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1.「2026辽宁锦州期末」某商贩购进一批苹果进行销售,进价为每千克8元,若按每千克15元销售,平均每天可售出80千克.经市场调查发现,销售单价每降低1元,平均每天的销售量可增加30千克.若该商贩想要平均每天获利680元,并尽快减少库存,则销售单价应定为多少元?
答案
解析 设销售单价定为x元，
由题意,得$(x-8)[80+30(15-x)]=680$,
整理,得$3x^{2}-77x+492=0$,
解得$x_{1}=\frac {41}{3},x_{2}=12$,
∵ 要尽快减少库存,$\therefore x=12$.
答:销售单价应定为12元.
由题意,得$(x-8)[80+30(15-x)]=680$,
整理,得$3x^{2}-77x+492=0$,
解得$x_{1}=\frac {41}{3},x_{2}=12$,
∵ 要尽快减少库存,$\therefore x=12$.
答:销售单价应定为12元.
解析
【分析】
本题属于销售利润类实际问题，解题核心是抓住“总利润=单件利润×销售总量”的等量关系列方程求解。第一步先设销售单价为x元；第二步分别表示两个核心量：①单件利润为售价减进价，即(x-8)元；②销售总量：原售价15元，现售价x元，共降价(15-x)元，每降1元多卖30千克，因此销量增量为30(15-x)千克，总销量为[80+30(15-x)]千克；第三步根据总获利680元列方程，解方程后结合“尽快减少库存”的要求，选择销量更高（即售价更低）的根，舍去不符合要求的解即可。
【解析】
解：设销售单价定为x元。
由题意得：
$(x-8)[80+30(15-x)]=680$
整理得：$3x^{2}-77x+492=0$
解得：$x_{1}=\frac {41}{3},x_{2}=12$
∵要尽快减少库存，售价越低则销售量越大，库存减少越快，$\frac{41}{3}\approx13.67＞12$
∴舍去$x=\frac{41}{3}$，取$x=12$。
答：销售单价应定为12元。
【答案】
销售单价应定为12元
【知识点】
销售利润问题，一元二次方程求解，实际问题根的取舍
【点评】
本题是销售类应用题的典型考法，解题关键是准确梳理单件利润、销售量与总利润的等量关系，同时要注意结合题干给出的实际限制条件对解得的方程根进行筛选，避免忽略实际要求导致错解。
【难度系数】
0.7
本题属于销售利润类实际问题，解题核心是抓住“总利润=单件利润×销售总量”的等量关系列方程求解。第一步先设销售单价为x元；第二步分别表示两个核心量：①单件利润为售价减进价，即(x-8)元；②销售总量：原售价15元，现售价x元，共降价(15-x)元，每降1元多卖30千克，因此销量增量为30(15-x)千克，总销量为[80+30(15-x)]千克；第三步根据总获利680元列方程，解方程后结合“尽快减少库存”的要求，选择销量更高（即售价更低）的根，舍去不符合要求的解即可。
【解析】
解：设销售单价定为x元。
由题意得：
$(x-8)[80+30(15-x)]=680$
整理得：$3x^{2}-77x+492=0$
解得：$x_{1}=\frac {41}{3},x_{2}=12$
∵要尽快减少库存，售价越低则销售量越大，库存减少越快，$\frac{41}{3}\approx13.67＞12$
∴舍去$x=\frac{41}{3}$，取$x=12$。
答：销售单价应定为12元。
【答案】
销售单价应定为12元
【知识点】
销售利润问题，一元二次方程求解，实际问题根的取舍
【点评】
本题是销售类应用题的典型考法，解题关键是准确梳理单件利润、销售量与总利润的等量关系，同时要注意结合题干给出的实际限制条件对解得的方程根进行筛选，避免忽略实际要求导致错解。
【难度系数】
0.7
2.「2026甘肃陇南期末」某商家购入一批进价为每个30元的艺术瓷盘进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于每个进价时，日销售量y(单位：个)与销售单价x(单位：元)是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值。
(1)y关于x的函数表达式为
(2)当艺术瓷盘的销售单价定为多少元时，所获日销售利润为600元且能兼顾顾客的利益？
(1)y关于x的函数表达式为
$y=-x+100$
(不用写出x的取值范围).(2)当艺术瓷盘的销售单价定为多少元时，所获日销售利润为600元且能兼顾顾客的利益？
答案
解析
(1)$y=-x+100$.
详解:设y关于x的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$,
由题意,得$\begin{cases} 36k+b=64,\\38k+b=62,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=100,\end{cases}$
∴y关于x的函数表达式为$y=-x+100$.
故答案为$y=-x+100$.
(2)由题意,得$(x-30)(-x+100)=600$,
整理,得$x^{2}-130x+3600=0$,
解得$x_{1}=40,x_{2}=90$,
∵ 要兼顾顾客的利益,
$\therefore x=40$.
