ∠ C + ∠ D = 90°$,$\because ∠ A = ∠ C, \therefore ∠ A + ∠ D = 90°, \therefore △ ABD$ 是直角三角形
【知识点】
垂直的定义、直角三角形的性质、直角三角形的判定
【点评】
本题是直角三角形相关性质与判定的基础应用题，解题的关键是从已知的垂直条件出发推导角的数量关系，结合等量代换得到目标三角形的内角特征，注重对基础定理运用能力的考查。
【难度系数】
0.8
要证明△ABD是直角三角形，可根据“有两个内角互余的三角形是直角三角形”这一判定定理入手推导。首先利用已知CE⊥AD的条件，可得△CED是直角三角形，根据直角三角形的性质可知∠C与∠D互余；再结合给出的∠A=∠C的条件，通过等量代换得到△ABD中∠A与∠D互余，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ CE ⊥ AD，
∴ ∠CED = 90°，
根据直角三角形两锐角互余可得：∠C + ∠D = 90°，
∵ ∠A = ∠C，
通过等量代换可得：∠A + ∠D = 90°，
根据“两锐角互余的三角形是直角三角形”，可判定△ABD是直角三角形。
【答案】
$\because CE ⊥ AD, \therefore ∠ CED = 90°, \therefore ∠ C + ∠ D = 90°$,$\because ∠ A = ∠ C, \therefore ∠ A + ∠ D = 90°, \therefore △ ABD$ 是直角三角形
【知识点】
垂直的定义、直角三角形的性质、直角三角形的判定
【点评】
本题是直角三角形相关性质与判定的基础应用题，解题的关键是从已知的垂直条件出发推导角的数量关系，结合等量代换得到目标三角形的内角特征，注重对基础定理运用能力的考查。
【难度系数】
0.8
9. 跨学科 物理 如图,选择适当的方向击打白球,可以使白球反弹后将黑球撞入袋中,此时∠1=∠2,如果∠3=30°,那么∠1应等于
60
度,才能保证黑球能直接入袋,此时∠1与∠3的关系是互余
.答案
9.60 互余
解析
【分析】
解题时首先明确台球桌相邻边框互相垂直，夹角为直角90°，由此可得∠2与∠3的和为90°；再结合题目给出的∠1=∠2的相等关系，代入∠3的度数即可求出∠1的度数，最后根据两角的和判断二者的数量关系。
【解析】
∵台球桌的上边框与右边框互相垂直，
∴∠2 + ∠3 = 90°。
已知∠3=30°，代入得∠2 = 90° - 30° = 60°。
又
∵∠1=∠2，
∴∠1=60°。
此时∠1 + ∠3 = 60° + 30° = 90°，根据互余的定义，可知∠1与∠3互余。
【答案】
60；互余
【知识点】
直角的性质，互余的定义，等量代换
【点评】
本题结合生活中的台球反弹场景考查几何基础概念，解题关键是从实际场景中提炼出垂直、角的等量关系等几何条件，注重考查知识的实际应用能力，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确台球桌相邻边框互相垂直，夹角为直角90°，由此可得∠2与∠3的和为90°；再结合题目给出的∠1=∠2的相等关系，代入∠3的度数即可求出∠1的度数，最后根据两角的和判断二者的数量关系。
【解析】
∵台球桌的上边框与右边框互相垂直，
∴∠2 + ∠3 = 90°。
已知∠3=30°，代入得∠2 = 90° - 30° = 60°。
又
∵∠1=∠2，
∴∠1=60°。
此时∠1 + ∠3 = 60° + 30° = 90°，根据互余的定义，可知∠1与∠3互余。
【答案】
60；互余
【知识点】
直角的性质，互余的定义，等量代换
【点评】
本题结合生活中的台球反弹场景考查几何基础概念，解题关键是从实际场景中提炼出垂直、角的等量关系等几何条件，注重考查知识的实际应用能力，难度较低。
【难度系数】
0.8
