1 新考法[2026广东深圳期末,中]同一平面内,有6个不同的点:A,B,C,D,E,F,点B在线段AC上,点E在线段DF上,若$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$,则下列结论:①$BE// CF$,②$AE// BF$,③$DB// EC$,其中一定正确的是 ()

A.①
B.②③
C.①②③
D.三个结论都不一定正确

1.D 【解析】如图所示,令$AB=BC=1,DE=EF=1$,则$\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{DE}{EF}$,由图可知$BE$不平行于$CF$,$AE$不平行于$BF$,$DB$不平行于$EC$,$\therefore$ ①②③均不一定正确.故选D.

【分析】
要判断结论是否一定正确，只要能找到符合题设条件但不满足结论的反例，即可说明结论不恒成立。题中仅给出点B在线段AC上、点E在线段DF上，且两组线段的比值相等，未对六个点的相对位置做更多约束，因此可以通过构造反例来验证三个结论是否成立。
【解析】
我们构造满足题设的反例：令$AB=BC=1$，可得$\frac{AB}{BC}=1$；再令$DE=EF=1$，可得$\frac{DE}{EF}=1$，符合$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$的条件。观察图形中点的位置，此时$BE$与$CF$不平行，$AE$与$BF$不平行，$DB$与$EC$也不平行，因此①②③三个结论都不一定正确。

【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例，平行线的判定，反例法应用
【点评】
本题易因忽略平行线分线段成比例定理的适用前提，直接由线段成比例判定两直线平行而错选，通过举反例的方法可以快速验证结论是否一定成立。
【难度系数】
0.5

2[2026重庆沙坪坝区质检,较难]如图,在△ABC中,∠ABC=45°,CD是AB边上的中线,将CD绕着点C顺时针旋转90°,得到CE,连接BE,交CD于点F.若BC=6,S△ABC=12,则BE=()

A.$4\sqrt{6}$
B.$3\sqrt{10}$
C.9
D.$4\sqrt{5}$

(第2题图)
(第3题图)

2.D 【解析】过$E$作$EM ⊥ BC$交$BC$延长线于$M$,过$A$作$AH ⊥ BC$于$H$,过$D$作$DN ⊥ BC$于$N$.$\because S_{△ ABC}=12$,$BC=6$,$\therefore S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}BC · AH=3AH=12$,解得$AH=4$.$\because AH ⊥ BC$,$∠ ABC=45°$,$\therefore ∠ ABH=∠ BAH=45°$,$\therefore BH=AH=4$.$\because AH ⊥ BC$,$DN ⊥ BC$,$\therefore DN//AH$,$\therefore \dfrac{BN}{HN}=\dfrac{BD}{AD}$.又$\because D$为$AB$中点,$\therefore BD=AD$,$\therefore \dfrac{BN}{HN}=\dfrac{BD}{AD}=1$,$\therefore BN=HN$,$\therefore DN$为$△ ABH$的中位线,$\therefore DN=\dfrac{1}{2}AH=2$.$\because BC=6$,$BH=4$,$BN=HN$,$\therefore BN=HN=HC=2$.$\because$ 将$CD$绕着点$C$顺时针旋转$90°$,得到$CE$,$\therefore CD=CE$,$∠ DCE=90°$,$\therefore ∠ NCD+∠ ECM=90°$.又$\because EM ⊥ BC$,$\therefore ∠ CEM+∠ ECM=90°$,$\therefore ∠ NCD=∠ CEM$.在$△ CND$和$△ EMC$中,$\begin{cases}∠ NCD=∠ CEM,\\∠ CND=∠ CME=90°,\\CD=CE,\end{cases}$$\therefore △ CND ≌ △ EMC(\mathrm{AAS})$,$\therefore CN=EM=HN+HC=4$,$DN=CM=2$.在$\mathrm{Rt}△ BEM$中,$BE=\sqrt{BM^2+EM^2}=\sqrt{(6+2)^2+4^2}=4\sqrt{5}$.故选D.