答:当艺术瓷盘的销售单价定为40元时,所获日销售利润为600元且能兼顾顾客的利益.
(1)$y=-x+100$.
详解:设y关于x的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$,
由题意,得$\begin{cases} 36k+b=64,\\38k+b=62,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=100,\end{cases}$
∴y关于x的函数表达式为$y=-x+100$.
故答案为$y=-x+100$.
(2)由题意,得$(x-30)(-x+100)=600$,
整理,得$x^{2}-130x+3600=0$,
解得$x_{1}=40,x_{2}=90$,
∵ 要兼顾顾客的利益,
$\therefore x=40$.
答:当艺术瓷盘的销售单价定为40元时,所获日销售利润为600元且能兼顾顾客的利益.
解析
【分析】
(1) 已知日销售量y与销售单价x是一次函数关系，因此可采用待定系数法求函数表达式：先设一次函数的一般形式为$y=kx+b(k≠0)$，再从表格中选取两组对应的x、y值代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值即可得到y关于x的函数表达式。
(2) 日销售利润=单个瓷盘的利润×日销售量，单个瓷盘的利润为$(x-30)$元，日销售量为(1)中所求的y，结合日销售利润为600元的条件列出一元二次方程，解方程得到两个解后，要兼顾顾客利益即售价尽可能低，因此选取数值较小的解即可。
【解析】
(1) 设y关于x的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，
将$(36,64)$和$(38,62)$代入表达式，得：
$\begin{cases} 36k+b=64\\38k+b=62\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$2k=-2$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$36k+b=64$，得$-36+b=64$，解得$b=100$，
∴y关于x的函数表达式为$y=-x+100$。
(2) 由题意得，单个瓷盘的利润为$(x-30)$元，日销售量为$(-x+100)$个，
根据日销售利润为600元，列方程得：
$(x-30)(-x+100)=600$
展开并整理得：$x^2-130x+3600=0$
因式分解得：$(x-40)(x-90)=0$
解得$x_1=40$，$x_2=90$，
∵要兼顾顾客的利益，即销售单价应尽可能低，
∴$x=40$。
【答案】
(1) $y=-x+100$
(2) 当艺术瓷盘的销售单价定为40元时，所获日销售利润为600元且能兼顾顾客的利益。
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 销售利润计算
3. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，将一次函数和一元二次方程的知识结合考查，解题的核心是理清销售问题中各数量之间的关系，同时注意结合实际需求对方程的根进行合理取舍。
【难度系数】
0.7
(1) 已知日销售量y与销售单价x是一次函数关系，因此可采用待定系数法求函数表达式：先设一次函数的一般形式为$y=kx+b(k≠0)$，再从表格中选取两组对应的x、y值代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值即可得到y关于x的函数表达式。
(2) 日销售利润=单个瓷盘的利润×日销售量，单个瓷盘的利润为$(x-30)$元，日销售量为(1)中所求的y，结合日销售利润为600元的条件列出一元二次方程，解方程得到两个解后，要兼顾顾客利益即售价尽可能低，因此选取数值较小的解即可。
【解析】
(1) 设y关于x的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，
将$(36,64)$和$(38,62)$代入表达式，得：
$\begin{cases} 36k+b=64\\38k+b=62\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$2k=-2$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$36k+b=64$，得$-36+b=64$，解得$b=100$，
∴y关于x的函数表达式为$y=-x+100$。
(2) 由题意得，单个瓷盘的利润为$(x-30)$元，日销售量为$(-x+100)$个，
根据日销售利润为600元，列方程得：
$(x-30)(-x+100)=600$
展开并整理得：$x^2-130x+3600=0$
因式分解得：$(x-40)(x-90)=0$
解得$x_1=40$，$x_2=90$，
∵要兼顾顾客的利益，即销售单价应尽可能低，
∴$x=40$。
【答案】
(1) $y=-x+100$
(2) 当艺术瓷盘的销售单价定为40元时，所获日销售利润为600元且能兼顾顾客的利益。
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 销售利润计算
3. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，将一次函数和一元二次方程的知识结合考查，解题的核心是理清销售问题中各数量之间的关系，同时注意结合实际需求对方程的根进行合理取舍。
【难度系数】
0.7
3.「2025四川凉山州中考」某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，则可列出的方程是（
A.$560(1+x)^2=1860$
B.$560+560(1+x)+560(1+2x)=1860$
C.$560+560(1+x)+560(1+x)^2=1860$
D.$560+560(1+2x)^2=1860$
C
）A.$560(1+x)^2=1860$
B.$560+560(1+x)+560(1+2x)=1860$
C.$560+560(1+x)+560(1+x)^2=1860$
D.$560+560(1+2x)^2=1860$
答案
C 由题意得,钢铁厂二月份生产钢铁$560(1+x)$吨,
三月份生产钢铁$560(1+x)^{2}$吨,
∵ 该钢铁厂第一季度共生产钢铁1 860吨,
∴ 可列方程为$560+560(1+x)+560(1+x)^{2}=1 860$.故选C.
