4. 如图，$∠ AOB$是直角，$∠ AOC=50°$，射线$OP$从边$OA$出发，绕点$O$逆时针旋转至与边$OB$重合，在旋转过程中，下列情形不可能出现的是（）

A.$OP$平分$∠ AOC$
B.$OP$平分$∠ AOB$
C.$OC$平分$∠ BOP$
D.$OC$平分$∠ AOP$

4. D 当射线 OP 旋转到∠AOP=∠POC 时,OP 平分∠AOC,故选项 A 可能出现,不符合题意;当射线 OP 旋转到∠AOP=∠POB 时,OP 平分∠AOB,故选项 B 可能出现,不符合题意;当射线 OP 旋转到∠BOC=∠POC 时,OC 平分∠BOP,故选项 C 可能出现,不符合题意;因为∠AOC=50°,若∠AOC=∠POC,则∠POC=50°,此时∠AOP=100°. 因为∠AOB 是直角,所以∠AOB=90°. 当射线 OP 与边 OB 重合时,∠AOP=∠AOB=90°,90°＜100°. 所以选项 D 不可能出现,符合题意.

5. 分类讨论思想 如图，点O为模拟钟面的圆心，点M，O，N在一条直线上，指针OA，OB分别从OM，ON同时出发绕点O顺时针转动，OA每秒转动$20°$，OB每秒转动$10°$.设转动时间为t秒，在OB第一次转动到初始位置之前，当t=时，直线MN平分$∠ AOB$.

5. 6或30 当OA第一次转动到ON处之前,∠AOM=(20t)°,∠AON=180°-(20t)°,∠BON=(10t)°. 因为 MN 平分∠AOB,即∠AON=∠BON,所以 180-20t=10t,解得 t=6. 当 OA 与 OB 第一次重合时,20t-10t=180,解得 t=18. 此时 20t=360,则 OA 与 OB 转动到 OM 处重合. 当 OA 从 OM 处继续转动至与 ON 重合前,即 OA 在 MN 上方时,直线 MN 不可能平分∠AOB. 所以当 OA 转动到 MN 下方时,∠BON=180°-10°(t-18),∠AON=20°(t-18)-180°. 因为∠BON=∠AON,所以 180-10(t-18)=20(t-18)-180,解得 t=30. 综上所述,当 t=6 或 30 时,直线 MN 平分∠AOB.

6. 如图，$∠ AOB=120°$，$∠ COD=60°$，$OM$ 在$∠ AOC$内，$ON$ 在$∠ BOD$内，$∠ AOM=\frac{1}{3}∠ AOC$，$∠ BON=\frac{1}{3}∠ BOD$（本题中所有角均大于$0°$且小于或等于$180°$）。
(1) $∠ COD$从图①中的位置绕点$O$逆时针旋转到$OC$与$OB$重合，如图②所示，此时$∠ MON=$$°$。
(2) $∠ COD$从图②中的位置绕点$O$逆时针旋转$n°$（$0＜n＜120$，且$n≠60$），求$∠ MON$的度数。
(3) $∠ COD$从图②中的位置绕点$O$顺时针旋转$n°$（$0＜n＜120$，且$n≠60$），直接写出所有使$∠ MON=2∠ BOC$的$n$的值。

6. （1）100. 因为$∠ AOM=\frac{1}{3}∠ AOC$,所以$∠ MOC=\frac{2}{3}∠ AOC$. 当∠COD 从题图①中的位置绕点 O 逆时针旋转到OC 与 OB 重合时,$∠ MON=∠ MOB+∠ BON=\frac{2}{3}∠ AOC+\frac{1}{3}∠ BOD=\frac{2}{3}×120°+\frac{1}{3}×60°=80°+20°=100°$. （2）① 当 0＜n＜60 时,如图①. 因为∠BOC=n°,所以∠AOC=∠AOB-∠BOC=120°-n°,∠BOD=∠COD-∠BOC=60°-n°. 所以 $∠ MON=∠ MOC+∠ BOC+∠ BON=\frac{2}{3}(120°-n°)+n°+\frac{1}{3}(60°-n°)=100°$. ② 当 60＜n＜120 时,如图②. 因为∠BOC=n°,所以∠AOC=∠AOB-∠BOC=120°-n°,∠BOD=∠BOC-∠DOC=n°-60°. 所以 $∠ MON=∠ MOC+∠ DOC+∠ DON=\frac{2}{3}(120°-n°)+60°+\frac{2}{3}(n°-60°)=100°$. 综上所述,∠MON 的度数为 100°. （3）n 的值为 50 或 70. ① 当 0＜n＜60 时,如图③. 因为∠BOC=n°,所以∠MON=2∠BOC=2n°,∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°+n°,∠BOD=∠BOC+∠DOC=n°+60°. 所以 $∠ MON=∠ MOC+∠ DOC-∠ DON=\frac{2}{3}(120°+n°)+60°-\frac{2}{3}(n°+60°)=100°$. 所以 2n°=100°,解得 n=50. ② 当 60＜n＜120 时,如图④. 因为∠BOC=n°,所以∠MON=2∠BOC=2n°,∠AOC=360°-(∠AOB+∠BOC)=360°-(120°+n°)=240°-n°,∠BOD=∠BOC+∠DOC=n°+60°. 所以 $∠ MON=360°-∠ AOM-∠ AOB-∠ BON=360°-\frac{1}{3}(240°-n°)-120°-\frac{1}{3}(60°+n°)=140°$. 所以 2n°=140°,解得 n=70. 综上所述,n 的值为 50 或 70.