1.已知二次函数$y=x^2+bx+c$（$b$，$c$为常数），若$b+c=0$，则它的图象经过的定点坐标为（）

A.$(1,1)$
B.$(1,-1)$
C.$(-1,1)$
D.$(-1,-1)$

1.A

2. (1)抛物线$y=x^2 - mx - m -1$经过定点的坐标为________；
(2)抛物线$y=x^2 + (a -1)x -a$经过定点的坐标为________；
(3)抛物线$y=px^2 -2px -3p +1$经过定点的坐标为________；
(4)抛物线$y=(3 -k)x^2 + (k -2)x +2k -1$（$k≠3$）经过定点的坐标为________。

2. (1)$(-1,0)$ (2)$(1,0)$ (3)$(-1,1)$和$(3,1)$ (4)$(2,7)$和$(-1,4)$

3.(1)已知一次函数$y=ax-2a+3$（$a$为常数，$a≠0$）的图象恒经过一个定点，则这个定点坐标是；
(2)已知函数$y=mx^2-(m-2)x-2$（$m$为常数），不论$m$为何值，该函数的图象经过的定点坐标是。

3. (1)$(2,3)$ (2)$(1,0)$和$(0,-2)$

4.已知抛物线$y=2mx^2+2mx(m≠0)$，在$x$轴上是否存在这样一点:无论$m$如何变化,该抛物线总经过此点?若存在,求所有符合条件的点坐标;若不存在,请说明理由.

4.解:存在. $y=2mx^2+2mx=2mx(x+1).$
令 $x(x+1)=0,$得 $x=0$ 或 $x=-1,$此时 $y=0,$
$\therefore$ 无论 $m$ 如何变化,该抛物线总经过 $x$ 轴上的定点$(0,0)$和$(-1,0).$

5. 已知抛物线 $ y_1 = x^2 + bx + a $，$ y_2 = ax^2 + bx + 1 $（$ a,b $ 是实数，$ a ≠ 0 $）。
(1) 若抛物线 $ y_1 $ 的对称轴为直线 $ x = 3 $，且经过点 $ (a,b) $，求抛物线 $ y_1 $ 的表达式；
(2) 若抛物线 $ y_1 $ 经过点 $ (r,0) $，其中 $ r ≠ 0 $，求证：抛物线 $ y_2 $ 经过点 $ ( \frac{1}{r}, 0 ) $。

5. 解:(1)由题知 $x=-\frac{b}{2}=3,$得 $b=-6.$
把点$(a,-6)$代入抛物线 $y_1,$得 $a^2-6a+a=-6,$解得 $a=2$ 或 $a=3,$
$\therefore y_1=x^2-6x+2$ 或 $y_1=x^2-6x+3.$
(2)把点$(r,0)$代入抛物线 $y_1,$得 $r^2+br+a=0,$变形为 $1+\frac{b}{r}+\frac{a}{r^2}=0,$
即 $a(\frac{1}{r})^2 +b(\frac{1}{r})+1=0,$
$\therefore$抛物线 $y_2$ 经过点$(\frac{1}{r},0).$