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1. (十堰中考)“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒.根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒.设每盒售价为x元，日销售量为p盒.
(1)当$x=60$时，$p=$
(2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润$w$(元)最大？最大利润是多少？
(3)小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大.”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价$x$的范围为$60≤x≤80$.”你认为他们的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论.
(1)当$x=60$时，$p=$
400
.(2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润$w$(元)最大？最大利润是多少？
(3)小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大.”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价$x$的范围为$60≤x≤80$.”你认为他们的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论.
答案
(1)400 解析:由题意可得,$p = 500-10(x-50) = -10x+1 000$,即日销售量$p$(盒)与每盒售价$x$(元)之间的函数解析式是$p=-10x+1 000$,当$x=60$时,$p=-10×60+1 000=400(x≥50)$.故答案为400.
(2)由题意可得 $w=(x-40)(-10x+1 000) = -10x^2+1 400x-40 000=-10(x-70)^2+9 000$,由题可知,每盒售价不得少于50元,日销售量不低于350盒,$\therefore \begin{cases} x≥50, \\ p≥350, \end{cases}$即$\begin{cases} x≥50, \\ -10x+1 000≥350, \end{cases}$ 解得$50≤x≤65$,$\therefore$ 当$x=65$时,$w$取得最大值,此时$w=8 750$.
答:当每盒售价定为65元时,日销售利润最大,最大利润是8 750元.
(3)小强的说法正确.理由: $\because 50≤x≤65$,设日销售额为$y$元,$y = xp = x(-10x+1 000) = -10x^2+1 000x = -10(x-50)^2+25 000$,当$x=50$时,$y$的值最大,此时$y=25 000$,当$x=65$时,$w$的值最大,此时$w=8 750$,$\therefore$ 小强的说法正确.
小红的说法错误.理由:当日销售利润不低于8 000元时,即$w≥8 000$,$-10(x-70)^2+9 000≥8 000$,解得$60≤x≤80$.
$\because 50≤x≤65$,$\therefore$ 当日销售利润不低于8 000元时,$60≤x≤65$.故小红的说法错误.正确结论:当日销售利润不低于8 000元时,每盒售价$x$的范围为$60≤x≤65$.
(2)由题意可得 $w=(x-40)(-10x+1 000) = -10x^2+1 400x-40 000=-10(x-70)^2+9 000$,由题可知,每盒售价不得少于50元,日销售量不低于350盒,$\therefore \begin{cases} x≥50, \\ p≥350, \end{cases}$即$\begin{cases} x≥50, \\ -10x+1 000≥350, \end{cases}$ 解得$50≤x≤65$,$\therefore$ 当$x=65$时,$w$取得最大值,此时$w=8 750$.
答:当每盒售价定为65元时,日销售利润最大,最大利润是8 750元.
(3)小强的说法正确.理由: $\because 50≤x≤65$,设日销售额为$y$元,$y = xp = x(-10x+1 000) = -10x^2+1 000x = -10(x-50)^2+25 000$,当$x=50$时,$y$的值最大,此时$y=25 000$,当$x=65$时,$w$的值最大,此时$w=8 750$,$\therefore$ 小强的说法正确.
小红的说法错误.理由:当日销售利润不低于8 000元时,即$w≥8 000$,$-10(x-70)^2+9 000≥8 000$,解得$60≤x≤80$.
$\because 50≤x≤65$,$\therefore$ 当日销售利润不低于8 000元时,$60≤x≤65$.故小红的说法错误.正确结论:当日销售利润不低于8 000元时,每盒售价$x$的范围为$60≤x≤65$.
2. (扬州中考改编)甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租,下面是两公司经理的一段对话:
甲公司经理:如果我公司每辆汽车月租费3000元,那么50辆汽车可以全部租出.如果每辆汽车的月租费每增加50元,那么将少租出1辆汽车.另外,公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元.
乙公司经理:我公司每辆汽车月租费3500元,无论是否租出汽车,公司均需一次性支付月维护费共计1850元.
说明:①汽车数量为整数;②月利润=月租车费-月维护费;③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润.
在两公司租出的汽车数量相等的条件下,根据上述信息,解决下列问题:
(1)当每个公司租出的汽车为10辆时,甲公司的月利润是
(2)求两公司月利润差的最大值.
