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7.「★☆」某学校为教师定制了水杯，如图所示的是定制的水杯包装盒的表面展开图，已知该包装盒的长为15 cm，设包装盒的高为x cm.
(1)若此包装盒的体积为1 500 cm³，请列出关于x的方程，并求出x的值.
(2)是否存在这样的x的值，使得此包装盒的体积为1 560 cm³？若存在，请求出相应的x的值；若不存在，请说明理由.
单位：cm
(1)若此包装盒的体积为1 500 cm³，请列出关于x的方程，并求出x的值.
(2)是否存在这样的x的值，使得此包装盒的体积为1 560 cm³？若存在，请求出相应的x的值；若不存在，请说明理由.
单位：cm
答案
(1)已知包装盒的高为x cm,长为15 cm,由题图得包装盒的宽为$\frac{40-2x}{2}=(20-x)\mathrm{cm}$,
$\because$此包装盒的体积为$1\ 500\ \mathrm{cm}^3$,
$\therefore (20-x)×15x=1\ 500$,解得$x_1=x_2=10$,
$\therefore x$的值为10.
(2)不存在.理由如下:
依题意得$(20-x)×15x=1\ 560$.
整理得$x^2-20x+104=0$,
$\because \Delta=(-20)^2-4×1×104=-16＜0$,
$\therefore$此方程没有实数根,
$\therefore$不存在这样的x的值,使得此包装盒的体积为$1\ 560\ \mathrm{cm}^3$.
$\because$此包装盒的体积为$1\ 500\ \mathrm{cm}^3$,
$\therefore (20-x)×15x=1\ 500$,解得$x_1=x_2=10$,
$\therefore x$的值为10.
(2)不存在.理由如下:
依题意得$(20-x)×15x=1\ 560$.
整理得$x^2-20x+104=0$,
$\because \Delta=(-20)^2-4×1×104=-16＜0$,
$\therefore$此方程没有实数根,
$\therefore$不存在这样的x的值,使得此包装盒的体积为$1\ 560\ \mathrm{cm}^3$.
解析
【分析】
这是结合长方体展开图的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：第一步先从展开图尺寸推导包装盒的宽：展开图总长度40cm包含2个高x和2个宽，因此宽可表示为$\frac{40-2x}{2}=20-x$ cm；第二步利用长方体体积公式（体积=长×宽×高），结合题干给出的体积值列方程；第一问解方程后验证解的实际合理性即可；第二问列方程后通过计算一元二次方程的根的判别式，判断方程是否有正实根，即可确定对应x是否存在。
【解析】
(1) 已知包装盒高为x cm，长为15 cm，由展开图得包装盒的宽为$\frac{40-2x}{2}=(20-x)\mathrm{cm}$。
已知包装盒体积为$1500\ \mathrm{cm}^3$，根据长方体体积公式列方程：
$(20-x)×15x=1500$
整理得$x^2-20x+100=0$，解得$x_1=x_2=10$，符合实际意义。
(2) 不存在，理由如下：
若包装盒体积为$1560\ \mathrm{cm}^3$，依题意列方程：
$(20-x)×15x=1560$
整理得$x^2-20x+104=0$，
计算根的判别式：$\Delta=(-20)^2-4×1×104=-16＜0$，
因此该方程没有实数根，即不存在符合要求的x值。
【答案】
(1) x的值为10；
(2) 不存在这样的x的值。
【知识点】
一元二次方程应用，根的判别式，长方体体积计算
【点评】
本题结合立体图形展开图考查方程的实际应用，核心是正确从展开图中提取边长的数量关系，结合体积公式列方程求解，存在性问题可通过根的判别式判断方程是否有符合实际的解，考查了数形结合和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
这是结合长方体展开图的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：第一步先从展开图尺寸推导包装盒的宽：展开图总长度40cm包含2个高x和2个宽，因此宽可表示为$\frac{40-2x}{2}=20-x$ cm；第二步利用长方体体积公式（体积=长×宽×高），结合题干给出的体积值列方程；第一问解方程后验证解的实际合理性即可；第二问列方程后通过计算一元二次方程的根的判别式，判断方程是否有正实根，即可确定对应x是否存在。
