1 下列关于圆心角的说法，正确的是 （）

A.顶点在圆上的角是圆心角
B.圆心角的两边一定与圆相交
C.圆心角的度数可以大于 $360°$
D.圆上任意两点与圆心连接形成的角不是圆心角

1.B

【分析】
解题的核心是熟练掌握圆心角的定义，明确圆心角的两个判断标准：①顶点必须在圆心位置；②角的两条边都要与圆相交。解题时逐一将选项和圆心角的定义、性质对比，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确圆心角的定义：顶点在圆心，且两边都与圆相交的角叫做圆心角。
对各选项逐一分析：
A. 顶点在圆上的角是圆周角，不符合圆心角“顶点在圆心”的要求，该选项错误；
B. 圆心角的顶点在圆心，两边是半径所在的射线，必然与圆相交，该选项正确；
C. 初中阶段研究的圆心角度数范围为$0°＜圆心角≤360°$，不可以大于$360°$，该选项错误；
D. 圆上任意两点与圆心连接形成的角，顶点为圆心，两边是过这两点的半径，完全符合圆心角的定义，属于圆心角，该选项错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
圆心角的定义；圆周角的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点区分圆心角和圆周角的定义，只要牢记圆心角的两个判断要点就能准确作答，注意不要混淆两类角的顶点位置要求。
【难度系数】
0.85

2在$\odot O$中,要判定一个角是圆心角,需同时满足两个条件:① 顶点与________重合;② 角的两边都与圆________.

2. ① 圆心O ② 相交

【分析】
本题考查圆心角的定义相关内容，解题时首先回忆圆心角的概念构成要素：圆心角的核心特征首先是顶点的位置，其次是角的两边和圆的位置关系。根据定义，首先顶点必须落在圆的圆心处，也就是与圆心O重合；其次角的两边作为射线，需要都和圆产生交点，即两边都与圆相交，对应两个条件直接填空即可。
【解析】
根据圆心角的定义：顶点在圆心，且两边都和圆相交的角叫做圆心角。因此判定圆心角的两个条件分别为：①顶点与圆心O重合；②角的两边都与圆相交。
【答案】
① 圆心O ② 相交
【知识点】
圆心角的定义
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，难度较低，主要考查对基础几何概念的掌握情况，牢记核心定义即可快速作答。
【难度系数】
0.9

3 教材变式题 如图，AB是$\odot O$的直径，C，D是$\overset{\frown}{BE}$的三等分点，$∠ AOE = 60°$，则$∠ COE$的度数为（）

A.$40°$
B.$60°$
C.$80°$
D.$120°$
（第3题）

3.C

【分析】
解题时首先结合直径的性质得到平角∠AOB=180°，先求出∠EOB的度数；再根据同圆中相等的弧对应的圆心角相等的性质，结合C、D是弧BE的三等分点，将∠EOB平均分成3份，最后计算∠COE的度数即可。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ AOB=180°$，
∵$∠ AOE=60°$，
∴$∠ EOB=∠ AOB-∠ AOE=180°-60°=120°$，
∵C，D是$\overset{\frown}{BE}$的三等分点，
∴$\overset{\frown}{ED}=\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{CB}$，
∴对应的圆心角$∠ EOD=∠ DOC=∠ COB=\frac{1}{3}∠ EOB=\frac{1}{3}×120°=40°$，
∴$∠ COE=∠ EOD+∠ DOC=40°+40°=80°$。
【答案】
C
【知识点】
圆心角与弧的关系、平角的定义
【点评】
本题是基础类题型，重点考查同圆中弧与圆心角的对应关系，解题的关键是先求出弧BE对应的圆心角度数，再结合三等分点的性质计算所求角，熟练掌握圆心角的相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.7

4 如图，A，B，C，D是$\odot O$上的点，且$AB=CD$，$∠ AOC=35°$，则$∠ BOD=$.

4.$35°$

【分析】
解题时首先回忆同圆中弦和圆心角的关系：同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等。已知AB=CD，可得它们所对的圆心角∠AOB和∠COD相等；观察两个角的组成，两个角同时减去公共部分∠COB，剩余的角相等，即可推出∠AOC=∠BOD，代入已知角度就能得到结果。
【解析】
解：
∵ 在$\odot O$中，弦$AB=CD$，
∴ 相等的弦所对的圆心角相等，即$∠ AOB=∠ COD$，
∴ $∠ AOB - ∠ COB = ∠ COD - ∠ COB$，
即$∠ AOC=∠ BOD$，
又
∵ $∠ AOC=35°$，
∴ $∠ BOD=35°$。
【答案】
$35°$
【知识点】
1. 圆心角与弦的关系
2. 角的和差计算
【点评】
本题是基础类题目，重点考查同圆中弦与对应圆心角的等量关系，解题的关键是通过角的和差转化得到待求角和已知角的等量关系，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85

5 下列命题中，正确的是 （）

A.相等的圆心角所对的弦相等
B.相等的圆心角所对的弧相等
C.若两条弦相等，则两条弦所对的弧也相等
D.在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等