(3)甲公司热心公益事业,每租出1辆汽车捐出$a(a＞0)$元给慈善机构,如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润,且仅当两公司租出的汽车均为17辆时,甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大,求$a$的取值范围.
甲公司经理:如果我公司每辆汽车月租费3000元,那么50辆汽车可以全部租出.如果每辆汽车的月租费每增加50元,那么将少租出1辆汽车.另外,公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元.
乙公司经理:我公司每辆汽车月租费3500元,无论是否租出汽车,公司均需一次性支付月维护费共计1850元.
说明:①汽车数量为整数;②月利润=月租车费-月维护费;③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润.
在两公司租出的汽车数量相等的条件下,根据上述信息,解决下列问题:
(1)当每个公司租出的汽车为10辆时,甲公司的月利润是
48 000
元;当每个公司租出的汽车为37
辆时,两公司的月利润相等.(2)求两公司月利润差的最大值.
(3)甲公司热心公益事业,每租出1辆汽车捐出$a(a＞0)$元给慈善机构,如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润,且仅当两公司租出的汽车均为17辆时,甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大,求$a$的取值范围.
答案
(1)48 000 37
(2)设两公司的月利润分别为$y_甲$,$y_乙$,月利润差为$y$,两公司租出的汽车数量为$x$,则$y_甲 = [(50-x)×50+3 000]x-200x$,$y_乙=3 500x-1 850$,当甲公司的月利润大于乙公司时,$0＜x＜37$,$y=y_甲-y_乙 = [(50-x)×50+3 000]x-200x-(3 500x-1 850) = -50x^2+1 800x+1 850$,当$x=-\frac{1\ 800}{-50×2}=18$时,利润差最大,且为18 050元;当乙公司的月利润大于甲公司时,$37＜x≤50$,$y = y_乙 - y_甲 = 3\ 500x - 1\ 850 - [(50-x)×50+3\ 000]x+200x = 50x^2 - 1\ 800x - 1\ 850$.$\because$ 对称轴为直线$x = -\frac{-1\ 800}{50×2}=18$,$\therefore$ 当$37＜x≤50$时,$y$随$x$的增大而增大,$\therefore$ 当$x=50$时,利润差最大,且为33 150元.综上,两公司月利润差的最大值为33 150元.
(3)$\because$ 捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润,$\therefore$ 利润差为$y=-50x^2+1\ 800x+1\ 850-ax=-50x^2+(1\ 800-a)x+1\ 850$,对称轴为直线$x=\frac{1\ 800-a}{100}$.$\because x$只能取整数,且仅当两公司租出的汽车均为17辆时,月利润之差最大,$\therefore 16.5＜\frac{1\ 800-a}{100}＜17.5$,解得$50＜a＜150$.
(2)设两公司的月利润分别为$y_甲$,$y_乙$,月利润差为$y$,两公司租出的汽车数量为$x$,则$y_甲 = [(50-x)×50+3 000]x-200x$,$y_乙=3 500x-1 850$,当甲公司的月利润大于乙公司时,$0＜x＜37$,$y=y_甲-y_乙 = [(50-x)×50+3 000]x-200x-(3 500x-1 850) = -50x^2+1 800x+1 850$,当$x=-\frac{1\ 800}{-50×2}=18$时,利润差最大,且为18 050元;当乙公司的月利润大于甲公司时,$37＜x≤50$,$y = y_乙 - y_甲 = 3\ 500x - 1\ 850 - [(50-x)×50+3\ 000]x+200x = 50x^2 - 1\ 800x - 1\ 850$.$\because$ 对称轴为直线$x = -\frac{-1\ 800}{50×2}=18$,$\therefore$ 当$37＜x≤50$时,$y$随$x$的增大而增大,$\therefore$ 当$x=50$时,利润差最大,且为33 150元.综上,两公司月利润差的最大值为33 150元.
(3)$\because$ 捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润,$\therefore$ 利润差为$y=-50x^2+1\ 800x+1\ 850-ax=-50x^2+(1\ 800-a)x+1\ 850$,对称轴为直线$x=\frac{1\ 800-a}{100}$.$\because x$只能取整数,且仅当两公司租出的汽车均为17辆时,月利润之差最大,$\therefore 16.5＜\frac{1\ 800-a}{100}＜17.5$,解得$50＜a＜150$.