【解析】
(1) 已知包装盒高为x cm，长为15 cm，由展开图得包装盒的宽为$\frac{40-2x}{2}=(20-x)\mathrm{cm}$。
已知包装盒体积为$1500\ \mathrm{cm}^3$，根据长方体体积公式列方程：
$(20-x)×15x=1500$
整理得$x^2-20x+100=0$，解得$x_1=x_2=10$，符合实际意义。
(2) 不存在，理由如下：
若包装盒体积为$1560\ \mathrm{cm}^3$，依题意列方程：
$(20-x)×15x=1560$
整理得$x^2-20x+104=0$，
计算根的判别式：$\Delta=(-20)^2-4×1×104=-16＜0$，
因此该方程没有实数根，即不存在符合要求的x值。
【答案】
(1) x的值为10；
(2) 不存在这样的x的值。
【知识点】
一元二次方程应用，根的判别式，长方体体积计算
【点评】
本题结合立体图形展开图考查方程的实际应用，核心是正确从展开图中提取边长的数量关系，结合体积公式列方程求解，存在性问题可通过根的判别式判断方程是否有符合实际的解，考查了数形结合和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
8. 核心素养 几何直观 如图,在矩形ABCD中,AB=15 cm,AD=5 cm,动点P,Q分别从点A,C同时出发,点P沿AB以3 cm/s的速度向点B移动,到点B停止移动,点Q沿CD以2 cm/s的速度向点D移动(点P停止移动时,点Q也停止移动).设移动时间为t s.
(1)当t为何值时,P,Q两点间的距离为15 cm?
(2)当t为何值时,四边形PBCQ的面积为30 cm²?
(3)四边形APQD的形状可能为矩形吗?若可能,求出t的值;若不可能,请说明理由.
(4)当△BPQ为等腰三角形时,求出t的值.
(5)在运动过程中,是否存在一个时刻,使得∠PQB=90°?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
(1)当t为何值时,P,Q两点间的距离为15 cm?
(2)当t为何值时,四边形PBCQ的面积为30 cm²?
(3)四边形APQD的形状可能为矩形吗?若可能,求出t的值;若不可能,请说明理由.
(4)当△BPQ为等腰三角形时,求出t的值.
(5)在运动过程中,是否存在一个时刻,使得∠PQB=90°?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
答案
(1)如图,过点Q作$QM⊥ AB$于M,
$\because$点P以3 cm/s的速度向点B移动,点Q以2 cm/s的速度向点D移动,移动时间为t s,
$\therefore AP=3t\ \mathrm{cm},CQ=2t\ \mathrm{cm}$,
$\because AB=15\ \mathrm{cm}$,
$\therefore PM=|15-2t-3t|=|15-5t|\mathrm{cm}$,
当P,Q两点间的距离为15 cm时,易得$(15-5t)^2+5^2=15^2$,
解得$t=3+2\sqrt{2}$或$t=3-2\sqrt{2}$,
$\because AB=15\ \mathrm{cm},\therefore 3t≤15,\therefore t≤5$,
$\therefore t=3+2\sqrt{2}$不符合题意,舍去,
$\therefore t=3-2\sqrt{2}$时,P,Q两点间的距离是15 cm.
(2)$\because$四边形ABCD是矩形,
$\therefore AB// CD,∠ C=∠ ABC=90°$,
$\because BP=(15-3t)\mathrm{cm},CQ=2t\ \mathrm{cm}$,四边形PBCQ的面积为$30\ \mathrm{cm}^2$,
$\therefore \frac{1}{2}(15-3t+2t)×5=30$,解得$t=3$,
$\therefore t=3$时,四边形PBCQ的面积为$30\ \mathrm{cm}^2$.
(3)四边形APQD的形状可能为矩形.
$\because$四边形ABCD是矩形,
$\therefore AB// CD,∠ D=∠ A=90°$,
当四边形APQD为矩形时,$AP=DQ$,
即$3t=15-2t$,解得$t=3$,
$\therefore$当$t=3$时,四边形APQD为矩形.