5.D

【分析】
本题考查圆心角、弧、弦的关系定理，解题的关键是牢记三者的相等关系必须在“同圆或等圆”的前提条件下才成立。我们逐一分析每个选项是否符合定理要求，即可选出正确命题。
【解析】
我们逐个判断选项：
A. 相等的圆心角所对的弦相等：缺少“同圆或等圆”的前提，不同半径的圆中，相等的圆心角对应的弦长度不相等，故A错误；
B. 相等的圆心角所对的弧相等：同样缺少“同圆或等圆”的前提，不同半径的圆中，相等的圆心角对应的弧长不相等，故B错误；
C. 若两条弦相等，则两条弦所对的弧也相等：一方面缺少“同圆或等圆”的前提，另一方面，即使在同圆或等圆中，一条弦对应优弧和劣弧两条弧，相等的弦所对的弧不一定相等，故C错误；
D. 在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等：首先“相等的弧”本身就隐含了同圆或等圆的条件（等弧定义为可完全重合的弧，仅能存在于同圆或等圆中），结合圆心角与弧的关系，相等的弧对应的圆心角一定相等，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
1.圆心角、弧、弦的关系 2.等弧的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，常见的易错点是忽略圆心角、弦相等推导弧相等，或圆心角、弧相等推导弦相等时的“同圆或等圆”前提，还要注意一条弦对应两条不同的弧，避免误判C选项。
【难度系数】
0.7

6（易错题）如图，在$\odot O$中，若$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$，则下列关于弦AB与弦AC之间的关系正确的是（）

A.$AB=AC$
B.$AB＞2AC$
C.$AB=2AC$
D.$AB＜2AC$

6.D
易错分析：对弧、弦、圆心角的关系理解有误致错。

【分析】
看到弧的倍数关系时，不能直接认为对应的弦也具备相同的倍数关系。解题思路如下：第一步，将2倍的$\overset{\frown}{AB}$拆分为两段相等的弧，使每段弧的长度等于$\overset{\frown}{AC}$的长度；第二步，根据同圆中等弧对等弦的性质，得到拆分后两段弧对应的弦与$AC$长度相等；第三步，将这两条相等的弦与$AB$构造到同一个三角形中，利用三角形三边关系判断$AB$和$2AC$的大小关系。
【解析】
取$\overset{\frown}{AB}$的中点$D$，连接$AD$、$BD$。
$\because \overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$，
$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AC}$，
根据同圆中等弧对等弦的性质，可得$AD=BD=AC$。
在$△ ABD$中，由三角形三边关系：两边之和大于第三边，得$AD+BD＞AB$。
将$AD=BD=AC$代入上式，得$AC+AC＞AB$，即$AB＜2AC$。
故选$\boldsymbol{D}$。
【答案】
D
【知识点】
1. 等弧对等弦
2. 三角形三边关系
【点评】
本题是易错题，很多同学会错误地认为弧长为2倍时对应弦长也为2倍，解题的核心是通过拆分弧构造等弦，结合三角形三边关系比较大小，注意弧的倍数关系与弦的倍数关系并不对等。
【难度系数】
0.6

7 如图,等腰三角形ABC的顶角∠CAB=50°,以腰AB为直径作半圆,交BC于点D,交AC于点E,则$\overset{\frown}{DE}$所对的圆心角的度数为（）

A.$25°$
B.$35°$
C.$50°$
D.$65°$

7.C

【分析】
要求$\overset{\frown}{DE}$所对的圆心角的度数，可结合等腰三角形和圆的性质逐步推导：首先利用直径所对圆周角为直角的性质，结合等腰三角形三线合一得到$\overset{\frown}{DE}$对应的圆周角，再根据圆周角和圆心角的数量关系即可求出圆心角度数；也可通过连接圆心与D、E点，利用等腰三角形内角和直接计算圆心角。
【解析】
连接AD，
1. 因为AB为半圆的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”，可得$∠ ADB=90°$，即$AD⊥ BC$。
2. 已知$△ ABC$是等腰三角形，顶角$∠ CAB=50°$，$AB=AC$，根据等腰三角形三线合一的性质，AD平分$∠ BAC$，因此$∠ DAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×50°=25°$。
3. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，$∠ DAE$是$\overset{\frown}{DE}$所对的圆周角，因此$\overset{\frown}{DE}$所对的圆心角为$2×25°=50°$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质，圆周角定理，直径的性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是合理添加辅助线，搭建已知条件和待求量之间的联系，需要熟练掌握等腰三角形和圆的核心基础性质。
【难度系数】
0.7

8 教材变式题 如图，在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，且$∠ A=40°$，则$∠ C$的度数为。

