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1[2026辽宁本溪质检]如图，网格中每个小正方形的边长为1，$△ ABC$和$△ DEF$的顶点都在格点上（小正方形的顶点）.$P_1,P_2,P_3,P_4,P_5$是$△ DEF$边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它们和点$D$构成的三角形与$△ ABC$相似，所有符合条件的三角形的个数为（
A.4
B.2
C.1
D.3
D
）A.4
B.2
C.1
D.3
答案
【解析】如图
,由勾股定理得 $AC=\sqrt{5},AB=2\sqrt{5},BC=5$. 连接 $P_2P_5$. 由勾股定理得 $DP_5=\sqrt{2},DP_2=2\sqrt{2},P_2P_5=\sqrt{10}.\because \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}=\frac{5}{\sqrt{10}},\therefore △ ACB ∽ △ DP_5P_2$. 同理可得 $△ DP_2P_4,△ DP_4P_5$ 和 $△ ACB$ 相似. 故选 D.解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以采用“定比+验证”的思路：首先利用勾股定理计算出已知△ABC的三边长，得到三边的长度比值；再依次计算从5个格点中选取2个与点D组成的三角形的三边长，根据“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理，判断这些三角形的三边比是否与△ABC的三边比一致，就能找出所有符合条件的三角形。
【解析】
如图，先利用勾股定理计算△ABC的三边长：
$AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$AB=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{3^2+4^2}=5$，因此△ABC的三边比为$AC:AB:BC=\sqrt{5}:2\sqrt{5}:5=1:2:\sqrt{5}$。
接下来验证D与两个格点构成的三角形：
1. 连接$DP_2、DP_5、P_2P_5$，计算得$DP_5=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$DP_2=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$P_2P_5=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，三边比为$\sqrt{2}:2\sqrt{2}:\sqrt{10}=1:2:\sqrt{5}$，与△ABC三边比相等，故$△ DP_5P_2 ∽ △ ACB$。
2. 同理计算$△ DP_2P_4$的三边长，可得其三边比也为$1:2:\sqrt{5}$，与△ABC相似。
3. 同理计算$△ DP_4P_5$的三边长，可得其三边比也为$1:2:\sqrt{5}$，与△ABC相似。
综上，符合条件的三角形共有3个，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定
【点评】
本题属于格点几何的常规题型，核心考查格点边长的计算和相似三角形的判定方法，解题的关键是先确定已知三角形的三边比例，再逐一验证待判断的三角形，注意不要漏算符合条件的组合。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以采用“定比+验证”的思路：首先利用勾股定理计算出已知△ABC的三边长，得到三边的长度比值；再依次计算从5个格点中选取2个与点D组成的三角形的三边长，根据“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理，判断这些三角形的三边比是否与△ABC的三边比一致，就能找出所有符合条件的三角形。
【解析】
如图
，先利用勾股定理计算△ABC的三边长：$AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$AB=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{3^2+4^2}=5$，因此△ABC的三边比为$AC:AB:BC=\sqrt{5}:2\sqrt{5}:5=1:2:\sqrt{5}$。
接下来验证D与两个格点构成的三角形：
1. 连接$DP_2、DP_5、P_2P_5$，计算得$DP_5=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$DP_2=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$P_2P_5=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，三边比为$\sqrt{2}:2\sqrt{2}:\sqrt{10}=1:2:\sqrt{5}$，与△ABC三边比相等，故$△ DP_5P_2 ∽ △ ACB$。
2. 同理计算$△ DP_2P_4$的三边长，可得其三边比也为$1:2:\sqrt{5}$，与△ABC相似。
3. 同理计算$△ DP_4P_5$的三边长，可得其三边比也为$1:2:\sqrt{5}$，与△ABC相似。
综上，符合条件的三角形共有3个，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定
【点评】
本题属于格点几何的常规题型，核心考查格点边长的计算和相似三角形的判定方法，解题的关键是先确定已知三角形的三边比例，再逐一验证待判断的三角形，注意不要漏算符合条件的组合。
【难度系数】
0.6
2 点P是△ABC中AB边上一点(不与A,B重合),过P作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,这样的直线最多作（
A.2条
B.3条
C.4条
D.5条
C
）A.2条
B.3条
C.4条
D.5条
答案
【解析】
辅助线作法|图示|相似三角形
---|---|---
过P作PE//AC| |△BPE∽△BAC
过P作PE//BC| |△APE∽△ABC
过P作∠APE=∠C| |△APE∽△ACB
过P作∠BPE=∠C| |△BEP∽△BAC
关键点拨
根据两角分别相等的两个三角形相似得到截得的三角形与△ABC相似; 根据角相等作直线PE,利用两角分别相等的两个三角形相似得到截得的三角形与△ABC相似.