(4)如图,过点Q作$QG⊥ AB$于点G,得矩形BCQG,矩形AGQD,
$\therefore BG=CQ=2t\ \mathrm{cm},QG=BC=5\ \mathrm{cm},PB=(15-3t)\mathrm{cm}$,
$\therefore PG=|15-3t-2t|=|15-5t|\mathrm{cm}$,
当P,G不重合时,$△ PQG$是直角三角形,
根据勾股定理得$PQ^2=PG^2+QG^2=(15-5t)^2+5^2,BQ^2=(2t)^2+5^2$,
当$PQ=PB$时,$(15-5t)^2+5^2=(15-3t)^2$,
整理得$16t^2-60t+25=0$,
解得$t=\frac{15-5\sqrt{5}}{8}$或$\frac{15+5\sqrt{5}}{8}$;
当$BQ=PB$时,$(2t)^2+5^2=(15-3t)^2$,
整理得$t^2-18t+40=0$,
解得$t=9-\sqrt{41}$或$t=9+\sqrt{41}$(舍去);
当$QP=QB$时,G为PB的中点,
$\therefore 15-5t=2t$,解得$t=\frac{15}{7}$.
综上所述,当$△ BPQ$为等腰三角形时,t的值为$\frac{15-5\sqrt{5}}{8}$或$\frac{15+5\sqrt{5}}{8}$或$9-\sqrt{41}$或$\frac{15}{7}$.
(5)不存在一个时刻,使得$∠ PQB=90°$,理由如下:
当$∠ PQB=90°$时,有$PQ^2+BQ^2=PB^2$,
$\therefore (15-5t)^2+5^2+(2t)^2+5^2=(15-3t)^2$,
化简得$2t^2-6t+5=0$,
$\because \Delta=(-6)^2-4×2×5=-4＜0$,
$\therefore$此方程无实数解,
$\therefore$不存在一个时刻,使得$∠ PQB=90°$.
解析
【分析】
本题是矩形背景下的动点综合问题，解题核心是用运动时间t表示出各相关线段的长度，再结合对应几何图形的性质列方程求解，同时要注意动点的运动范围，对求出的解进行合理性筛选：
1. 求PQ=15时的t：过Q作AB的垂线构造直角三角形，利用勾股定理列关于t的一元二次方程，结合t≤5（P到B停止运动）舍去不合题意的解；
2. 求四边形PBCQ面积为30时的t：四边形PBCQ是直角梯形，直接用梯形面积公式列方程求解即可；
3. 判断APQD能否为矩形：矩形对边相等，满足AP=DQ时即可，列方程求解；
4. 求△BPQ为等腰三角形时的t：分PQ=PB、BQ=PB、QP=QB三种情况分类讨论，分别结合勾股定理列方程求解，舍去超范围的解；
5. 判断是否存在∠PQB=90°：假设存在，利用直角三角形勾股定理列方程，通过判别式判断方程是否有实根，即可得出结论。
【解析】
(1) 如图,过点Q作$QM⊥ AB$于M,
$\because$点P以3 cm/s的速度向点B移动,点Q以2 cm/s的速度向点D移动,移动时间为t s,
$\therefore AP=3t\ \mathrm{cm},CQ=2t\ \mathrm{cm}$,
$\because AB=15\ \mathrm{cm}$,
$\therefore PM=|15-2t-3t|=|15-5t|\mathrm{cm}$,
当P,Q两点间的距离为15 cm时,由勾股定理得$(15-5t)^2+5^2=15^2$,
解得$t=3+2\sqrt{2}$或$t=3-2\sqrt{2}$,
$\because AB=15\ \mathrm{cm},\therefore 3t≤15,\therefore t≤5$,
$\therefore t=3+2\sqrt{2}$不符合题意,舍去,
$\therefore t=3-2\sqrt{2}$时,P,Q两点间的距离是15 cm.
