6.已知二次函数$y=-kx^2+(k-3)x+3$。
(1)求证:该二次函数图象必过定点$M(1,0)$；
(2)若$P(k,y_1),Q(k+3,y_2)$在该二次函数图象上，$y_1=y_2+21$，求$k$的值。

6. 解:(1)$\because y=-kx^2+(k-3)x+3,$
$\therefore$当 $x=1$ 时,$y=-k+k-3+3=0,$
$\therefore$该二次函数图象必过定点 $M(1,0).$
(2)由题意,得 $y_1=-k· k^2+(k-3)· k+3=-k^3+k^2-3k+3,$
$y_2=-k· (k+3)^2+(k-3)(k+3)+3=-k^3-6k^2-9k+k^2-9+3=-k^3-5k^2-9k-6.$
$\because y_1=y_2+21,$
$\therefore -k^3+k^2-3k+3=-k^3-5k^2-9k-6+21,$即 $k^2+k-2=0,$解得 $k=-2$ 或 $k=1.$

7.[选做题]已知抛物线$C_1: y=ax^2 -2ax +c$经过点$(1,2)$，与$x$轴交于$A(-1,0), B$两点.
(1)求抛物线$C_1$的表达式；
(2)如图,平移抛物线$C_1$使其顶点平移到原点的位置得抛物线$C_2$,直线$y=x+b$交抛物线$C_2$于$P, Q$两点,已知点$H(0,1)$,连接$PH,QH$分别交抛物线于另一点$N,M$,求证:直线$MN$经过一个定点.

7. 解:(1)将点$(1,2)$与 $A(-1,0)$代入抛物线，
得$\begin{cases}a-2a+c=2,\\a+2a+c=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{2},\\c=\dfrac{3}{2},\end{cases}$
$\therefore$抛物线的表达式为 $y=-\dfrac{1}{2}x^2+x+\dfrac{3}{2}.$
(2)由题意,得抛物线 $C_2:y=-\dfrac{1}{2}x^2,$
由点 $H(0,1)$设 $PH:y=kx+1,$
联立$\begin{cases}y=kx+1,\\y=-\dfrac{1}{2}x^2,\end{cases}$得$\dfrac{1}{2}x^2+kx+1=0,$
$\therefore x_P · x_N=2,\therefore x_P=\dfrac{2}{x_N},$
同理可得 $x_Q=\dfrac{2}{x_M}.$
联立$\begin{cases}y=x+b,\\y=-\dfrac{1}{2}x^2,\end{cases}$得$\dfrac{1}{2}x^2+x+b=0,$
$\therefore x_p+x_Q=-2,\therefore \dfrac{2}{x_N}+\dfrac{2}{x_M}=-2,$
$\therefore x_M+x_N=-x_N · x_M.$
设直线 $MN:y=mx+n,$
联立$\begin{cases}y=mx+n,\\y=-\dfrac{1}{2}x^2,\end{cases}$得$\dfrac{1}{2}x^2+mx+n=0,$
$\therefore x_N+x_M=-2m,x_N · x_M=2n,$
$\therefore -2m=-2n,\therefore m=n,$
$\therefore$直线 $MN:y=mx+m,$
当 $x=-1$ 时,$y=0,$
$\therefore$直线 $MN$ 过定点$(-1,0).$