登录
1 下列说法中，正确的是(
A.$\sqrt{14}$是最简二次根式
B.$\sqrt{12}$是最简二次根式
C.$\sqrt{\dfrac{x}{2}}$是最简二次根式
D.$\sqrt{a^2b}$是最简二次根式
A
)。A.$\sqrt{14}$是最简二次根式
B.$\sqrt{12}$是最简二次根式
C.$\sqrt{\dfrac{x}{2}}$是最简二次根式
D.$\sqrt{a^2b}$是最简二次根式
答案
A
解析
【分析】
要判断各选项中的二次根式是否为最简二次根式，首先需明确最简二次根式的两个判定条件：①被开方数的因数是整数、因式是整式（即被开方数不含分母）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时只需用这两个条件逐一验证每个选项即可得出正确答案。
【解析】
根据最简二次根式的定义逐个分析选项：
选项A：$\sqrt{14}$的被开方数14是整数，分解因数得$14=2×7$，不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式。
选项B：$\sqrt{12}$的被开方数$12=4×3$，其中4是能开得尽方的因数，可化简为$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，不是最简二次根式。
选项C：$\sqrt{\dfrac{x}{2}}$的被开方数含有分母2，可化简为$\sqrt{\dfrac{x}{2}}=\dfrac{\sqrt{2x}}{2}$，不是最简二次根式。
选项D：$\sqrt{a^2b}$的被开方数含有能开得尽方的因式$a^2$，可化简为$\sqrt{a^2b}=|a|\sqrt{b}$，不是最简二次根式。
综上只有A选项的说法正确。
【答案】
A
【知识点】
最简二次根式的判定；二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式章节的基础题型，核心考查对最简二次根式判定规则的理解，解题时需同时关注被开方数是否含分母、是否含可开尽方的因数或因式两个要点，避免只检查其中一个条件导致出错。
【难度系数】
0.8
要判断各选项中的二次根式是否为最简二次根式，首先需明确最简二次根式的两个判定条件：①被开方数的因数是整数、因式是整式（即被开方数不含分母）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时只需用这两个条件逐一验证每个选项即可得出正确答案。
【解析】
根据最简二次根式的定义逐个分析选项：
选项A：$\sqrt{14}$的被开方数14是整数，分解因数得$14=2×7$，不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式。
选项B：$\sqrt{12}$的被开方数$12=4×3$，其中4是能开得尽方的因数，可化简为$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，不是最简二次根式。
选项C：$\sqrt{\dfrac{x}{2}}$的被开方数含有分母2，可化简为$\sqrt{\dfrac{x}{2}}=\dfrac{\sqrt{2x}}{2}$，不是最简二次根式。
选项D：$\sqrt{a^2b}$的被开方数含有能开得尽方的因式$a^2$，可化简为$\sqrt{a^2b}=|a|\sqrt{b}$，不是最简二次根式。
综上只有A选项的说法正确。
【答案】
A
【知识点】
最简二次根式的判定；二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式章节的基础题型，核心考查对最简二次根式判定规则的理解，解题时需同时关注被开方数是否含分母、是否含可开尽方的因数或因式两个要点，避免只检查其中一个条件导致出错。
【难度系数】
0.8
② 二次根式 $ a\sqrt{-\dfrac{1}{a}} $ 化简的结果为(
A.$ \sqrt{a} $
B.$ \sqrt{-a} $
C.$ -\sqrt{a} $
D.$ -\sqrt{-a} $
D
)。A.$ \sqrt{a} $
B.$ \sqrt{-a} $
C.$ -\sqrt{a} $
D.$ -\sqrt{-a} $
答案
D [提示:由$\sqrt{-\dfrac{1}{a}}$有意义,可得$a＜0$,所以$a\sqrt{-\dfrac{1}{a}}=-\sqrt{a^2 · (-\dfrac{1}{a})}=-\sqrt{-a}$。]
解析
【分析】
要化简二次根式$a\sqrt{-\dfrac{1}{a}}$，首先需要根据二次根式有意义的条件确定$a$的取值范围：二次根式的被开方数必须是非负数，且分母不为0，由此先判断$a$的正负性；再根据二次根式的性质，将根号外的因式移到根号内时，要保证根号外的符号为正，负数移入根号内需保留负号在根号外，最后结合二次根式的乘法法则计算即可。
【解析】
第一步：确定$a$的取值范围
要使$\sqrt{-\dfrac{1}{a}}$有意义，需满足被开方数非负且分母不为0，即：