解析
【分析】
要解决该问题，需结合相似三角形的判定定理，分两类讨论过点P的直线作法：①平行构造：过点P作平行于△ABC两边的直线，可得到两组A字型相似，对应2条直线；②等角构造：利用“两角分别相等的两个三角形相似”，分别保留公共角∠A、∠B，构造另一组对应角相等，又可得到2条符合要求的直线，总计4条直线。
【解析】
我们分两类构造满足条件的直线：
1. 平行构造：
过P作$PE// AC$，此时$∠ BPE=∠ A$，$∠ B$为公共角，故$△ BPE ∽ △ BAC$；
过P作$PE// BC$，此时$∠ APE=∠ B$，$∠ A$为公共角，故$△ APE ∽ △ ABC$。
2. 等角构造：
过P作$∠ APE=∠ C$，此时$∠ A$为公共角，故$△ APE ∽ △ ACB$；
过P作$∠ BPE=∠ C$，此时$∠ B$为公共角，故$△ BEP ∽ △ BAC$。
综上，满足条件的直线最多有4条。
关键点拨：平行构造的依据是平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似；等角构造的依据是两角分别相等的两个三角形相似。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、相似辅助线构造、A字型相似
【点评】
本题是相似三角形构造的经典题型，易错点是仅考虑平行构造的2条直线而漏解，解题时要从平行、等角两类构造思路出发，避免遗漏非平行的构造情况。
【难度系数】
0.6
要解决该问题，需结合相似三角形的判定定理，分两类讨论过点P的直线作法：①平行构造：过点P作平行于△ABC两边的直线，可得到两组A字型相似，对应2条直线；②等角构造：利用“两角分别相等的两个三角形相似”，分别保留公共角∠A、∠B，构造另一组对应角相等，又可得到2条符合要求的直线，总计4条直线。
【解析】
我们分两类构造满足条件的直线：
1. 平行构造：
过P作$PE// AC$，此时$∠ BPE=∠ A$，$∠ B$为公共角，故$△ BPE ∽ △ BAC$；
过P作$PE// BC$，此时$∠ APE=∠ B$，$∠ A$为公共角，故$△ APE ∽ △ ABC$。
2. 等角构造：
过P作$∠ APE=∠ C$，此时$∠ A$为公共角，故$△ APE ∽ △ ACB$；
过P作$∠ BPE=∠ C$，此时$∠ B$为公共角，故$△ BEP ∽ △ BAC$。
综上，满足条件的直线最多有4条。
关键点拨：平行构造的依据是平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似；等角构造的依据是两角分别相等的两个三角形相似。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、相似辅助线构造、A字型相似
【点评】
本题是相似三角形构造的经典题型，易错点是仅考虑平行构造的2条直线而漏解，解题时要从平行、等角两类构造思路出发，避免遗漏非平行的构造情况。
【难度系数】
0.6
3 已知$△ ABC$中，$AB=6$，$AC=9$，$D$，$E$分别是直线$AC$和$AB$上的点，且$AD=3$，要使$△ ADE ∽ △ ACB$，则$BE=$
4或8
。答案
【解析】$\because D,E$分别是直线$AC$和$AB$上的点,$\therefore ∠ DAE = ∠ BAC$,$\therefore $ 若 $\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$,根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可以得到$△ ADE ∽ △ ACB$. $\because AB=6,AC=9,AD=3$,$\therefore \frac{3}{9}=\frac{AE}{6}$, 解得$AE=2$. 分两种情况进行讨论: ①$D,E$分别在线段$AC$和$AB$上时,$\because AE=2,AB=6$,$\therefore BE=AB-AE=6-2=4$; ②$D,E$分别在线段$AC$和$AB$的反向延长线上时,$\because AE=2,AB=6$,$\therefore BE=AB+AE=6+2=8$. 综上所述,$BE$的长为4或8.