【分析】
要解决这道题，我们可以按以下思路逐步推导：1. 先利用△ABC的面积和BC边长，求出BC边上的高AH，再结合∠ABC=45°得到等腰直角△ABH，求出BH的长度；2. 过D作DN⊥BC，利用D是AB中点的条件，可知DN是△ABH的中位线，进而求出DN、BN、NC的长度；3. 结合旋转的性质，得到CD=CE、∠DCE=90°，通过“同角的余角相等”得到等角，证明△CND和△EMC全等，求出EM、CM的长度；4. 最后在Rt△BEM中用勾股定理计算BE的长度。
【解析】
过$E$作$EM ⊥ BC$交$BC$延长线于$M$，过$A$作$AH ⊥ BC$于$H$，过$D$作$DN ⊥ BC$于$N$。
$\because S_{△ ABC}=12$，$BC=6$，
$\therefore S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}BC · AH=3AH=12$，解得$AH=4$。
$\because AH ⊥ BC$，$∠ ABC=45°$，
$\therefore ∠ ABH=∠ BAH=45°$，$\therefore BH=AH=4$。
$\because AH ⊥ BC$，$DN ⊥ BC$，$\therefore DN// AH$，
$\therefore \dfrac{BN}{HN}=\dfrac{BD}{AD}$。
又$\because D$为$AB$中点，$\therefore BD=AD$，
$\therefore \dfrac{BN}{HN}=\dfrac{BD}{AD}=1$，$\therefore BN=HN$，即$DN$为$△ ABH$的中位线，
$\therefore DN=\dfrac{1}{2}AH=2$。
$\because BC=6$，$BH=4$，$BN=HN$，
$\therefore BN=HN=2$，$HC=BC-BH=2$，$\therefore CN=HN+HC=4$。
$\because$ 将$CD$绕着点$C$顺时针旋转$90°$得到$CE$，
$\therefore CD=CE$，$∠ DCE=90°$，$\therefore ∠ NCD+∠ ECM=90°$。
又$\because EM ⊥ BC$，$\therefore ∠ CEM+∠ ECM=90°$，
$\therefore ∠ NCD=∠ CEM$。
在$△ CND$和$△ EMC$中，
$\begin{cases}∠ NCD=∠ CEM,\\∠ CND=∠ CME=90°,\\CD=CE,\end{cases}$
$\therefore △ CND ≌ △ EMC(\mathrm{AAS})$，
$\therefore CN=EM=4$，$DN=CM=2$。
$\therefore BM=BC+CM=6+2=8$，
在$\mathrm{Rt}△ BEM$中，$BE=\sqrt{BM^2+EM^2}=\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何综合题，解题的关键是合理作出辅助线，利用中位线性质、旋转性质构造全等三角形，将分散的已知条件转化到同一个直角三角形中求解，对辅助线构造能力和逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.4

3 [中]如图，BE是$△ ABC$的中线，点F在BE上，连接AF并延长交BC于点D. 若$BF=3FE$，$BD=3$，则$DC=$.

3.2
【解析】如图,过点$E$作$EP//AD$交$BC$于点$P$.
$\because BE$是$△ ABC$的中线,$\therefore AE=CE$,$\therefore DP=CP$.
$\because EP//DF$,$\therefore \dfrac{BD}{DP}=\dfrac{BF}{EF}=3$,$\therefore BD=3DP=3$,$\therefore DP=1$,
$\therefore DC=2DP=2$.

