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12 已知$△ ABC$的三边长$a$、$b$、$c$均为整数，且$a$和$b$满足$\sqrt{a-2} + b^2 -6b +9=0$。试求$△ ABC$边$c$的长。
答案
12 由题意可得$\sqrt{a-2}+(b-3)^2=0$,所以$a=2, b=3$。所以$1＜c＜5$,所以$c=2$或3或4。
解析
【分析】
解题首先观察已知等式的结构，等式中包含二次根式和二次多项式，先将关于b的多项式整理成完全平方的形式，再利用“若两个非负数的和为0，则这两个非负数分别为0”的性质，求出a和b的长度；之后根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”得到c的取值范围，最后结合c是整数的条件，筛选出符合要求的c的值。
【解析】
1. 对已知等式变形整理
已知$\sqrt{a-2} + b^2 -6b +9=0$，将$b^2-6b+9$因式分解为完全平方形式，可得：
$\sqrt{a-2} + (b-3)^2 = 0$
2. 利用非负数性质求a、b的值
因为二次根式$\sqrt{a-2} ≥ 0$，完全平方$(b-3)^2 ≥ 0$，两个非负数的和为0，则两个非负数各自为0，即：
$\begin{cases} a-2 = 0 \\ b-3 = 0 \end{cases}$
解得$a=2$，$b=3$
3. 根据三角形三边关系求c的范围
在$△ ABC$中，根据三边关系：两边之差$＜$第三边$＜$两边之和，可得：
$|a - b| ＜ c ＜ a + b$
代入$a=2$、$b=3$计算得：
$|2-3| ＜ c ＜ 2+3$，即$1 ＜ c ＜ 5$
4. 结合c为整数的条件确定取值
因为c是整数，且$1 ＜ c ＜ 5$，所以c的取值为2、3、4。
【答案】
c的长为2或3或4
【知识点】
非负数的性质，三角形三边关系，完全平方公式
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是先通过非负数的性质求出a、b的边长，再结合三角形三边关系和整数的限定条件确定c的取值，注意不要遗漏符合范围的整数解。
【难度系数】
0.7
解题首先观察已知等式的结构，等式中包含二次根式和二次多项式，先将关于b的多项式整理成完全平方的形式，再利用“若两个非负数的和为0，则这两个非负数分别为0”的性质，求出a和b的长度；之后根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”得到c的取值范围，最后结合c是整数的条件，筛选出符合要求的c的值。
【解析】
1. 对已知等式变形整理
已知$\sqrt{a-2} + b^2 -6b +9=0$，将$b^2-6b+9$因式分解为完全平方形式，可得：
$\sqrt{a-2} + (b-3)^2 = 0$
2. 利用非负数性质求a、b的值
因为二次根式$\sqrt{a-2} ≥ 0$，完全平方$(b-3)^2 ≥ 0$，两个非负数的和为0，则两个非负数各自为0，即：
$\begin{cases} a-2 = 0 \\ b-3 = 0 \end{cases}$
解得$a=2$，$b=3$
3. 根据三角形三边关系求c的范围
在$△ ABC$中，根据三边关系：两边之差$＜$第三边$＜$两边之和，可得：
$|a - b| ＜ c ＜ a + b$
代入$a=2$、$b=3$计算得：
$|2-3| ＜ c ＜ 2+3$，即$1 ＜ c ＜ 5$
4. 结合c为整数的条件确定取值
因为c是整数，且$1 ＜ c ＜ 5$，所以c的取值为2、3、4。
【答案】
c的长为2或3或4
【知识点】
非负数的性质，三角形三边关系，完全平方公式
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是先通过非负数的性质求出a、b的边长，再结合三角形三边关系和整数的限定条件确定c的取值，注意不要遗漏符合范围的整数解。
【难度系数】
0.7
13 已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示。
化简：$\sqrt{a^2} - |a + c| + \sqrt{(c - b)^2} - |-b|$
化简：$\sqrt{a^2} - |a + c| + \sqrt{(c - b)^2} - |-b|$
答案
13 因为$a ＜ 0$,所以$\sqrt{a^2}=|a|=-a$。因为$a + c ＜ 0$,所以$|a + c |=-a -c$。因为$c - b ＜ 0$,所以$| c - b |=b - c$。因为$b ＞ 0$,所以$|-b|=b$。所以原式$=-a -(-a -c)+b -c -b=0$。
解析
【分析】
解题时首先根据数轴确定a、b、c的大小关系和正负性：$c＜a＜0＜b$，且$|c|＞|a|$。再回忆二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，先把所有二次根式转化为绝对值形式，接着判断每个绝对值内代数式的正负，根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
由数轴可得：$c ＜ a ＜ 0 ＜ b$，且$|c| ＞ |a|$。
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$和绝对值的性质：
1. 因为$a＜0$，所以$\sqrt{a^2}=|a|=-a$；
2. 因为$a＜0$，$c＜0$，所以$a+c＜0$，因此$|a+c|=-(a+c)=-a-c$；