三月份生产钢铁$560(1+x)^{2}$吨,
∵ 该钢铁厂第一季度共生产钢铁1 860吨,
∴ 可列方程为$560+560(1+x)+560(1+x)^{2}=1 860$.故选C.
解析
【分析】
本题是平均增长率类的一元二次方程应用题，解题思路清晰：首先明确第一季度为一月、二月、三月的产量总和，不能等同于第三个月的产量；其次按照平均增长率的计算规则，后一个月的产量=前一个月产量×(1+月增长率)，已知一月份产量为560吨，可依次推导二月、三月的产量；最后将三个月产量相加等于第一季度总产量1860吨即可列方程，也可通过排除法快速判断：A仅表示三月份产量，B中三月份用1+2x的线性增长不符合复利增长率规则，D表达式逻辑错误，直接排除错误选项。
【解析】
解：已知一月份生产钢铁560吨，月平均增长率为x，
则二月份钢铁产量为：$560(1+x)$吨，
三月份钢铁产量为：$560(1+x) × (1+x) = 560(1+x)^2$吨，
由于第一季度总产量为1860吨，将三个月产量相加可得方程：
$560 + 560(1+x) + 560(1+x)^2 = 1860$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 平均增长率计算 2. 一元二次方程实际应用 3. 季度总量求和
【点评】
本题是增长率问题的常考基础题，解题关键是掌握平均增长率的计算逻辑，明确总量为各阶段产量之和，避免出现漏加前两个月产量、混淆复利增长和线性增长表达式的错误。
【难度系数】
0.8
本题是平均增长率类的一元二次方程应用题，解题思路清晰：首先明确第一季度为一月、二月、三月的产量总和，不能等同于第三个月的产量；其次按照平均增长率的计算规则，后一个月的产量=前一个月产量×(1+月增长率)，已知一月份产量为560吨，可依次推导二月、三月的产量；最后将三个月产量相加等于第一季度总产量1860吨即可列方程，也可通过排除法快速判断：A仅表示三月份产量，B中三月份用1+2x的线性增长不符合复利增长率规则，D表达式逻辑错误，直接排除错误选项。
【解析】
解：已知一月份生产钢铁560吨，月平均增长率为x，
则二月份钢铁产量为：$560(1+x)$吨，
三月份钢铁产量为：$560(1+x) × (1+x) = 560(1+x)^2$吨，
由于第一季度总产量为1860吨，将三个月产量相加可得方程：
$560 + 560(1+x) + 560(1+x)^2 = 1860$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 平均增长率计算 2. 一元二次方程实际应用 3. 季度总量求和
【点评】
本题是增长率问题的常考基础题，解题关键是掌握平均增长率的计算逻辑，明确总量为各阶段产量之和，避免出现漏加前两个月产量、混淆复利增长和线性增长表达式的错误。
【难度系数】
0.8
4.「2025重庆中考」某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（
A.10%
B.20%
C.22%
D.44%
B
）A.10%
B.20%
C.22%
D.44%
答案
B 设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x,
由题意,得$25(1+x)^{2}=36$,
解得$x_{1}=0.2=20\%$,$x_{2}=-2.2$(不合题意,舍去),
∴ 该景区这两年接待游客的年平均增长率为20%.
故选B.
由题意,得$25(1+x)^{2}=36$,
解得$x_{1}=0.2=20\%$,$x_{2}=-2.2$(不合题意,舍去),
∴ 该景区这两年接待游客的年平均增长率为20%.
故选B.