【分析】
遇到含线段比例、三角形中线，求线段长度的问题，可通过构造平行线，利用平行线分线段成比例定理转化比例关系求解。首先观察已知条件：BE是△ABC的中线可得E是AC中点，已知BF:FE=3:1，要求DC的长度，我们可以过E作EP平行于AD，既可以结合E是中点得到DC和DP的关系，又能结合BF:FE的比例得到BD和DP的关系，进而求出DP，最终得到DC的长度。
【解析】
如图，过点$E$作$EP// AD$交$BC$于点$P$。
$\because BE$是$△ ABC$的中线，$\therefore E$是$AC$的中点，即$AE=CE$。
$\because EP// AD$，根据平行线分线段成比例定理，可得$\dfrac{DP}{CP}=\dfrac{AE}{CE}=1$，$\therefore DP=CP$。
$\because EP// DF$，同理可得$\dfrac{BD}{DP}=\dfrac{BF}{EF}=3$。
已知$BD=3$，代入得$3=3DP$，解得$DP=1$。
$\therefore DC=DP+CP=2DP=2$。

【答案】
$2$
【知识点】
平行线分线段成比例定理，三角形中线的定义，比例线段计算
【点评】
本题是比例线段应用的典型题型，核心考查平行线分线段成比例定理的运用，解题关键是合理构造平行线辅助线，将已知的线段比例关系转化为和所求线段相关的比例，这类构造平行的解题技巧需要熟练掌握。
【难度系数】
0.6

4[2026四川成都质检,中]△ABC中,点D是BC边上的一点,点F在AD上,连接BF并延长交AC于点E.
(1)如图(1),点D是BC中点,点F是AD中点,DG//BE交AC于点G,求证:$\frac{AE}{EC}=\frac{1}{2}$;
(2)如图(2),若BD:DC=1:4,AF:FD=3:2,求AE:EC的值;
(3)若F为AD的中点,设$\frac{BD}{BC}=m$,$\frac{AE}{AC}=n$,请求出m,n之间的等量关系.

4.(1)【证明】$\because$ 点$D$是$BC$中点,$\therefore BD=CD$.
$\because DG//BE$交$AC$于点$G$,$\therefore EG=CG=\dfrac{1}{2}EC$.
又$\because$ 点$F$是$AD$中点,$\therefore AF=FD$.
$\because DG//BE$,$\therefore AE=EG=\dfrac{1}{2}EC$,$\therefore \dfrac{AE}{EC}=\dfrac{1}{2}$.
(2)【解】如图(1),过点$D$作$DG//BE$交$AC$于$G$.
$\because \dfrac{BD}{DC}=\dfrac{1}{4}$,$\therefore \dfrac{EG}{GC}=\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{1}{4}$,$\therefore \dfrac{EG}{EC}=\dfrac{1}{5}$.
$\because \dfrac{AF}{FD}=\dfrac{3}{2}$,$DG//EF$,$\therefore \dfrac{AE}{EG}=\dfrac{AF}{FD}=\dfrac{3}{2}$,
即$EG=\dfrac{2}{3}AE$,$\therefore \dfrac{EG}{EC}=\dfrac{\dfrac{2}{3}AE}{EC}=\dfrac{1}{5}$,$\therefore \dfrac{AE}{EC}=\dfrac{3}{10}$,
即$AE:EC$的值为$\dfrac{3}{10}$.

(3)如图(2),过点$D$作$DG//BE$交$AC$于$G$.
$\because \dfrac{BD}{BC}=m$,$\therefore \dfrac{EG}{EC}=\dfrac{BD}{BC}=m$.
$\because$ 点$F$是$AD$中点,$\therefore AF=FD$.
$\because DG//BE$,$\therefore AE=EG$,$\therefore \dfrac{AE}{EC}=\dfrac{EG}{EC}=m$,$\therefore \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{m}{m+1}$.
$\because \dfrac{AE}{AC}=n$,$\therefore \dfrac{m}{m+1}=n$.