$-\dfrac{1}{a}≥0$且$a≠0$，解得$a＜0$。
第二步：化简原式
因为$a＜0$，所以$a=-\sqrt{a^2}$，代入原式得：
$a\sqrt{-\dfrac{1}{a}}=-\sqrt{a^2}·\sqrt{-\dfrac{1}{a}}$
根据二次根式的乘法运算性质$\sqrt{m}·\sqrt{n}=\sqrt{mn}$（$m≥0,n≥0$），合并根号得：
$=-\sqrt{a^2·(-\dfrac{1}{a})}$
计算根号内的式子：$a^2·(-\dfrac{1}{a})=-a$，因此化简结果为：
$=-\sqrt{-a}$
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的性质；二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式化简的典型题，易错点是忽略$a$的正负性，直接将根号外的$a$移入根号内导致符号错误，解题的核心是先确定字母的取值范围，再依据二次根式的性质规范变形。
【难度系数】
0.6
要化简二次根式$a\sqrt{-\dfrac{1}{a}}$，首先需要根据二次根式有意义的条件确定$a$的取值范围：二次根式的被开方数必须是非负数，且分母不为0，由此先判断$a$的正负性；再根据二次根式的性质，将根号外的因式移到根号内时，要保证根号外的符号为正，负数移入根号内需保留负号在根号外，最后结合二次根式的乘法法则计算即可。
【解析】
第一步：确定$a$的取值范围
要使$\sqrt{-\dfrac{1}{a}}$有意义，需满足被开方数非负且分母不为0，即：
$-\dfrac{1}{a}≥0$且$a≠0$，解得$a＜0$。
第二步：化简原式
因为$a＜0$，所以$a=-\sqrt{a^2}$，代入原式得：
$a\sqrt{-\dfrac{1}{a}}=-\sqrt{a^2}·\sqrt{-\dfrac{1}{a}}$
根据二次根式的乘法运算性质$\sqrt{m}·\sqrt{n}=\sqrt{mn}$（$m≥0,n≥0$），合并根号得：
$=-\sqrt{a^2·(-\dfrac{1}{a})}$
计算根号内的式子：$a^2·(-\dfrac{1}{a})=-a$，因此化简结果为：
$=-\sqrt{-a}$
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的性质；二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式化简的典型题，易错点是忽略$a$的正负性，直接将根号外的$a$移入根号内导致符号错误，解题的核心是先确定字母的取值范围，再依据二次根式的性质规范变形。
【难度系数】
0.6
3 下列说法和计算中，正确的是（
A.$2\sqrt{\frac{1}{2}}=2\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}+\sqrt{2}=\sqrt{5}$
C.$\sqrt{a^2 - b^2}$是最简二次根式
D.$(a - 2)·\sqrt{\frac{1}{2 - a}}=\sqrt{2 - a}$
C
）。A.$2\sqrt{\frac{1}{2}}=2\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}+\sqrt{2}=\sqrt{5}$
C.$\sqrt{a^2 - b^2}$是最简二次根式
D.$(a - 2)·\sqrt{\frac{1}{2 - a}}=\sqrt{2 - a}$
答案
C
解析
【分析】
本题考查二次根式的相关概念与运算，解题时需逐个对选项进行判断：首先回忆二次根式化简规则、同类二次根式的合并要求、最简二次根式的判定标准以及二次根式有意义的条件，依次分析每个选项的正误即可。
【解析】
我们逐一判断各选项：
1. 选项A：化简$2\sqrt{\frac{1}{2}}$，$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此$2\sqrt{\frac{1}{2}}=2×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}≠2\sqrt{2}$，故A错误。
2. 选项B：$\sqrt{3}$和$\sqrt{2}$的被开方数不同，不属于同类二次根式，无法直接合并相加，$\sqrt{3}+\sqrt{2}≠\sqrt{5}$，故B错误。
3. 选项C：最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。$\sqrt{a^2 - b^2}$的被开方数$a^2-b^2$可分解为$(a+b)(a-b)$，没有能开得尽方的因式，也不含分母，符合最简二次根式的定义，故C正确。