(2)$\because$四边形ABCD是矩形,
$\therefore AB// CD,∠ C=∠ ABC=90°$,四边形PBCQ为直角梯形,
$\because BP=(15-3t)\mathrm{cm},CQ=2t\ \mathrm{cm}$,四边形PBCQ的面积为$30\ \mathrm{cm}^2$,
$\therefore \frac{1}{2}(15-3t+2t)×5=30$,解得$t=3$,
$\therefore t=3$时,四边形PBCQ的面积为$30\ \mathrm{cm}^2$.
(3)四边形APQD的形状可能为矩形.
$\because$四边形ABCD是矩形,
$\therefore AB// CD,∠ D=∠ A=90°$,
当四边形APQD为矩形时,对边相等即$AP=DQ$,
即$3t=15-2t$,解得$t=3$,
$\therefore$当$t=3$时,四边形APQD为矩形.
(4)如图,过点Q作$QG⊥ AB$于点G,得矩形BCQG,矩形AGQD,
$\therefore BG=CQ=2t\ \mathrm{cm},QG=BC=5\ \mathrm{cm},PB=(15-3t)\mathrm{cm}$,
$\therefore PG=|15-3t-2t|=|15-5t|\mathrm{cm}$,
当P,G不重合时,$△ PQG$是直角三角形,
根据勾股定理得$PQ^2=PG^2+QG^2=(15-5t)^2+5^2,BQ^2=(2t)^2+5^2$,
分三种情况讨论：
①当$PQ=PB$时,$(15-5t)^2+5^2=(15-3t)^2$,
整理得$16t^2-60t+25=0$,
解得$t=\frac{15-5\sqrt{5}}{8}$或$\frac{15+5\sqrt{5}}{8}$，均满足0≤t≤5，符合题意；
②当$BQ=PB$时,$(2t)^2+5^2=(15-3t)^2$,
整理得$t^2-18t+40=0$,
解得$t=9-\sqrt{41}$或$t=9+\sqrt{41}$（大于5，舍去）；
③当$QP=QB$时,G为PB的中点,
$\therefore 15-5t=2t$,解得$t=\frac{15}{7}$，符合题意.
综上所述,当$△ BPQ$为等腰三角形时,t的值为$\frac{15-5\sqrt{5}}{8}$或$\frac{15+5\sqrt{5}}{8}$或$9-\sqrt{41}$或$\frac{15}{7}$.
(5)不存在一个时刻,使得$∠ PQB=90°$,理由如下:
当$∠ PQB=90°$时,由勾股定理得$PQ^2+BQ^2=PB^2$,
$\therefore (15-5t)^2+5^2+(2t)^2+5^2=(15-3t)^2$,
化简得$2t^2-6t+5=0$,
$\because \Delta=(-6)^2-4×2×5=-4＜0$,
$\therefore$此方程无实数解,
$\therefore$不存在一个时刻,使得$∠ PQB=90°$.
【答案】
(1) $t=3-2\sqrt{2}$
(2) $t=3$
(3) 可能，$t=3$
(4) $t$的值为$\frac{15-5\sqrt{5}}{8}$、$\frac{15+5\sqrt{5}}{8}$、$9-\sqrt{41}$、$\frac{15}{7}$
(5) 不存在，理由见解析
【知识点】
1. 矩形的性质
2. 勾股定理的应用
3. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题以矩形中的动点运动为背景，将几何图形性质与一元二次方程的应用相结合，需要学生具备分类讨论思想，针对等腰三角形的不同情况分别列式，同时要注意结合动点的运动范围筛选解的合理性，能够有效锻炼几何直观与方程应用能力。
【难度系数】
0.3
本题是矩形背景下的动点综合问题，解题核心是用运动时间t表示出各相关线段的长度，再结合对应几何图形的性质列方程求解，同时要注意动点的运动范围，对求出的解进行合理性筛选：