解析
【分析】
这是典型的平均增长率问题，解题思路如下：首先明确平均增长率的通用公式：初始量×(1+年平均增长率)ⁿ=增长n年后的量，本题中时间跨度为2年，即n=2，初始量是2022年的25万人，2年后（2024年）的游客量为36万人，我们可以设年平均增长率为x，代入公式列出一元二次方程，求解后结合增长率为正数的实际意义舍去不合题意的根，即可得到最终结果。
【解析】
设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x，
由题意得：$25(1+x)^{2}=36$，
方程两边同时除以25可得：$(1+x)^2=\frac{36}{25}$，
开平方得：$1+x=\pm\frac{6}{5}$，
解得$x_{1}=0.2=20\%$，$x_{2}=-2.2$，
由于增长率不能为负数，$x_{2}=-2.2$不合题意，舍去，
因此该景区这两年接待游客的年平均增长率为20%，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 平均增长率计算
2. 一元二次方程的应用
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程解决实际问题的基础题型，核心是掌握增长率的数量关系公式，解题时要注意结合实际问题的意义对方程的根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.8
这是典型的平均增长率问题，解题思路如下：首先明确平均增长率的通用公式：初始量×(1+年平均增长率)ⁿ=增长n年后的量，本题中时间跨度为2年，即n=2，初始量是2022年的25万人，2年后（2024年）的游客量为36万人，我们可以设年平均增长率为x，代入公式列出一元二次方程，求解后结合增长率为正数的实际意义舍去不合题意的根，即可得到最终结果。
【解析】
设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x，
由题意得：$25(1+x)^{2}=36$，
方程两边同时除以25可得：$(1+x)^2=\frac{36}{25}$，
开平方得：$1+x=\pm\frac{6}{5}$，
解得$x_{1}=0.2=20\%$，$x_{2}=-2.2$，
由于增长率不能为负数，$x_{2}=-2.2$不合题意，舍去，
因此该景区这两年接待游客的年平均增长率为20%，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 平均增长率计算
2. 一元二次方程的应用
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程解决实际问题的基础题型，核心是掌握增长率的数量关系公式，解题时要注意结合实际问题的意义对方程的根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.8
5.「2026 北京东城期末」在全球新能源汽车产业蓬勃发展的浪潮中，中国凭借强大的产业实力和技术创新能力脱颖而出，已连续10年保持新能源汽车年产销量全球第一.随着技术迭代加速发展，某新能源汽车的电池成本持续下降，2023年电池成本约为1 200元/千瓦时，2025年电池成本约为972元/千瓦时，求这两年该电池成本的年平均下降率.
答案
解析 设这两年该电池成本的年平均下降率为x,
由题意,得$1 200(1-x)^{2}=972$,
解得$x_{1}=0.1=10\%$,$x_{2}=1.9$(不合题意,舍去).
答:这两年该电池成本的年平均下降率为10%.
由题意,得$1 200(1-x)^{2}=972$,
解得$x_{1}=0.1=10\%$,$x_{2}=1.9$(不合题意,舍去).
答:这两年该电池成本的年平均下降率为10%.
解析
【分析】
本题属于平均下降率类实际应用题，解题思路如下：首先回忆平均变化率的基本模型：若初始值为a，年平均下降率为x，经过n年后的数值为b，则满足关系式a(1-x)ⁿ=b。本题中初始量是2023年的电池成本1200元/千瓦时，变化周期为2年（2023年到2025年），终值是2025年的电池成本972元/千瓦时，我们先设年平均下降率为x，代入模型列一元二次方程，解方程后结合下降率的实际范围（0＜x＜1）舍去不符合题意的根，即可得到结果。
【解析】
设这两年该电池成本的年平均下降率为x，
由题意得：$1200(1-x)^2=972$
方程两边同时除以1200，得：$(1-x)^2=0.81$
开平方得：$1-x=\pm0.9$
解得：$x_1=0.1=10\%$，$x_2=1.9$
由于年平均下降率不可能大于1，因此$x_2=1.9$不合题意，舍去。
答：这两年该电池成本的年平均下降率为10%。
【答案】
10%
【知识点】
1. 平均变化率应用
2. 一元二次方程求解
3. 实际问题验根
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础常考题，解题关键是准确掌握平均变化率的公式，找准初始量、终值和变化周期正确列方程，同时要注意结合实际情境对解进行取舍，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
本题属于平均下降率类实际应用题，解题思路如下：首先回忆平均变化率的基本模型：若初始值为a，年平均下降率为x，经过n年后的数值为b，则满足关系式a(1-x)ⁿ=b。本题中初始量是2023年的电池成本1200元/千瓦时，变化周期为2年（2023年到2025年），终值是2025年的电池成本972元/千瓦时，我们先设年平均下降率为x，代入模型列一元二次方程，解方程后结合下降率的实际范围（0＜x＜1）舍去不符合题意的根，即可得到结果。
【解析】
设这两年该电池成本的年平均下降率为x，
由题意得：$1200(1-x)^2=972$
方程两边同时除以1200，得：$(1-x)^2=0.81$
开平方得：$1-x=\pm0.9$
解得：$x_1=0.1=10\%$，$x_2=1.9$
由于年平均下降率不可能大于1，因此$x_2=1.9$不合题意，舍去。
答：这两年该电池成本的年平均下降率为10%。
【答案】
10%
【知识点】
1. 平均变化率应用
2. 一元二次方程求解
3. 实际问题验根
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础常考题，解题关键是准确掌握平均变化率的公式，找准初始量、终值和变化周期正确列方程，同时要注意结合实际情境对解进行取舍，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