4. 选项D：要使$\sqrt{\frac{1}{2-a}}$有意义，需$\frac{1}{2-a}＞0$，即$2-a＞0$，因此$a-2＜0$。则$(a-2)\sqrt{\frac{1}{2-a}}=-(2-a)×\frac{1}{\sqrt{2-a}}=-\sqrt{2-a}≠\sqrt{2-a}$，故D错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式化简，同类二次根式，最简二次根式
【点评】
本题属于二次根式的基础综合题，易错点在于化简带负系数的二次根式时容易忽略符号判断，解题时要注意先根据二次根式有意义的条件确定字母的取值范围，再进行化简运算。
【难度系数】
0.6
本题考查二次根式的相关概念与运算，解题时需逐个对选项进行判断：首先回忆二次根式化简规则、同类二次根式的合并要求、最简二次根式的判定标准以及二次根式有意义的条件，依次分析每个选项的正误即可。
【解析】
我们逐一判断各选项：
1. 选项A：化简$2\sqrt{\frac{1}{2}}$，$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此$2\sqrt{\frac{1}{2}}=2×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}≠2\sqrt{2}$，故A错误。
2. 选项B：$\sqrt{3}$和$\sqrt{2}$的被开方数不同，不属于同类二次根式，无法直接合并相加，$\sqrt{3}+\sqrt{2}≠\sqrt{5}$，故B错误。
3. 选项C：最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。$\sqrt{a^2 - b^2}$的被开方数$a^2-b^2$可分解为$(a+b)(a-b)$，没有能开得尽方的因式，也不含分母，符合最简二次根式的定义，故C正确。
4. 选项D：要使$\sqrt{\frac{1}{2-a}}$有意义，需$\frac{1}{2-a}＞0$，即$2-a＞0$，因此$a-2＜0$。则$(a-2)\sqrt{\frac{1}{2-a}}=-(2-a)×\frac{1}{\sqrt{2-a}}=-\sqrt{2-a}≠\sqrt{2-a}$，故D错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式化简，同类二次根式，最简二次根式
【点评】
本题属于二次根式的基础综合题，易错点在于化简带负系数的二次根式时容易忽略符号判断，解题时要注意先根据二次根式有意义的条件确定字母的取值范围，再进行化简运算。
【难度系数】
0.6
④ 在$\sqrt{5ab}$、$\sqrt{0.1}$、$\sqrt{a^2 - b^2}$、$\sqrt{a^2 - 2ab + b^2}$、$\sqrt{\dfrac{x}{2}}$、$\dfrac{\sqrt{x}}{2}$中，最简二次根式是
$\sqrt{5ab}、\sqrt{a^2-b^2}、\dfrac{\sqrt{x}}{2}$
。答案
$\sqrt{5ab}、\sqrt{a^2-b^2}、\dfrac{\sqrt{x}}{2}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确最简二次根式的两个判定条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式（即被开方数不含分母）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。接下来我们逐个对照条件判断给出的式子即可得出结果。
【解析】
我们根据最简二次根式的判定条件逐一分析每个式子：
1. $\sqrt{5ab}$：被开方数$5ab$是整式，且不存在能开得尽方的因数或因式，符合最简二次根式要求；
2. $\sqrt{0.1}$：被开方数$0.1=\frac{1}{10}$，含有分母，不符合要求，可化简为$\frac{\sqrt{10}}{10}$；
3. $\sqrt{a^2 - b^2}$：被开方数因式分解为$(a+b)(a-b)$，是整式且无开得尽方的因式，符合要求；
4. $\sqrt{a^2 - 2ab + b^2}$：被开方数因式分解为$(a-b)^2$，含有能开得尽方的因式，不符合要求，可化简为$|a-b|$；
5. $\sqrt{\dfrac{x}{2}}$：被开方数含有分母2，不符合要求，可化简为$\frac{\sqrt{2x}}{2}$；
6. $\dfrac{\sqrt{x}}{2}$：被开方数为$x$，是整式且无开得尽方的因式，分母在根号外不影响判定，符合要求。
【答案】
$\sqrt{5ab}、\sqrt{a^2-b^2}、\dfrac{\sqrt{x}}{2}$
【知识点】
1. 最简二次根式判定 2. 二次根式化简 3. 因式分解
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是牢记最简二次根式的两个判定条件，判断时要先对被开方数进行因式分解，还要注意区分根号内和根号外的分母，不要出现概念混淆。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确最简二次根式的两个判定条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式（即被开方数不含分母）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。接下来我们逐个对照条件判断给出的式子即可得出结果。
