8. 如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,C为$\overset{\frown}{BD}$的中点.若$∠ A=50°$,则$∠ CBD$的度数为.

(第8题)
(第9题)
(第10题)
(第11题)

8. $25°$

9. 如图,AB是$\odot O$的直径,CD是弦.若$∠ BCD=32°$,则$∠ ABD$的度数为.

9. $58°$

10. 如图,AB是圆的直径,$∠ 1$、$∠ 2$、$∠ 3$、$∠ 4$的顶点均在AB上方的圆弧上,$∠ 1$、$∠ 4$的一边分别
经过点A、B,则$∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4=$°.
素养拓展

10. 90

11. 如图,在$\odot O$中,AB为直径,C为圆上一点,将劣弧AC沿弦AC翻折,交AB于点D不与点O
重合,连接CD.若$∠ BAC=23°$,则$∠ ACD$的度数为.

11. $44°$

12. [新定义]在平面直角坐标系xOy中,$\odot O$的半径为1,对于点P、点A和$\odot O$,给出下面定义:
将点P绕点A顺时针旋转$90°$得到点$P'$,若点$P'$在$\odot O$上或内部,则称点P为$\odot O$关于点A
的旋垂点.
(1) 如图1,若点A(2,2),
①在点$P_{1}(4,0)$、$P_{2}(4,1)$中,为$\odot O$关于点A的旋垂点是;
②点P是x轴上的动点,且点P为$\odot O$关于点A的旋垂点,则点P横坐标的最大值
是;
(2)如图2,若点A(-2,0),直线$y=x+b$上存在$\odot O$关于点A的旋垂点,求b的取值范围.

12. (1) ①$P_{1}$、$P_{2}$ ②5 (2) $\dfrac{7-\sqrt{3}}{2}≤ b≤ \dfrac{7+\sqrt{3}}{2}$