1. 求PQ=15时的t：过Q作AB的垂线构造直角三角形，利用勾股定理列关于t的一元二次方程，结合t≤5（P到B停止运动）舍去不合题意的解；
2. 求四边形PBCQ面积为30时的t：四边形PBCQ是直角梯形，直接用梯形面积公式列方程求解即可；
3. 判断APQD能否为矩形：矩形对边相等，满足AP=DQ时即可，列方程求解；
4. 求△BPQ为等腰三角形时的t：分PQ=PB、BQ=PB、QP=QB三种情况分类讨论，分别结合勾股定理列方程求解，舍去超范围的解；
5. 判断是否存在∠PQB=90°：假设存在，利用直角三角形勾股定理列方程，通过判别式判断方程是否有实根，即可得出结论。
【解析】
(1) 如图,过点Q作$QM⊥ AB$于M,
$\because$点P以3 cm/s的速度向点B移动,点Q以2 cm/s的速度向点D移动,移动时间为t s,
$\therefore AP=3t\ \mathrm{cm},CQ=2t\ \mathrm{cm}$,
$\because AB=15\ \mathrm{cm}$,
$\therefore PM=|15-2t-3t|=|15-5t|\mathrm{cm}$,
当P,Q两点间的距离为15 cm时,由勾股定理得$(15-5t)^2+5^2=15^2$,
解得$t=3+2\sqrt{2}$或$t=3-2\sqrt{2}$,
$\because AB=15\ \mathrm{cm},\therefore 3t≤15,\therefore t≤5$,
$\therefore t=3+2\sqrt{2}$不符合题意,舍去,
$\therefore t=3-2\sqrt{2}$时,P,Q两点间的距离是15 cm.
(2)$\because$四边形ABCD是矩形,
$\therefore AB// CD,∠ C=∠ ABC=90°$,四边形PBCQ为直角梯形,
$\because BP=(15-3t)\mathrm{cm},CQ=2t\ \mathrm{cm}$,四边形PBCQ的面积为$30\ \mathrm{cm}^2$,
$\therefore \frac{1}{2}(15-3t+2t)×5=30$,解得$t=3$,
$\therefore t=3$时,四边形PBCQ的面积为$30\ \mathrm{cm}^2$.
(3)四边形APQD的形状可能为矩形.
$\because$四边形ABCD是矩形,
$\therefore AB// CD,∠ D=∠ A=90°$,
当四边形APQD为矩形时,对边相等即$AP=DQ$,
即$3t=15-2t$,解得$t=3$,
$\therefore$当$t=3$时,四边形APQD为矩形.
(4)如图,过点Q作$QG⊥ AB$于点G,得矩形BCQG,矩形AGQD,
$\therefore BG=CQ=2t\ \mathrm{cm},QG=BC=5\ \mathrm{cm},PB=(15-3t)\mathrm{cm}$,
$\therefore PG=|15-3t-2t|=|15-5t|\mathrm{cm}$,
当P,G不重合时,$△ PQG$是直角三角形,
根据勾股定理得$PQ^2=PG^2+QG^2=(15-5t)^2+5^2,BQ^2=(2t)^2+5^2$,
分三种情况讨论：
①当$PQ=PB$时,$(15-5t)^2+5^2=(15-3t)^2$,
整理得$16t^2-60t+25=0$,
解得$t=\frac{15-5\sqrt{5}}{8}$或$\frac{15+5\sqrt{5}}{8}$，均满足0≤t≤5，符合题意；
②当$BQ=PB$时,$(2t)^2+5^2=(15-3t)^2$,
整理得$t^2-18t+40=0$,
解得$t=9-\sqrt{41}$或$t=9+\sqrt{41}$（大于5，舍去）；
③当$QP=QB$时,G为PB的中点,
$\therefore 15-5t=2t$,解得$t=\frac{15}{7}$，符合题意.
综上所述,当$△ BPQ$为等腰三角形时,t的值为$\frac{15-5\sqrt{5}}{8}$或$\frac{15+5\sqrt{5}}{8}$或$9-\sqrt{41}$或$\frac{15}{7}$.