3. 因为$c ＜ b$，所以$c-b＜0$，因此$\sqrt{(c-b)^2}=|c-b|=b-c$；
4. 因为$b＞0$，所以$|-b|=b$。
将上述结果代入原式：
$\begin{aligned}原式&=-a - (-a -c) + (b - c) - b\\&=-a + a + c + b - c - b\\&=0\end{aligned}$
【答案】
$0$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值化简，数轴的应用
【点评】
本题是代数化简类的常规题型，解题的核心是先结合数轴准确判断各代数式的正负性，再正确运用二次根式和绝对值的性质去符号，计算过程中要注意去括号时的符号变化，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据数轴确定a、b、c的大小关系和正负性：$c＜a＜0＜b$，且$|c|＞|a|$。再回忆二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，先把所有二次根式转化为绝对值形式，接着判断每个绝对值内代数式的正负，根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
由数轴可得：$c ＜ a ＜ 0 ＜ b$，且$|c| ＞ |a|$。
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$和绝对值的性质：
1. 因为$a＜0$，所以$\sqrt{a^2}=|a|=-a$；
2. 因为$a＜0$，$c＜0$，所以$a+c＜0$，因此$|a+c|=-(a+c)=-a-c$；
3. 因为$c ＜ b$，所以$c-b＜0$，因此$\sqrt{(c-b)^2}=|c-b|=b-c$；
4. 因为$b＞0$，所以$|-b|=b$。
将上述结果代入原式：
$\begin{aligned}原式&=-a - (-a -c) + (b - c) - b\\&=-a + a + c + b - c - b\\&=0\end{aligned}$
【答案】
$0$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值化简，数轴的应用
【点评】
本题是代数化简类的常规题型，解题的核心是先结合数轴准确判断各代数式的正负性，再正确运用二次根式和绝对值的性质去符号，计算过程中要注意去括号时的符号变化，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
14 已知实数$a$满足$\sqrt{(3-a)^2} + \sqrt{a-4}=a$，求$a - 3^2$的值是多少？
答案
14 由题意可得$a - 4 ≥ 0$,即$a ≥ 4$,所以$\sqrt{(3-a)^2}=| 3-a |=a-3$。所以$a-3+\sqrt{a-4}=a$,可得$\sqrt{a-4}=3$,解得$a=13$。所以$a - 3^2=13 - 9=4$。
解析
【分析】
解题时首先要抓住二次根式的隐含条件：被开方数必须非负，先确定a的取值范围；再利用二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，结合a的取值范围化简绝对值；将化简后的式子代入原方程，即可求出a的值，最后代入目标式计算结果即可。
【解析】
第一步，确定a的取值范围：
要使$\sqrt{a-4}$有意义，则被开方数$a-4≥0$，解得$a≥4$。
第二步，化简二次根式：
因为$a≥4$，所以$3-a＜0$，根据二次根式的性质可得$\sqrt{(3-a)^2}=|3-a|=a-3$。
第三步，代入原方程求解a：
将$\sqrt{(3-a)^2}=a-3$代入原方程得：
$a-3+\sqrt{a-4}=a$
移项消去等号两侧的a，得$\sqrt{a-4}=3$
两边同时平方得$a-4=9$，解得$a=13$。
第四步，计算目标式的值：
$a-3^2=13-9=4$。
【答案】
4
【知识点】
1.二次根式有意义的条件
2.二次根式的性质
3.绝对值的化简
【点评】
本题是二次根式性质的基础应用题型，解题的核心是先挖掘二次根式被开方数非负的隐含条件，确定参数的取值范围后再去根号、化简绝对值，避免忽略取值范围直接化简导致的错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先要抓住二次根式的隐含条件：被开方数必须非负，先确定a的取值范围；再利用二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，结合a的取值范围化简绝对值；将化简后的式子代入原方程，即可求出a的值，最后代入目标式计算结果即可。
【解析】
第一步，确定a的取值范围：
要使$\sqrt{a-4}$有意义，则被开方数$a-4≥0$，解得$a≥4$。
第二步，化简二次根式：
因为$a≥4$，所以$3-a＜0$，根据二次根式的性质可得$\sqrt{(3-a)^2}=|3-a|=a-3$。
第三步，代入原方程求解a：
将$\sqrt{(3-a)^2}=a-3$代入原方程得：
$a-3+\sqrt{a-4}=a$
移项消去等号两侧的a，得$\sqrt{a-4}=3$
两边同时平方得$a-4=9$，解得$a=13$。
第四步，计算目标式的值：
$a-3^2=13-9=4$。
【答案】
4
【知识点】
1.二次根式有意义的条件
2.二次根式的性质
3.绝对值的化简
【点评】
本题是二次根式性质的基础应用题型，解题的核心是先挖掘二次根式被开方数非负的隐含条件，确定参数的取值范围后再去根号、化简绝对值，避免忽略取值范围直接化简导致的错误。
【难度系数】
0.7