关键点拨
分$D,E$分别在线段$AC$和$AB$上与$D,E$分别在线段$AC$和$AB$的反向延长线上两种情况,分别求解即可.
关键点拨
分$D,E$分别在线段$AC$和$AB$上与$D,E$分别在线段$AC$和$AB$的反向延长线上两种情况,分别求解即可.
解析
【分析】
要解决本题，首先利用相似三角形的判定思路：△ADE和△ACB有公共角（或等角）∠DAE=∠BAC，要使两三角形相似，可根据两边成比例且夹角相等的判定定理列比例式求出AE的长度；再注意题目中D、E在直线AC、AB上，不是仅在线段上，因此需要分E在线段AB上、E在AB的反向延长线上两种情况，分别计算BE的长度即可。
【解析】
∵D、E分别是直线AC和AB上的点，
∴∠DAE=∠BAC，
若要使△ADE ∽ △ACB，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，需满足$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$。
已知AB=6，AC=9，AD=3，代入比例式得：$\frac{3}{9}=\frac{AE}{6}$，解得AE=2。
分两种情况讨论：
①当D、E分别在线段AC和AB上时，$BE=AB-AE=6-2=4$；
②当D、E分别在线段AC和AB的反向延长线上时，$BE=AB+AE=6+2=8$。
综上所述，BE的长为4或8。
【答案】
4或8
【知识点】
相似三角形的判定、线段和差计算、分类讨论思想
【点评】
本题核心考查相似三角形的判定应用，易错点是忽略题中“直线”的条件，未分类讨论导致漏解，做题时要注意审题，明确点的位置范围。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先利用相似三角形的判定思路：△ADE和△ACB有公共角（或等角）∠DAE=∠BAC，要使两三角形相似，可根据两边成比例且夹角相等的判定定理列比例式求出AE的长度；再注意题目中D、E在直线AC、AB上，不是仅在线段上，因此需要分E在线段AB上、E在AB的反向延长线上两种情况，分别计算BE的长度即可。
【解析】
∵D、E分别是直线AC和AB上的点，
∴∠DAE=∠BAC，
若要使△ADE ∽ △ACB，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，需满足$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$。
已知AB=6，AC=9，AD=3，代入比例式得：$\frac{3}{9}=\frac{AE}{6}$，解得AE=2。
分两种情况讨论：
①当D、E分别在线段AC和AB上时，$BE=AB-AE=6-2=4$；
②当D、E分别在线段AC和AB的反向延长线上时，$BE=AB+AE=6+2=8$。
综上所述，BE的长为4或8。
【答案】
4或8
【知识点】
相似三角形的判定、线段和差计算、分类讨论思想
【点评】
本题核心考查相似三角形的判定应用，易错点是忽略题中“直线”的条件，未分类讨论导致漏解，做题时要注意审题，明确点的位置范围。
【难度系数】
0.6
4[2026山东济南期末]如图,在矩形ABCD中,AB=3 cm,BC=4 cm,动点P以2 cm/s的速度从点A出发,沿AC向点C移动,同时动点Q以1 cm/s的速度从点C出发,沿CB向点B移动.设P,Q两点的移动时间为t s(0＜t＜2.5).(1)CQ=
t
cm,CP=(5-2t)
cm(用含t的式子表示);(2)当t的值为多少时,△CPQ与△CAB相似?答案
【解】(1)在矩形 $ABCD$ 中,$\because AB=3\ \mathrm{cm},BC=4\ \mathrm{cm}$,$∠ B=90°$,$\therefore AC=5\ \mathrm{cm}$.
由题意知 $AP=2t\ \mathrm{cm}$,$CQ=t\ \mathrm{cm}$,$\therefore PC=(5-2t)\ \mathrm{cm}$.