(5)不存在一个时刻,使得$∠ PQB=90°$,理由如下:
当$∠ PQB=90°$时,由勾股定理得$PQ^2+BQ^2=PB^2$,
$\therefore (15-5t)^2+5^2+(2t)^2+5^2=(15-3t)^2$,
化简得$2t^2-6t+5=0$,
$\because \Delta=(-6)^2-4×2×5=-4＜0$,
$\therefore$此方程无实数解,
$\therefore$不存在一个时刻,使得$∠ PQB=90°$.
【答案】
(1) $t=3-2\sqrt{2}$
(2) $t=3$
(3) 可能，$t=3$
(4) $t$的值为$\frac{15-5\sqrt{5}}{8}$、$\frac{15+5\sqrt{5}}{8}$、$9-\sqrt{41}$、$\frac{15}{7}$
(5) 不存在，理由见解析
【知识点】
1. 矩形的性质
2. 勾股定理的应用
3. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题以矩形中的动点运动为背景，将几何图形性质与一元二次方程的应用相结合，需要学生具备分类讨论思想，针对等腰三角形的不同情况分别列式，同时要注意结合动点的运动范围筛选解的合理性，能够有效锻炼几何直观与方程应用能力。
【难度系数】
0.3
1.「2026河南焦作一模」如图，小明要利用一面墙(墙长9 m)和18 m长的围栏围成一个面积为40 m²的矩形场地，则矩形场地的宽AB为
5
m.答案
设AB的长为x m,由题意得$(18-2x)x=40$,整理得$x^2-9x+20=0$,解得$x_1=4,x_2=5$.由题意可得$BC≤9\ \mathrm{m}$.当$AB=4\ \mathrm{m}$时,$BC=18-2×4=10(\mathrm{m})＞9\ \mathrm{m}$,不合题意,舍去;当$AB=5\ \mathrm{m}$时,$BC=18-2×5=8(\mathrm{m})＜9\ \mathrm{m}$,符合题意.$\therefore$矩形场地的宽AB为5 m.故答案为5.
解析
【分析】
解题时首先明确围栏围成的边：AD边靠墙无需围栏，因此围栏总长对应矩形的2个宽AB、CD与1个长BC的和。首先设宽AB的长度为x m，即可用含x的代数式表示出长BC的长度，再根据矩形面积=长×宽列一元二次方程求解，最后结合墙长的限制条件（BC≤9m）对解出的根进行检验，舍去不符合实际情况的根，即可得到正确结果。
【解析】
设矩形场地的宽AB的长为x m，则矩形的长BC为$(18-2x)\mathrm{m}$。
根据矩形面积为$40\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$x(18-2x)=40$
整理得：$x^2-9x+20=0$
因式分解得：$(x-4)(x-5)=0$
解得：$x_1=4$，$x_2=5$
结合墙长限制，BC的长度不能超过9m：
当$x=4$时，$BC=18-2×4=10\ \mathrm{m}＞9\ \mathrm{m}$，不符合实际，舍去；
当$x=5$时，$BC=18-2×5=8\ \mathrm{m}＜9\ \mathrm{m}$，符合题意。
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算、实际问题验根
【点评】
本题是一元二次方程结合几何实际问题的基础题型，解题的关键是准确找到等量关系列方程，同时要注意实际问题中的限制条件，对求出的方程的根进行合理性检验，避免多解错解。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确围栏围成的边：AD边靠墙无需围栏，因此围栏总长对应矩形的2个宽AB、CD与1个长BC的和。首先设宽AB的长度为x m，即可用含x的代数式表示出长BC的长度，再根据矩形面积=长×宽列一元二次方程求解，最后结合墙长的限制条件（BC≤9m）对解出的根进行检验，舍去不符合实际情况的根，即可得到正确结果。
【解析】
设矩形场地的宽AB的长为x m，则矩形的长BC为$(18-2x)\mathrm{m}$。
根据矩形面积为$40\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$x(18-2x)=40$
整理得：$x^2-9x+20=0$