【分析】
本题三个小问均围绕平行线分线段成比例定理展开，核心解题思路是过点D作DG平行于BE，构造对应的比例模型：
(1) 已知中点和平行线，可结合平行线分线段成比例和中点性质，得到AE、EG、GC的等量关系，直接推出AE与EC的比值；
(2) 给出两组线段比例，先通过DG//BE分别在△BCE、△ADG中得到EG与GC、AE与EG的比例关系，将EG作为中间量换算，即可得到AE和EC的比值；
(3) 沿用前两问的辅助线思路，先根据$\frac{BD}{BC}=m$得到EG与EC的比例，再结合F是AD中点得AE=EG，最后根据$\frac{AE}{AC}=n$的定义整理，即可得到m和n的等量关系。
【解析】
(1) 证明：
$\because$ 点$D$是$BC$中点，$\therefore BD=CD$。
$\because DG//BE$交$AC$于点$G$，由平行线分线段成比例可得$EG=CG=\dfrac{1}{2}EC$。
又$\because$ 点$F$是$AD$中点，$\therefore AF=FD$。
$\because DG//BE$，同理可得$AE=EG=\dfrac{1}{2}EC$，
$\therefore \dfrac{AE}{EC}=\dfrac{1}{2}$。
(2) 解：
如图(1)，过点$D$作$DG//BE$交$AC$于$G$。
$\because \dfrac{BD}{DC}=\dfrac{1}{4}$，$DG//BE$，由平行线分线段成比例得$\dfrac{EG}{GC}=\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{1}{4}$，
$\therefore \dfrac{EG}{EC}=\dfrac{1}{5}$。
$\because \dfrac{AF}{FD}=\dfrac{3}{2}$，$DG//EF$，同理得$\dfrac{AE}{EG}=\dfrac{AF}{FD}=\dfrac{3}{2}$，即$EG=\dfrac{2}{3}AE$，
代入$\dfrac{EG}{EC}=\dfrac{1}{5}$得$\dfrac{\dfrac{2}{3}AE}{EC}=\dfrac{1}{5}$，解得$\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{3}{10}$，
即$AE:EC$的值为$\dfrac{3}{10}$。

(3) 解：
如图(2)，过点$D$作$DG//BE$交$AC$于$G$。
$\because \dfrac{BD}{BC}=m$，$DG//BE$，由平行线分线段成比例得$\dfrac{EG}{EC}=\dfrac{BD}{BC}=m$。
$\because$ 点$F$是$AD$中点，$\therefore AF=FD$，
$\because DG//BE$，$\therefore AE=EG$，
$\therefore \dfrac{AE}{EC}=\dfrac{EG}{EC}=m$，即$\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{m}{m+1}$。
$\because \dfrac{AE}{AC}=n$，
$\therefore \dfrac{m}{m+1}=n$。

【答案】
(1) $\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{1}{2}$，证明成立；
(2) $AE:EC=\dfrac{3}{10}$
(3) $\dfrac{m}{m+1}=n$
【知识点】
平行线分线段成比例，比例运算，中点性质
【点评】
本题是平行线分线段成比例应用的典型题型，通用辅助线作法为作平行线构造比例线段，通过中间量转换不同线段的比例关系，既考查了定理的应用能力，也锻炼了比例换算的运算能力，解题思路连贯性强，有助于掌握同类几何比例问题的解法。
【难度系数】
0.6

5 核心素养推理能力[2026山西长治期中,较难]阅读材料,并解决问题.
角平分线分线段成比例定理:如图(1),在$△ ABC$中,AD平分$∠ BAC$,则$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$,下面是这个定理的部分证明过程.
证明:如图(2),过点C作$CE// DA$,交BA的延长线于点E.
任务:
(1)请按照上面的证明思路,写出完整的证明过程;
(2)填空:如图(3),已知$Rt△ ABC$中,$AB=3$,$BC=4$,$∠ ABC=90°$,AD平分$∠ BAC$,则BD的长是;
(3)如图(4),在$△ ABC$中,E是BC的中点,AD是$∠ BAC$的平分线,$EF// AD$交AC于点F,$AB=7$,$AC=15$,求AF的长.