(2)如图(1)
,$\because ∠ PCQ = ∠ ACB$,$\therefore $ 当 $∠ PQC = ∠ ABC = 90°$ 时, $△ CPQ ∽ △ CAB$,$\therefore \frac{PC}{AC}=\frac{CQ}{BC}$, 即 $\frac{5-2t}{5}=\frac{t}{4}$, 解得 $t=\frac{20}{13}$.如图(2)
,$\because ∠ PCQ = ∠ ACB$,$\therefore $ 当 $∠ CPQ = ∠ ABC = 90°$ 时, $△ CPQ ∽ △ CBA$,$\therefore \frac{CP}{CB}=\frac{CQ}{CA}$, 即 $\frac{5-2t}{4}=\frac{t}{5}$, 解得 $t=\frac{25}{14}$.综上所述,$t$ 为 $\frac{20}{13}$ 或 $\frac{25}{14}$ 时,$△ CPQ$ 与 $△ CAB$ 相似.
解析
【分析】
解决本题分两步思考：(1)首先利用矩形的直角性质，通过勾股定理计算出对角线AC的长度，再结合两个动点的运动速度和时间t，分别表示出CQ、AP的长度，进而得到CP的表达式；(2)由于△CPQ和△CAB有公共角∠C，要使两个三角形相似，只需再满足一组对应角相等，因此分两种情况讨论：①∠PQC=∠B=90°，②∠CPQ=∠B=90°，分别根据相似三角形对应边成比例列方程求解，最后验证解是否在0＜t＜2.5的范围内即可。
【解析】
(1) 在矩形ABCD中，∠B=90°，已知AB=3 cm，BC=4 cm，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\ \mathrm{cm}$
由题意可知，动点Q的速度为1 cm/s，运动t s的路程$CQ=t\ \mathrm{cm}$；
动点P的速度为2 cm/s，运动t s的路程$AP=2t\ \mathrm{cm}$，因此$CP=AC-AP=(5-2t)\ \mathrm{cm}$。
(2) 已知∠PCQ=∠ACB，△CPQ与△CAB相似分两种情况：
① 如图(1)，当∠PQC=∠ABC=90°时，$△ CPQ ∽ △ CAB$，
由相似三角形对应边成比例得：$\frac{PC}{AC}=\frac{CQ}{BC}$，
代入表达式得：$\frac{5-2t}{5}=\frac{t}{4}$，
解得$t=\frac{20}{13}$，经检验$\frac{20}{13}＜2.5$，符合题意。
② 如图(2)，当∠CPQ=∠ABC=90°时，$△ CPQ ∽ △ CBA$，
由相似三角形对应边成比例得：$\frac{CP}{CB}=\frac{CQ}{CA}$，
代入表达式得：$\frac{5-2t}{4}=\frac{t}{5}$，
解得$t=\frac{25}{14}$，经检验$\frac{25}{14}＜2.5$，符合题意。
综上所述，当t为$\frac{20}{13}$或$\frac{25}{14}$时，△CPQ与△CAB相似。
【答案】
(1) $t$；$5-2t$
(2) $\frac{20}{13}$或$\frac{25}{14}$
如图(1)
如图(2)
【知识点】
矩形的性质；相似三角形的判定；勾股定理
【点评】
本题是动点结合相似三角形的典型题型，解题核心是利用公共角简化相似的判定条件，对相似的对应关系进行分类讨论，求解后要注意验证结果是否符合动点的运动范围，避免漏解或出现不符合题意的解。
【难度系数】
0.6
解决本题分两步思考：(1)首先利用矩形的直角性质，通过勾股定理计算出对角线AC的长度，再结合两个动点的运动速度和时间t，分别表示出CQ、AP的长度，进而得到CP的表达式；(2)由于△CPQ和△CAB有公共角∠C，要使两个三角形相似，只需再满足一组对应角相等，因此分两种情况讨论：①∠PQC=∠B=90°，②∠CPQ=∠B=90°，分别根据相似三角形对应边成比例列方程求解，最后验证解是否在0＜t＜2.5的范围内即可。
【解析】
(1) 在矩形ABCD中，∠B=90°，已知AB=3 cm，BC=4 cm，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\ \mathrm{cm}$
由题意可知，动点Q的速度为1 cm/s，运动t s的路程$CQ=t\ \mathrm{cm}$；
动点P的速度为2 cm/s，运动t s的路程$AP=2t\ \mathrm{cm}$，因此$CP=AC-AP=(5-2t)\ \mathrm{cm}$。
(2) 已知∠PCQ=∠ACB，△CPQ与△CAB相似分两种情况：
① 如图(1)
，当∠PQC=∠ABC=90°时，$△ CPQ ∽ △ CAB$，由相似三角形对应边成比例得：$\frac{PC}{AC}=\frac{CQ}{BC}$，
代入表达式得：$\frac{5-2t}{5}=\frac{t}{4}$，
解得$t=\frac{20}{13}$，经检验$\frac{20}{13}＜2.5$，符合题意。
② 如图(2)
，当∠CPQ=∠ABC=90°时，$△ CPQ ∽ △ CBA$，由相似三角形对应边成比例得：$\frac{CP}{CB}=\frac{CQ}{CA}$，
代入表达式得：$\frac{5-2t}{4}=\frac{t}{5}$，