因式分解得：$(x-4)(x-5)=0$
解得：$x_1=4$，$x_2=5$
结合墙长限制，BC的长度不能超过9m：
当$x=4$时，$BC=18-2×4=10\ \mathrm{m}＞9\ \mathrm{m}$，不符合实际，舍去；
当$x=5$时，$BC=18-2×5=8\ \mathrm{m}＜9\ \mathrm{m}$，符合题意。
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算、实际问题验根
【点评】
本题是一元二次方程结合几何实际问题的基础题型，解题的关键是准确找到等量关系列方程，同时要注意实际问题中的限制条件，对求出的方程的根进行合理性检验，避免多解错解。
【难度系数】
0.6
2.「2026陕西西安期中」如图,某小区计划用18 m的铁栅栏,再借助两面外墙(墙足够长)围成一个矩形车棚ABCD,为了方便存车,在CD(CD＞2 m)边上留了一个2 m宽的门(建在EF处,另用其他材料).当车棚的长为
12
m,宽为8
m时,能围成一个面积为96 m²的车棚.答案
设$AB=x\ \mathrm{m}$,则$BC=(18+2-x)\mathrm{m}$,根据题意得$x(18+2-x)=96$,整理得$x^2-20x+96=0$,解得$x_1=8,x_2=12$,当$x=8$时,$18+2-x=18+2-8=12$;当$x=12$时,$18+2-x=18+2-12=8$.$\therefore$当车棚的长为12米,宽为8米时,能围成一个面积为$96\ \mathrm{m}^2$的车棚.故答案为12;8.
解析
【分析】
首先观察图形可知，矩形车棚借助墙角的两面外墙修建，铁栅栏仅需围BC、CD两条边；由于CD上有2m宽的门不需要铁栅栏，因此CD的长度与BC的长度之和为铁栅栏总长加门宽，即18+2=20m。我们可设与CD等长的AB边长为x m，即可用含x的式子表示BC的长度，再结合矩形面积公式列一元二次方程求解，最后根据长大于宽的常识对根做取舍即可。
【解析】
解：设AB的长度为$x\ \mathrm{m}$，则与AB等长的CD也为$x\ \mathrm{m}$，BC的长度为$(18+2-x)\mathrm{m}=(20-x)\mathrm{m}$。
根据矩形面积为$96\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$x(20-x)=96$
整理得：$x^2-20x+96=0$
因式分解得：$(x-8)(x-12)=0$
解得：$x_1=8$，$x_2=12$
当$x=8$时，$20-x=12$；当$x=12$时，$20-x=8$。
矩形的长大于宽，因此长为12m，宽为8m。
【答案】
12；8
【知识点】
一元二次方程的实际应用；矩形面积计算
【点评】
本题是方程与几何结合的实际应用题，解题的关键是正确理解门的宽度对栅栏围合总长度的影响，准确表示出矩形的两条边长，求解方程后要注意结合实际意义对根进行合理取舍。
【难度系数】
0.6
首先观察图形可知，矩形车棚借助墙角的两面外墙修建，铁栅栏仅需围BC、CD两条边；由于CD上有2m宽的门不需要铁栅栏，因此CD的长度与BC的长度之和为铁栅栏总长加门宽，即18+2=20m。我们可设与CD等长的AB边长为x m，即可用含x的式子表示BC的长度，再结合矩形面积公式列一元二次方程求解，最后根据长大于宽的常识对根做取舍即可。
【解析】
解：设AB的长度为$x\ \mathrm{m}$，则与AB等长的CD也为$x\ \mathrm{m}$，BC的长度为$(18+2-x)\mathrm{m}=(20-x)\mathrm{m}$。
根据矩形面积为$96\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$x(20-x)=96$
整理得：$x^2-20x+96=0$
因式分解得：$(x-8)(x-12)=0$
解得：$x_1=8$，$x_2=12$
当$x=8$时，$20-x=12$；当$x=12$时，$20-x=8$。
矩形的长大于宽，因此长为12m，宽为8m。
【答案】
12；8
【知识点】
一元二次方程的实际应用；矩形面积计算
【点评】
本题是方程与几何结合的实际应用题，解题的关键是正确理解门的宽度对栅栏围合总长度的影响，准确表示出矩形的两条边长，求解方程后要注意结合实际意义对根进行合理取舍。
【难度系数】
0.6