【解析】
我们根据最简二次根式的判定条件逐一分析每个式子：
1. $\sqrt{5ab}$：被开方数$5ab$是整式，且不存在能开得尽方的因数或因式，符合最简二次根式要求；
2. $\sqrt{0.1}$：被开方数$0.1=\frac{1}{10}$，含有分母，不符合要求，可化简为$\frac{\sqrt{10}}{10}$；
3. $\sqrt{a^2 - b^2}$：被开方数因式分解为$(a+b)(a-b)$，是整式且无开得尽方的因式，符合要求；
4. $\sqrt{a^2 - 2ab + b^2}$：被开方数因式分解为$(a-b)^2$，含有能开得尽方的因式，不符合要求，可化简为$|a-b|$；
5. $\sqrt{\dfrac{x}{2}}$：被开方数含有分母2，不符合要求，可化简为$\frac{\sqrt{2x}}{2}$；
6. $\dfrac{\sqrt{x}}{2}$：被开方数为$x$，是整式且无开得尽方的因式，分母在根号外不影响判定，符合要求。
【答案】
$\sqrt{5ab}、\sqrt{a^2-b^2}、\dfrac{\sqrt{x}}{2}$
【知识点】
1. 最简二次根式判定 2. 二次根式化简 3. 因式分解
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是牢记最简二次根式的两个判定条件，判断时要先对被开方数进行因式分解，还要注意区分根号内和根号外的分母，不要出现概念混淆。
【难度系数】
0.7
5 如果$m ＜ 0$，$n ≥ 0$，那么$\sqrt{m^2 n} =$
$-m\sqrt{n}$
。答案
$-m\sqrt{n}$
解析
【分析】
本题考查二次根式的化简，解题思路如下：首先回忆二次根式的两个核心性质：一是$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（成立条件为$a≥0,b≥0$），二是$\sqrt{a^2}=|a|$；再结合题目给出的$m＜0$、$n≥0$的取值条件，先拆分被开方数分别开方，再根据m的符号化简绝对值，即可得到最终结果。
【解析】
解：根据二次根式的运算性质，当被开方数均为非负数时，$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$
$\because m＜0$，$\therefore m^2＞0$，又$\because n≥0$，满足被开方数非负的要求
$\therefore \sqrt{m^2n}=\sqrt{m^2}·\sqrt{n}$
根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得$\sqrt{m^2}=|m|$
$\because m＜0$，负数的绝对值是它的相反数，$\therefore |m|=-m$
将$|m|=-m$代入得：$\sqrt{m^2n}=-m\sqrt{n}$
【答案】
$-m\sqrt{n}$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简
【点评】
本题属于二次根式化简的基础题型，解题核心是结合字母的取值范围正确判断化简后的符号，易错点是忽略$m＜0$的条件，误将$\sqrt{m^2}$化简为$m$，做题时要养成先看字母取值范围再化简的习惯。
【难度系数】
0.7
本题考查二次根式的化简，解题思路如下：首先回忆二次根式的两个核心性质：一是$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（成立条件为$a≥0,b≥0$），二是$\sqrt{a^2}=|a|$；再结合题目给出的$m＜0$、$n≥0$的取值条件，先拆分被开方数分别开方，再根据m的符号化简绝对值，即可得到最终结果。
【解析】
解：根据二次根式的运算性质，当被开方数均为非负数时，$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$
$\because m＜0$，$\therefore m^2＞0$，又$\because n≥0$，满足被开方数非负的要求
$\therefore \sqrt{m^2n}=\sqrt{m^2}·\sqrt{n}$
根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得$\sqrt{m^2}=|m|$
$\because m＜0$，负数的绝对值是它的相反数，$\therefore |m|=-m$
将$|m|=-m$代入得：$\sqrt{m^2n}=-m\sqrt{n}$
【答案】
$-m\sqrt{n}$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简