解得$t=\frac{25}{14}$，经检验$\frac{25}{14}＜2.5$，符合题意。
综上所述，当t为$\frac{20}{13}$或$\frac{25}{14}$时，△CPQ与△CAB相似。
【答案】
(1) $t$；$5-2t$
(2) $\frac{20}{13}$或$\frac{25}{14}$
如图(1)
如图(2)
【知识点】
矩形的性质；相似三角形的判定；勾股定理
【点评】
本题是动点结合相似三角形的典型题型，解题核心是利用公共角简化相似的判定条件，对相似的对应关系进行分类讨论，求解后要注意验证结果是否符合动点的运动范围，避免漏解或出现不符合题意的解。
【难度系数】
0.6
5[2026江苏南京质检]我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验，继续探索两个直角三角形相似的条件.
(1)“对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”.类似地你可以得到“满足
(2)“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地你可以得到“满足
请结合所给图形，写出已知，并完成证明过程.
已知:如图，
证明:Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.
(1)“对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”.类似地你可以得到“满足
一个锐角对应相等
，或两直角边对应成比例
，两个直角三角形相似”.(2)“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地你可以得到“满足
斜边和一条直角边对应成比例
的两个直角三角形相似”.请结合所给图形，写出已知，并完成证明过程.
已知:如图，
在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AB/A'B'=AC/A'C'
.证明:Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.
答案
【解】(1)满足一个锐角对应相等,或两直角边对应成比例,两个直角三角形相似.
(2)满足斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似.
已知:如图
,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 和 $\mathrm{Rt}△ A'B'C'$ 中, $∠ C = ∠ C' = 90°$,$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$.证明:设 $\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=k(k＞0)$, 则 $AB=kA'B',AC=kA'C'$. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 和 $\mathrm{Rt}△ A'B'C'$ 中, $\frac{BC}{B'C'}=\sqrt{\frac{AB^2-AC^2}{A'B'^2-A'C'^2}}=\sqrt{\frac{k^2A'B'^2-k^2A'C'^2}{A'B'^2-A'C'^2}}=k$,$\therefore \frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$,$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC ∽ \mathrm{Rt}△ A'B'C'$.
解析
【分析】
本题通过类比直角三角形全等的判定条件，推导直角三角形相似的判定条件，解题思路如下：
(1) 直角三角形本身有一个公共的直角相等，若再有一个锐角对应相等，就满足两角对应相等的相似判定条件；若两直角边对应成比例，它们的夹角为直角相等，满足两边对应成比例且夹角相等的相似判定条件，即可得到两三角形相似。
(2) 类比斜边直角边的全等判定，对应相似的条件是斜边和一条直角边对应成比例。证明时先设比例系数为k，将两个三角形的边用k关联，再通过勾股定理计算出第三边的比值，证明三边对应成比例，即可证得两个直角三角形相似。已知部分需明确两个三角形是直角三角形，且给出斜边和对应直角边的比例关系。
【解析】
(1) 直角三角形已有∠C=∠C'=90°，若一个锐角对应相等，则三个角都对应相等，符合两角对应相等的相似判定；若两直角边对应成比例，夹角为直角相等，符合两边对应成比例且夹角相等的相似判定，因此满足一个锐角对应相等，或两直角边对应成比例时，两个直角三角形相似。
(2) 类比HL全等判定，对应相似的条件为斜边和一条直角边对应成比例。
已知：如图，在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 和 $\mathrm{Rt}△ A'B'C'$ 中, $∠ C = ∠ C' = 90°$,$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$.