5.(1)【证明】过点$C$作$CE//DA$,交$BA$的延长线于点$E$.
$\because CE//DA,\therefore \dfrac{BD}{CD}=\dfrac{BA}{EA}$,$∠ 2=∠ ACE$,$∠ 1=∠ E$.
$\because ∠ 1=∠ 2,\therefore ∠ ACE=∠ E$,
$\therefore AE=AC$,$\therefore \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{CD}$.
(2)【解】$\because \mathrm{Rt}△ ABC$中,$AB=3$,$BC=4$,$∠ ABC=90°$,$AD$平分$∠ BAC$,$\therefore$ 由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=5$,由角平分线分线段成比例定理得$AC:AB=CD:BD$,$\therefore 5:3=CD:BD$,$\therefore BD=\dfrac{3}{8}BC=\dfrac{3}{2}$,故答案为$\dfrac{3}{2}$.
(3)$\because AD$是$∠ BAC$的平分线,$AB=7$,$AC=15$,$\therefore \dfrac{BD}{CD}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{7}{15}$.
$\because E$是$BC$的中点,$\therefore \dfrac{CE}{CD}=\dfrac{\dfrac{7+15}{2}}{15}=\dfrac{11}{15}$.
$\because EF//AD$,$\therefore \dfrac{CF}{CA}=\dfrac{CE}{CD}=\dfrac{11}{15}$,$\therefore CF=\dfrac{11}{15}CA=11$.
$\because AC=15$,$\therefore AF=4$.

【分析】
(1) 要证明角平分线分线段成比例，按照给出的辅助线思路，先利用平行线性质得到同位角、内错角相等，结合角平分线的定义推出等角，利用等角对等边得到AE=AC，再结合平行线分线段成比例的结论等量代换即可得证；
(2) 先在直角三角形中用勾股定理求出斜边AC的长度，再直接应用角平分线分线段成比例定理得到BD与CD的比值，结合BC的总长度即可求出BD；
(3) 首先应用角平分线分线段成比例定理得到BD与CD的比，结合E是BC中点的条件求出CE与CD的比值，再利用EF//AD得到平行线分线段成比例的关系求出CF的长度，最后用AC总长减去CF即可得到AF的长度。
【解析】
(1) 证明：过点$C$作$CE//DA$，交$BA$的延长线于点$E$。
$\because CE//DA,\therefore \dfrac{BD}{CD}=\dfrac{BA}{EA}$，$∠ 2=∠ ACE$，$∠ 1=∠ E$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，$\therefore ∠ 1=∠ 2$，$\therefore ∠ ACE=∠ E$，
$\therefore AE=AC$，$\therefore \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{CD}$。
(2) 解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AB=3$，$BC=4$，
由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
$\because AD$平分$∠ BAC$，由角平分线分线段成比例定理得$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{CD}$，即$\dfrac{3}{5}=\dfrac{BD}{CD}$，
设$BD=3x$，$CD=5x$，则$3x+5x=4$，解得$x=\dfrac{1}{2}$，
$\therefore BD=3x=\dfrac{3}{2}$。
(3) 解：$\because AD$是$∠ BAC$的平分线，$AB=7$，$AC=15$，
由角平分线分线段成比例定理得$\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{7}{15}$，
设$BD=7k$，$CD=15k(k＞0)$，则$BC=BD+CD=22k$，
$\because E$是$BC$的中点，$\therefore CE=\dfrac{1}{2}BC=11k$，
$\therefore \dfrac{CE}{CD}=\dfrac{11k}{15k}=\dfrac{11}{15}$，
$\because EF//AD$，$\therefore \dfrac{CF}{CA}=\dfrac{CE}{CD}=\dfrac{11}{15}$，
$\therefore CF=\dfrac{11}{15}× AC=\dfrac{11}{15}×15=11$，
$\therefore AF=AC-CF=15-11=4$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $\boldsymbol{\dfrac{3}{2}}$；
(3) $\boldsymbol{4}$
【知识点】
角平分线分线段成比例、平行线分线段成比例、勾股定理
【点评】
本题以新定理的证明与应用为背景，考查了平行线性质、勾股定理等基础知识的综合运用，需要学生具备一定的逻辑推理能力和知识迁移能力，能灵活将新学定理应用到几何计算中。
【难度系数】
0.6