8.$70°$

【分析】
解题时首先结合已知条件分析：在同圆中$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，根据圆的基本性质，相等的弧所对的圆周角相等，可直接推出$∠ B=∠ C$，即$△ ABC$为等腰三角形。再结合已知$∠ A=40°$，利用三角形内角和为$180°$，即可计算出底角$∠ C$的度数。
【解析】
解：
∵在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，
∴同圆中相等的弧所对的圆周角相等，可得$∠ B=∠ C$。
∵三角形内角和为$180°$，且$∠ A=40°$，
∴$∠ C=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$。
【答案】
$70°$
【知识点】
弧与圆周角的关系；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础的角度计算类题目，将圆的基本性质和三角形的性质结合考查，解题的核心是通过等弧推导得到两个底角相等的关系，整体思路比较直接。
【难度系数】
0.8

9 如图，MN是$\odot O$的直径，A是半圆上靠近点N的一个三等分点，B是$\overset{\frown}{AN}$的中点，$B'$是点B关于MN的对称点.若$\odot O$的半径为1，则$AB'$的长为.

9.$\sqrt{2}$

【分析】要求弦$AB'$的长度，已知圆半径为1，可先计算$AB'$对应的圆心角的度数，再结合半径利用勾股定理求解。首先根据三等分点、弧中点、对称点的性质，依次算出各段弧对应的圆心角，得到$∠AOB'$的度数，再在$△ AOB'$中计算$AB'$的长度。
【解析】解：连接$OB'$，
∵ $MN$是$\odot O$的直径，$A$是半圆上靠近点$N$的三等分点，
∴ $∠AON = 180°÷3 = 60°$，
∵ $B$是$\overset{\frown}{AN}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{BN}$的度数$=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AN}$的度数$=30°$，
∵ $B'$是点$B$关于$MN$的对称点，
∴ $\overset{\frown}{B'N}$的度数$=\overset{\frown}{BN}$的度数$=30°$，
∴ $∠AOB' = ∠AON + ∠NOB' = 60°+30°=90°$，
又
∵ $OA=OB'=r=1$，
∴ 在$Rt△ AOB'$中，$AB' = \sqrt{OA^2 + OB'^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$。
【答案】$\sqrt{2}$
【知识点】圆心角与弧的关系，轴对称的性质，勾股定理
【点评】本题核心是利用圆中弧与圆心角的对应关系，结合轴对称性质求出目标弦对应的圆心角，再利用勾股定理计算弦长，解题思路清晰，属于圆的基础应用类题目。
【难度系数】0.7

10 如图，在$\odot O$中，弦$AB$与$CD$相交于点$E$，$AB=CD$，连接$AD$，$BC$。求证：
(1) $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$；
(2) $AE=CE$。

10. (1) $\because AB=CD,\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}.\therefore \overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{AC}$,即$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$
(2) 连接$BD$. $\because \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC},\therefore AD=CB$. 又$\because AB=CD,BD=DB,\therefore △ ABD≌△ CDB.\therefore ∠ A=∠ C$. 又$\because ∠ AED=∠ CEB,AD=CB,\therefore △ ADE≌△ CBE.\therefore AE=CE$

【分析】
(1) 要证明$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，已知弦$AB=CD$，根据同圆中相等的弦所对的弧相等，可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，两段弧同时减去公共的$\overset{\frown}{AC}$，即可推出待证结论；
(2) 要证明$AE=CE$，可通过证明$△ ADE$和$△ CBE$全等推导。由(1)的弧相等结论可得弦$AD=CB$，先通过SSS证明$△ ABD≌△ CDB$得到$∠ A=∠ C$，再结合对顶角相等的性质，即可用AAS证明两个小三角形全等，从而得到对应边$AE=CE$。
【解析】
(1) 在$\odot O$中，相等的弦对应相等的弧，
$\because AB=CD$，$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore \overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{AC}$，即$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$。
(2) 连接$BD$，
同圆中相等的弧对应相等的弦，$\because \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，$\therefore AD=CB$，
在$△ ABD$和$△ CDB$中，$AD=CB$，$AB=CD$，$BD=DB$，
$\therefore △ ABD≌△ CDB(\mathrm{SSS})$，$\therefore ∠ A=∠ C$，
在$△ ADE$和$△ CBE$中，$∠ A=∠ C$，$∠ AED=∠ CEB$，$AD=CB$，
$\therefore △ ADE≌△ CBE(\mathrm{AAS})$，$\therefore AE=CE$。
【答案】
(1) $\because AB=CD,\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}.\therefore \overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{AC}$,即$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$
(2) 连接$BD$. $\because \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC},\therefore AD=CB$. 又$\because AB=CD,BD=DB,\therefore △ ABD≌△ CDB.\therefore ∠ A=∠ C$. 又$\because ∠ AED=∠ CEB,AD=CB,\therefore △ ADE≌△ CBE.\therefore AE=CE$
【知识点】
弧弦对等关系、全等三角形判定与性质、对顶角性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心考查圆内弦与弧的等量转换规律，以及全等三角形的应用，解题时需灵活运用圆的基本性质实现弧、弦的条件转化，通过全等三角形证明线段相等是圆章节的常用解题思路。
【难度系数】
0.7