证明：设 $\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=k(k＞0)$, 则 $AB=kA'B',AC=kA'C'$。
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}$，$B'C'=\sqrt{A'B'^2-A'C'^2}$
因此 $\frac{BC}{B'C'}=\frac{\sqrt{AB^2-AC^2}}{\sqrt{A'B'^2-A'C'^2}}=\sqrt{\frac{k^2A'B'^2-k^2A'C'^2}{A'B'^2-A'C'^2}}=k$
可得 $\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$，即三边对应成比例
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC ∽ \mathrm{Rt}△ A'B'C'$
【答案】
(1) 一个锐角对应相等；两直角边对应成比例
(2) 斜边和一条直角边对应成比例
已知:如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 和 $\mathrm{Rt}△ A'B'C'$ 中, $∠ C = ∠ C' = 90°$,$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$.
证明:设 $\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=k(k＞0)$, 则 $AB=kA'B',AC=kA'C'$. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 和 $\mathrm{Rt}△ A'B'C'$ 中, $\frac{BC}{B'C'}=\sqrt{\frac{AB^2-AC^2}{A'B'^2-A'C'^2}}=\sqrt{\frac{k^2A'B'^2-k^2A'C'^2}{A'B'^2-A'C'^2}}=k$,$\therefore \frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$,$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC ∽ \mathrm{Rt}△ A'B'C'$.
【知识点】
相似三角形判定；直角三角形相似的判定；勾股定理
【点评】
本题运用类比思想，将直角三角形全等的判定迁移到相似判定中，既考查了对相似判定定理的理解，也锻炼了逻辑推导能力，证明过程中比例系数的设置和勾股定理的结合是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题通过类比直角三角形全等的判定条件，推导直角三角形相似的判定条件，解题思路如下：
(1) 直角三角形本身有一个公共的直角相等，若再有一个锐角对应相等，就满足两角对应相等的相似判定条件；若两直角边对应成比例，它们的夹角为直角相等，满足两边对应成比例且夹角相等的相似判定条件，即可得到两三角形相似。
(2) 类比斜边直角边的全等判定，对应相似的条件是斜边和一条直角边对应成比例。证明时先设比例系数为k，将两个三角形的边用k关联，再通过勾股定理计算出第三边的比值，证明三边对应成比例，即可证得两个直角三角形相似。已知部分需明确两个三角形是直角三角形，且给出斜边和对应直角边的比例关系。
【解析】
(1) 直角三角形已有∠C=∠C'=90°，若一个锐角对应相等，则三个角都对应相等，符合两角对应相等的相似判定；若两直角边对应成比例，夹角为直角相等，符合两边对应成比例且夹角相等的相似判定，因此满足一个锐角对应相等，或两直角边对应成比例时，两个直角三角形相似。
(2) 类比HL全等判定，对应相似的条件为斜边和一条直角边对应成比例。
已知：如图
，在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 和 $\mathrm{Rt}△ A'B'C'$ 中, $∠ C = ∠ C' = 90°$,$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$.证明：设 $\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=k(k＞0)$, 则 $AB=kA'B',AC=kA'C'$。
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}$，$B'C'=\sqrt{A'B'^2-A'C'^2}$
因此 $\frac{BC}{B'C'}=\frac{\sqrt{AB^2-AC^2}}{\sqrt{A'B'^2-A'C'^2}}=\sqrt{\frac{k^2A'B'^2-k^2A'C'^2}{A'B'^2-A'C'^2}}=k$
可得 $\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$，即三边对应成比例
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC ∽ \mathrm{Rt}△ A'B'C'$
【答案】
(1) 一个锐角对应相等；两直角边对应成比例
(2) 斜边和一条直角边对应成比例
已知:如图
,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 和 $\mathrm{Rt}△ A'B'C'$ 中, $∠ C = ∠ C' = 90°$,$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$.证明:设 $\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=k(k＞0)$, 则 $AB=kA'B',AC=kA'C'$. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 和 $\mathrm{Rt}△ A'B'C'$ 中, $\frac{BC}{B'C'}=\sqrt{\frac{AB^2-AC^2}{A'B'^2-A'C'^2}}=\sqrt{\frac{k^2A'B'^2-k^2A'C'^2}{A'B'^2-A'C'^2}}=k$,$\therefore \frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$,$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC ∽ \mathrm{Rt}△ A'B'C'$.