【点评】
本题属于二次根式化简的基础题型，解题核心是结合字母的取值范围正确判断化简后的符号，易错点是忽略$m＜0$的条件，误将$\sqrt{m^2}$化简为$m$，做题时要养成先看字母取值范围再化简的习惯。
【难度系数】
0.7
6 把下列各式化成最简二次根式：
(1) $\sqrt{8 × 0.64} =$
(2) $\sqrt{\dfrac{27}{196}} =$
(3) $\sqrt{\dfrac{25y^3}{36x^2}} \ (x ＞ 0) =$
(4) $\sqrt{\dfrac{3}{a^2 - 2a + 1}} \ (a ＜ 1) =$
(1) $\sqrt{8 × 0.64} =$
$\dfrac{8\sqrt{2}}{5}$
；(2) $\sqrt{\dfrac{27}{196}} =$
$\dfrac{3\sqrt{3}}{14}$
；(3) $\sqrt{\dfrac{25y^3}{36x^2}} \ (x ＞ 0) =$
$\dfrac{5y}{6x}\sqrt{y}$
；(4) $\sqrt{\dfrac{3}{a^2 - 2a + 1}} \ (a ＜ 1) =$
$\dfrac{\sqrt{3}}{1-a}$
。答案
(1) $\dfrac{8\sqrt{2}}{5}$ (2) $\dfrac{3\sqrt{3}}{14}$ (3) $\dfrac{5y}{6x}\sqrt{y}$ (4) $\dfrac{\sqrt{3}}{1-a}$
解析
【分析】
要把各式化为最简二次根式，需遵循两个原则：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。解题时可利用二次根式的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$、$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a≥0,b＞0)$、$\sqrt{a^2}=|a|$，结合题目给出的字母取值范围去绝对值，逐步化简即可。
【解析】
(1) 化简$\sqrt{8×0.64}$：
拆分被开方数，分离能开得尽方的因数：
$\sqrt{8×0.64}=\sqrt{8}×\sqrt{0.64}=\sqrt{4×2}×0.8=2\sqrt{2}×\frac{4}{5}=\frac{8\sqrt{2}}{5}$
(2) 化简$\sqrt{\frac{27}{196}}$：
分子、分母分别开方：
$\sqrt{\frac{27}{196}}=\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{196}}=\frac{\sqrt{9×3}}{14}=\frac{3\sqrt{3}}{14}$
(3) 化简$\sqrt{\frac{25y^3}{36x^2}} \ (x ＞ 0)$：
由被开方数非负可得$y^3≥0$，即$y≥0$，结合$x＞0$开方：
$\sqrt{\frac{25y^3}{36x^2}}=\frac{\sqrt{25· y^2· y}}{\sqrt{36x^2}}=\frac{5y\sqrt{y}}{6x}$
(4) 化简$\sqrt{\frac{3}{a^2 - 2a + 1}} \ (a ＜ 1)$：
先将分母因式分解为完全平方式：$a^2-2a+1=(a-1)^2$，再开方并结合$a＜1$去绝对值：
$\sqrt{\frac{3}{(a-1)^2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{(a-1)^2}}=\frac{\sqrt{3}}{|a-1|}=\frac{\sqrt{3}}{1-a}$
【答案】
(1) $\dfrac{8\sqrt{2}}{5}$；(2) $\dfrac{3\sqrt{3}}{14}$；(3) $\dfrac{5y}{6x}\sqrt{y}$；(4) $\dfrac{\sqrt{3}}{1-a}$
【知识点】
最简二次根式；二次根式的性质；绝对值化简
【点评】
本题是二次根式化简的基础题，重点考查对最简二次根式定义的理解和二次根式性质的运用，化简带字母的二次根式时，要注意结合给定的取值范围判断因式的正负，准确去掉绝对值符号，避免符号错误。
【难度系数】
0.75
要把各式化为最简二次根式，需遵循两个原则：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。解题时可利用二次根式的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$、$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a≥0,b＞0)$、$\sqrt{a^2}=|a|$，结合题目给出的字母取值范围去绝对值，逐步化简即可。
【解析】
(1) 化简$\sqrt{8×0.64}$：
拆分被开方数，分离能开得尽方的因数：
