1. [分类讨论思想] 如图，线段AB的长为20 cm，O是线段AB的中点，P，Q是线段AB上的动点，点P沿A→B→A以4 cm/s的速度运动，点Q沿B→A以2 cm/s的速度运动。若P，Q两点同时出发，则当$OP=OQ$时，运动时间为


A.0 s或10 s或$\frac{5}{3}$ s
B.0 s或5 s或$\frac{10}{3}$ s
C.0 s或$\frac{10}{3}$ s或$\frac{20}{3}$ s或10 s
D.0 s或5 s或$\frac{5}{3}$ s或$\frac{10}{3}$ s

1. C 因为线段AB的长为20 cm,O是线段AB的中点，所以$AO=\frac{1}{2}AB=10$ cm. 设运动时间为 t s,则 BQ=2t cm. 所以 AQ=AB-BQ=(20-2t) cm. 所以 OQ=|AQ-AO|=|20-2t-10|=|10-2t| cm. 因为点 P 沿A→B→A 以4 cm/s 的速度运动,所以分两种情况讨论：① 当点 P 沿A→B运动时,点 P 到达点 B 需要的时间为20÷4=5(s). 所以此时 0≤t≤5,AP=4t cm. 所以 OP=|AO-AP|=|10-4t| cm. 因为 OP=OQ,所以 |10-4t|=|10-2t|,所以 10-4t=10-2t 或 10-4t=2t-10,解得 t=0 或 $t=\frac{10}{3}$. ② 当点 P 沿B→A 运动,即 5＜t≤10 时,BP=(4t-20)cm. 所以 AP=AB-BP=20-(4t-20)=(40-4t)cm. 所以 OP=|AP-AO|=|40-4t-10|=|30-4t| cm. 因为 OP=OQ,所以 |30-4t|=|10-2t|. 所以 30-4t=10-2t 或 30-4t=2t-10,解得 t=10 或 $t=\frac{20}{3}$. 综上所述,当 OP=OQ 时,运动时间为 0 s 或$\frac{10}{3}$ s 或$\frac{20}{3}$ s 或 10 s.

2. 整体思想（1）如图，线段CD在线段AB上.若AB=a，CD=b，M为AD的中点，N为CB的中点，求MN的长.
（2）在（1）的条件下，探究：若线段CD在直线AB上向右运动，在运动的过程中，MN的长度是否发生变化？

2. （1）设 MC=x,DN=y. 因为 M 为 AD 的中点,N 为 CB 的中点,所以 AM=b+x,NB=b+y. 因为 AM+MC+CD+DN+BN=AB,所以 x+b+x+b+y+b+y=a,整理得,2x+2y=a-3b. 所以 $x+y=\frac{1}{2}a-\frac{3}{2}b$. 所以 $MN=MC+CD+DN=x+b+y=\frac{1}{2}a-\frac{3}{2}b+b=\frac{1}{2}(a-b)$. （2）不变. 如图,设 MC=x',CN=y'. 因为 M 为 AD 的中点,N 为 CB 的中点,所以 AM=b+x'=DM,CN=NB=y'. 所以 AB=2AM-BD=2(b+x')-(2y'+b)=a. 所以 2(x'-y')=a-b. 所以 $x'-y'=\frac{1}{2}(a-b)$. 所以 $MN=MC-CN=x'-y'=\frac{1}{2}(a-b)$.

3. 如图，线段$AB=24$，动点$P$从点$A$出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线$AB$运动，$M$为$AP$的中点.设点$P$的运动时间为$x$秒.
（1）当$x=5$时，求$BM$的长.
（2）当点$P$在线段$AB$上运动时，$2BM-PB$是定值吗？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由.
（3）当点$P$在射线$AB$上运动时，若$N$为$BP$的中点，求$MN$的长.

3. （1）当x=5时,AP=2×5=10. 因为 M 为 AP 的中点,所以 $AM=\frac{1}{2}AP=5$. 因为 AB=24,所以 BM=AB-AM=24-5=19. 所以 BM 的长为 19. （2）2BM-PB 是定值. 因为 M 为 AP 的中点,所以 AP=2MP. 所以 2BM-PB=2(MP+PB)-PB=2MP+2PB-PB=2MP+PB=AP+PB=AB=24. 所以当点 P 在线段 AB 上运动时,2BM-PB=24,为定值. （3）分两种情况讨论:如图①,当点 P 在线段 AB 上运动时,因为 M 为 AP 的中点,N 为 BP 的中点,所以 $MP=\frac{1}{2}AP$,$NP=\frac{1}{2}BP$. 因为 AB=24,所以 $MN=MP+NP=\frac{1}{2}AP+\frac{1}{2}BP=\frac{1}{2}(AP+BP)=\frac{1}{2}AB=12$. 如图②,当点 P 在线段 AB 的延长线上运动时,因为 M 为 AP 的中点,N 为 BP 的中点,所以 $MP=\frac{1}{2}AP$,$NP=\frac{1}{2}BP$. 因为 AB=24,所以 $MN=MP-NP=\frac{1}{2}AP-\frac{1}{2}BP=\frac{1}{2}(AP-BP)=\frac{1}{2}AB=12$. 综上所述,MN 的长为 12.