【知识点】
相似三角形判定；直角三角形相似的判定；勾股定理
【点评】
本题运用类比思想，将直角三角形全等的判定迁移到相似判定中，既考查了对相似判定定理的理解，也锻炼了逻辑推导能力，证明过程中比例系数的设置和勾股定理的结合是解题的关键。
【难度系数】
0.7
6[2025山东济南质检]如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=5,点E是边AD上一点,连接BE,CE.
(1)如图(1),当∠BEC=90°时,求AE的长度.
(2)如图(2),以BE为边在BE的左侧作矩形BEFG,且BG:BE=2:5,连接AG.
①求证:∠BAG=∠BCE;
②求证:AG⊥CE.
(1)如图(1),当∠BEC=90°时,求AE的长度.
(2)如图(2),以BE为边在BE的左侧作矩形BEFG,且BG:BE=2:5,连接AG.
①求证:∠BAG=∠BCE;
②求证:AG⊥CE.
答案
【解】(1) $\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形, $\therefore AB=CD=2$,$BC=AD=5$, $∠ A = ∠ D = 90°$. $\because ∠ BEC = 90°$,$\therefore ∠ AEB = 90° - ∠ DEC = ∠ DCE$,$\therefore △ ABE ∽ △ DEC$,$\therefore \frac{AB}{DE}=\frac{AE}{CD}$,$\therefore \frac{2}{5-AE}=\frac{AE}{2}$, 解得 $AE=4$ 或 $1$, 经检验,$AE=4$ 和 $AE=1$ 都是方程的解,且符合题意,$\therefore AE$ 的长度是4或1.
(2)【证明】①$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形, 四边形 $BEFG$ 是矩形, $\therefore ∠ ABC = ∠ GBE = 90°$,$\therefore ∠ ABC - ∠ ABE = ∠ GBE - ∠ ABE$, 即 $∠ EBC = ∠ ABG$. $\because AB=2$,$BC=5$,$BG:BE=2:5$,$\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{BG}{BE}$,$\therefore △ ABG ∽ △ CBE$,$\therefore ∠ BAG = ∠ BCE$.
②延长 $CE,GA$ 交于 $M$, 如图
.$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形,
$\therefore ∠ BAD = 90°$,$AD // BC$,
$\therefore ∠ BAG + ∠ MAE = 90°$,
$∠ MEA = ∠ BCE$.
由①知 $∠ BAG = ∠ BCE$,$\therefore ∠ BAG = ∠ MEA$,
$\therefore ∠ MEA + ∠ MAE = 90°$,$\therefore ∠ M = 90°$,$\therefore AG ⊥ CE$.
解析
【分析】
(1) 求AE的长度时，先借助矩形的性质得到对应边相等、角为直角，再结合∠BEC=90°推导得到相等的角，证明△ABE∽△DEC，最后利用相似三角形对应边成比例列方程求解即可。
(2) ①要证∠BAG=∠BCE，观察两角分别在△ABG和△CBE中，先利用矩形的直角推导得到夹角∠ABG=∠EBC，再结合已知的边的比例关系证明两个三角形相似，根据相似三角形对应角相等即可得证。
②要证AG⊥CE，可延长CE、GA交于点M，只需证明∠M=90°即可；借助矩形的性质得到角的互余关系，结合①得到的等角进行转换，即可推出∠MEA+∠MAE=90°，进而得到∠M为直角，证得垂直。
【解析】
(1) $\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形, $\therefore AB=CD=2$,$BC=AD=5$, $∠ A = ∠ D = 90°$.
$\because ∠ BEC = 90°$,$\therefore ∠ AEB + ∠ DEC = 90°$, 又$∠ DEC+∠ DCE=90°$,
$\therefore ∠ AEB = ∠ DCE$,$\therefore △ ABE ∽ △ DEC$,
$\therefore \frac{AB}{DE}=\frac{AE}{CD}$,$\therefore \frac{2}{5-AE}=\frac{AE}{2}$,
解得 $AE=4$ 或 $1$, 经检验,$AE=4$ 和 $AE=1$ 都是方程的解,且符合题意。
(2) ①$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形, 四边形 $BEFG$ 是矩形,
$\therefore ∠ ABC = ∠ GBE = 90°$,
$\therefore ∠ ABC - ∠ ABE = ∠ GBE - ∠ ABE$, 即 $∠ EBC = ∠ ABG$.