$\sqrt{8×0.64}=\sqrt{8}×\sqrt{0.64}=\sqrt{4×2}×0.8=2\sqrt{2}×\frac{4}{5}=\frac{8\sqrt{2}}{5}$
(2) 化简$\sqrt{\frac{27}{196}}$：
分子、分母分别开方：
$\sqrt{\frac{27}{196}}=\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{196}}=\frac{\sqrt{9×3}}{14}=\frac{3\sqrt{3}}{14}$
(3) 化简$\sqrt{\frac{25y^3}{36x^2}} \ (x ＞ 0)$：
由被开方数非负可得$y^3≥0$，即$y≥0$，结合$x＞0$开方：
$\sqrt{\frac{25y^3}{36x^2}}=\frac{\sqrt{25· y^2· y}}{\sqrt{36x^2}}=\frac{5y\sqrt{y}}{6x}$
(4) 化简$\sqrt{\frac{3}{a^2 - 2a + 1}} \ (a ＜ 1)$：
先将分母因式分解为完全平方式：$a^2-2a+1=(a-1)^2$，再开方并结合$a＜1$去绝对值：
$\sqrt{\frac{3}{(a-1)^2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{(a-1)^2}}=\frac{\sqrt{3}}{|a-1|}=\frac{\sqrt{3}}{1-a}$
【答案】
(1) $\dfrac{8\sqrt{2}}{5}$；(2) $\dfrac{3\sqrt{3}}{14}$；(3) $\dfrac{5y}{6x}\sqrt{y}$；(4) $\dfrac{\sqrt{3}}{1-a}$
【知识点】
最简二次根式；二次根式的性质；绝对值化简
【点评】
本题是二次根式化简的基础题，重点考查对最简二次根式定义的理解和二次根式性质的运用，化简带字母的二次根式时，要注意结合给定的取值范围判断因式的正负，准确去掉绝对值符号，避免符号错误。
【难度系数】
0.75
7 若a是正整数，$\sqrt{3a+6}$是最简二次根式，则a的最小值为
3
。答案
3
解析
【分析】
解题需先明确最简二次根式的判定条件：被开方数不含能开得尽方的因数或因式，且被开方数的因数是整数。首先对被开方数因式分解得$3a+6=3(a+2)$，因为a是正整数，我们可以从最小的正整数1开始依次代入验证，也可以分析被开方数的因数特征：要让$3(a+2)$没有能开尽方的因数，$a+2$不能含有因数3，也不能含有其他平方因数（如4、9等），据此找到最小的正整数a即可。
【解析】
最简二次根式需满足两个条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
已知a是正整数，即$a≥1$，我们从小到大代入验证：
当$a=1$时，$\sqrt{3×1+6}=\sqrt{9}=3$，不是最简二次根式，不符合要求；
当$a=2$时，$\sqrt{3×2+6}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，不是最简二次根式，不符合要求；
当$a=3$时，$\sqrt{3×3+6}=\sqrt{15}$，$\sqrt{15}$满足最简二次根式的所有条件，符合要求。
因此a的最小值为3。
【答案】
3
【知识点】
最简二次根式的定义，二次根式的化简
【点评】
本题核心考查对最简二次根式概念的掌握，既可以通过从小到大代入正整数验证的方法求解，也可以通过分析被开方数的因数特征快速得到答案，解题时要注意不要忽略被开方数中隐含的平方因数。
【难度系数】
0.7
解题需先明确最简二次根式的判定条件：被开方数不含能开得尽方的因数或因式，且被开方数的因数是整数。首先对被开方数因式分解得$3a+6=3(a+2)$，因为a是正整数，我们可以从最小的正整数1开始依次代入验证，也可以分析被开方数的因数特征：要让$3(a+2)$没有能开尽方的因数，$a+2$不能含有因数3，也不能含有其他平方因数（如4、9等），据此找到最小的正整数a即可。
【解析】
最简二次根式需满足两个条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
已知a是正整数，即$a≥1$，我们从小到大代入验证：
当$a=1$时，$\sqrt{3×1+6}=\sqrt{9}=3$，不是最简二次根式，不符合要求；
当$a=2$时，$\sqrt{3×2+6}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，不是最简二次根式，不符合要求；
当$a=3$时，$\sqrt{3×3+6}=\sqrt{15}$，$\sqrt{15}$满足最简二次根式的所有条件，符合要求。
因此a的最小值为3。
【答案】
3
【知识点】
最简二次根式的定义，二次根式的化简
【点评】
本题核心考查对最简二次根式概念的掌握，既可以通过从小到大代入正整数验证的方法求解，也可以通过分析被开方数的因数特征快速得到答案，解题时要注意不要忽略被开方数中隐含的平方因数。
【难度系数】
0.7