$\because AB=2$,$BC=5$,$BG:BE=2:5$,$\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{BG}{BE}$,
$\therefore △ ABG ∽ △ CBE$,$\therefore ∠ BAG = ∠ BCE$.
②延长 $CE,GA$ 交于 $M$, 如图.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形,
$\therefore ∠ BAD = 90°$,$AD // BC$,
$\therefore ∠ BAG + ∠ MAE = 90°$,
$∠ MEA = ∠ BCE$.
由①知 $∠ BAG = ∠ BCE$,$\therefore ∠ BAG = ∠ MEA$,
$\therefore ∠ MEA + ∠ MAE = 90°$,$\therefore ∠ M = 90°$,$\therefore AG ⊥ CE$.
【答案】
(1) $AE$的长度是4或1；
(2) ①②证明见解析，辅助线图。
【知识点】
矩形的性质，相似三角形的判定与性质，垂直的判定
【点评】
本题为几何综合题，将矩形性质与相似三角形的知识结合考查，解题核心是通过角的等量关系推导三角形相似，再利用相似的性质得到角的关系解决问题，对逻辑推导能力的要求适中。
【难度系数】
0.6
(1) 求AE的长度时，先借助矩形的性质得到对应边相等、角为直角，再结合∠BEC=90°推导得到相等的角，证明△ABE∽△DEC，最后利用相似三角形对应边成比例列方程求解即可。
(2) ①要证∠BAG=∠BCE，观察两角分别在△ABG和△CBE中，先利用矩形的直角推导得到夹角∠ABG=∠EBC，再结合已知的边的比例关系证明两个三角形相似，根据相似三角形对应角相等即可得证。
②要证AG⊥CE，可延长CE、GA交于点M，只需证明∠M=90°即可；借助矩形的性质得到角的互余关系，结合①得到的等角进行转换，即可推出∠MEA+∠MAE=90°，进而得到∠M为直角，证得垂直。
【解析】
(1) $\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形, $\therefore AB=CD=2$,$BC=AD=5$, $∠ A = ∠ D = 90°$.
$\because ∠ BEC = 90°$,$\therefore ∠ AEB + ∠ DEC = 90°$, 又$∠ DEC+∠ DCE=90°$,
$\therefore ∠ AEB = ∠ DCE$,$\therefore △ ABE ∽ △ DEC$,
$\therefore \frac{AB}{DE}=\frac{AE}{CD}$,$\therefore \frac{2}{5-AE}=\frac{AE}{2}$,
解得 $AE=4$ 或 $1$, 经检验,$AE=4$ 和 $AE=1$ 都是方程的解,且符合题意。
(2) ①$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形, 四边形 $BEFG$ 是矩形,
$\therefore ∠ ABC = ∠ GBE = 90°$,
$\therefore ∠ ABC - ∠ ABE = ∠ GBE - ∠ ABE$, 即 $∠ EBC = ∠ ABG$.
$\because AB=2$,$BC=5$,$BG:BE=2:5$,$\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{BG}{BE}$,
$\therefore △ ABG ∽ △ CBE$,$\therefore ∠ BAG = ∠ BCE$.
②延长 $CE,GA$ 交于 $M$, 如图
.$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形,
$\therefore ∠ BAD = 90°$,$AD // BC$,
$\therefore ∠ BAG + ∠ MAE = 90°$,
$∠ MEA = ∠ BCE$.
由①知 $∠ BAG = ∠ BCE$,$\therefore ∠ BAG = ∠ MEA$,
$\therefore ∠ MEA + ∠ MAE = 90°$,$\therefore ∠ M = 90°$,$\therefore AG ⊥ CE$.
【答案】
(1) $AE$的长度是4或1；
(2) ①②证明见解析，辅助线图
。【知识点】
矩形的性质，相似三角形的判定与性质，垂直的判定
【点评】
本题为几何综合题，将矩形性质与相似三角形的知识结合考查，解题核心是通过角的等量关系推导三角形相似，再利用相似的性质得到角的关系解决问题，对逻辑推导能力的要求适中。
【难度系数】
0.6