8 如果$\sqrt[n]{m}$和$\sqrt[|m|]{7}$都是最简二次根式，则$m^n$的平方根是
$\pm2$
。答案
$\pm2$
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确最简二次根式的核心要求：一是根指数必须为2，二是被开方数为非负数且不含能开得尽方的因数或因式。解题时先根据两个根式都是二次根式，求出根指数对应的n和|m|的取值，再结合被开方数的非负性确定m的准确值，最后计算mⁿ的平方根即可。
【解析】
解：
∵$\sqrt[n]{m}$是最简二次根式
∴根指数$n=2$，且被开方数$m≥0$，m不含能开得尽方的因数
又
∵$\sqrt[|m|]{7}$是最简二次根式
∴根指数$|m|=2$，解得$m=\pm2$
结合$m≥0$的要求，得$m=2$
将$m=2$，$n=2$代入，得$m^n=2^2=4$
∵4的平方根为$\pm\sqrt{4}=\pm2$
∴$m^n$的平方根是$\pm2$
【答案】
$\pm2$
【知识点】
1. 最简二次根式的定义
2. 二次根式有意义的条件
3. 平方根的计算
【点评】
本题重点考查对最简二次根式概念的掌握，解题的易错点是容易忽略二次根式被开方数需为非负数的要求，误将m取为-2，只要紧扣概念的两个要点就能顺利解题。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先要明确最简二次根式的核心要求：一是根指数必须为2，二是被开方数为非负数且不含能开得尽方的因数或因式。解题时先根据两个根式都是二次根式，求出根指数对应的n和|m|的取值，再结合被开方数的非负性确定m的准确值，最后计算mⁿ的平方根即可。
【解析】
解：
∵$\sqrt[n]{m}$是最简二次根式
∴根指数$n=2$，且被开方数$m≥0$，m不含能开得尽方的因数
又
∵$\sqrt[|m|]{7}$是最简二次根式
∴根指数$|m|=2$，解得$m=\pm2$
结合$m≥0$的要求，得$m=2$
将$m=2$，$n=2$代入，得$m^n=2^2=4$
∵4的平方根为$\pm\sqrt{4}=\pm2$
∴$m^n$的平方根是$\pm2$
【答案】
$\pm2$
【知识点】
1. 最简二次根式的定义
2. 二次根式有意义的条件
3. 平方根的计算
【点评】
本题重点考查对最简二次根式概念的掌握，解题的易错点是容易忽略二次根式被开方数需为非负数的要求，误将m取为-2，只要紧扣概念的两个要点就能顺利解题。
【难度系数】
0.6
9 化简：$(a - b)\sqrt{-\dfrac{1}{a - b}} = \_\_\_\_\_\_$。
答案
$-\sqrt{-a+b}$
解析
【分析】
解题时首先依据二次根式有意义的条件（被开方数为非负数，且分母不为0），先确定$a-b$的正负性；再结合二次根式的性质，将根号外的因式移到根号内，注意负数移入根号时要将负号留在根号外，最后合并化简即可得到结果。
【解析】
要使二次根式$\sqrt{-\dfrac{1}{a-b}}$有意义，需满足：
$-\dfrac{1}{a-b}≥0$且$a-b≠0$，
由此可得$a-b＜0$。
对原式变形：
$\begin{aligned}(a - b)\sqrt{-\dfrac{1}{a - b}}&=-\sqrt{(a-b)^2}·\sqrt{-\dfrac{1}{a-b}}\\&=-\sqrt{(a-b)^2·(-\dfrac{1}{a-b})}\\&=-\sqrt{-(a-b)}\\&=-\sqrt{-a+b}\end{aligned}$
【答案】
$-\sqrt{-a+b}$
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的性质；二次根式化简
【点评】
本题是二次根式化简的典型易错题，解题核心是先判断根号外因式的正负性，切不可直接将根号外的因式平方后移入根号内，忽略符号导致计算错误。
【难度系数】
0.6
解题时首先依据二次根式有意义的条件（被开方数为非负数，且分母不为0），先确定$a-b$的正负性；再结合二次根式的性质，将根号外的因式移到根号内，注意负数移入根号时要将负号留在根号外，最后合并化简即可得到结果。
【解析】
要使二次根式$\sqrt{-\dfrac{1}{a-b}}$有意义，需满足：
$-\dfrac{1}{a-b}≥0$且$a-b≠0$，
由此可得$a-b＜0$。
对原式变形：
$\begin{aligned}(a - b)\sqrt{-\dfrac{1}{a - b}}&=-\sqrt{(a-b)^2}·\sqrt{-\dfrac{1}{a-b}}\\&=-\sqrt{(a-b)^2·(-\dfrac{1}{a-b})}\\&=-\sqrt{-(a-b)}\\&=-\sqrt{-a+b}\end{aligned}$
【答案】
$-\sqrt{-a+b}$
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的性质；二次根式化简
【点评】
本题是二次根式化简的典型易错题，解题核心是先判断根号外因式的正负性，切不可直接将根号外的因式平方后移入根号内，忽略符号导致计算错误。
【难度系数】
0.6
⑩ 在横线上填出一个最简二次根式，使得它与所给二次根式相乘的结果为整式，如：$3\sqrt{2}$与$\underline{\sqrt{2}}$。
(1) $\sqrt{32}$与
(1) $\sqrt{32}$与
$\sqrt{2}$
；(2) $\sqrt{3a}$与$\sqrt{3a}$
；(3) $\sqrt{3a^2}$与$\sqrt{3}$
；(4) $\sqrt{3a^3}$与$\sqrt{3a}$
。答案
(1) $\sqrt{2}$ (2) $\sqrt{3a}$ (3) $\sqrt{3}$ (4) $\sqrt{3a}$（答案不唯一）
解析
【分析】
要找到与所给二次根式相乘结果为整式的最简二次根式，解题思路如下：首先将所给的二次根式化简为最简二次根式，提取出其最简形式中根号下开不尽的因数或因式；其次要让填写的最简二次根式的被开方数，和上述开不尽的部分相乘后为完全平方数或完全平方式，这样二者相乘后根号可完全去掉，结果就是整式，同时要保证填写的根式本身是最简二次根式。
【解析】
(1) 先化简$\sqrt{32}$：$\sqrt{32}=\sqrt{16×2}=4\sqrt{2}$，剩余被开方数为2，取最简二次根式$\sqrt{2}$，二者相乘得$4\sqrt{2}×\sqrt{2}=8$，是整式，故可填$\sqrt{2}$；
(2) $\sqrt{3a}$本身是最简二次根式，被开方数为$3a$，取最简二次根式$\sqrt{3a}$，二者相乘得$\sqrt{3a}×\sqrt{3a}=3a$，是整式，故可填$\sqrt{3a}$；
(3) 先化简$\sqrt{3a^2}$：$\sqrt{3a^2}=\vert a\vert\sqrt{3}$，剩余被开方数为3，取最简二次根式$\sqrt{3}$，二者相乘得$\vert a\vert\sqrt{3}×\sqrt{3}=3\vert a\vert$，是整式，故可填$\sqrt{3}$；
(4) 先化简$\sqrt{3a^3}$：$\sqrt{3a^3}=\sqrt{a^2·3a}=\vert a\vert\sqrt{3a}$，剩余被开方数为$3a$，取最简二次根式$\sqrt{3a}$，二者相乘得$\vert a\vert\sqrt{3a}×\sqrt{3a}=3a\vert a\vert$，是整式，故可填$\sqrt{3a}$。
注：答案不唯一，满足最简且乘积为整式即可。
【答案】
(1) $\sqrt{2}$ (2) $\sqrt{3a}$ (3) $\sqrt{3}$ (4) $\sqrt{3a}$（答案不唯一）
【知识点】
二次根式化简，最简二次根式，二次根式乘法
【点评】
本题考查二次根式相关概念和运算的应用，解题核心是先将已知根式化为最简形式，再补充被开方数使其相乘后为完全平方数（式），需注意填写的结果必须符合最简二次根式的要求。
【难度系数】
0.8
要找到与所给二次根式相乘结果为整式的最简二次根式，解题思路如下：首先将所给的二次根式化简为最简二次根式，提取出其最简形式中根号下开不尽的因数或因式；其次要让填写的最简二次根式的被开方数，和上述开不尽的部分相乘后为完全平方数或完全平方式，这样二者相乘后根号可完全去掉，结果就是整式，同时要保证填写的根式本身是最简二次根式。
【解析】
(1) 先化简$\sqrt{32}$：$\sqrt{32}=\sqrt{16×2}=4\sqrt{2}$，剩余被开方数为2，取最简二次根式$\sqrt{2}$，二者相乘得$4\sqrt{2}×\sqrt{2}=8$，是整式，故可填$\sqrt{2}$；
(2) $\sqrt{3a}$本身是最简二次根式，被开方数为$3a$，取最简二次根式$\sqrt{3a}$，二者相乘得$\sqrt{3a}×\sqrt{3a}=3a$，是整式，故可填$\sqrt{3a}$；
(3) 先化简$\sqrt{3a^2}$：$\sqrt{3a^2}=\vert a\vert\sqrt{3}$，剩余被开方数为3，取最简二次根式$\sqrt{3}$，二者相乘得$\vert a\vert\sqrt{3}×\sqrt{3}=3\vert a\vert$，是整式，故可填$\sqrt{3}$；
(4) 先化简$\sqrt{3a^3}$：$\sqrt{3a^3}=\sqrt{a^2·3a}=\vert a\vert\sqrt{3a}$，剩余被开方数为$3a$，取最简二次根式$\sqrt{3a}$，二者相乘得$\vert a\vert\sqrt{3a}×\sqrt{3a}=3a\vert a\vert$，是整式，故可填$\sqrt{3a}$。
注：答案不唯一，满足最简且乘积为整式即可。
【答案】
(1) $\sqrt{2}$ (2) $\sqrt{3a}$ (3) $\sqrt{3}$ (4) $\sqrt{3a}$（答案不唯一）
【知识点】
二次根式化简，最简二次根式，二次根式乘法
【点评】
本题考查二次根式相关概念和运算的应用，解题核心是先将已知根式化为最简形式，再补充被开方数使其相乘后为完全平方数（式），需注意填写的结果必须符合最简二次根式的要求。
【难度系数】
0.8
