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8. 已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象经过点$A(4,0),B(0,-3),C(-2,0)$，求该函数的表达式.
答案
8. 解:设函数的表达式为 $y=a(x+2)(x-4)$,将点$(0,-3)$代入,得$-3=-8a$,解得 $a=\dfrac{3}{8}$,
∴该函数的表达式为 $y=\dfrac{3}{8}(x+2)(x-4)=\dfrac{3}{8}x^2-\dfrac{3}{4}x-3$。
∴该函数的表达式为 $y=\dfrac{3}{8}(x+2)(x-4)=\dfrac{3}{8}x^2-\dfrac{3}{4}x-3$。
9. 已知二次函数$y=-x^2+3x-1$，则其图象关于x轴对称的二次函数的表达式为
$y=x^2-3x+1$
.答案
9. $y=x^2-3x+1$
10. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数$y=x^2 - b$的图象经过正方形ABCO的顶点A，B，C，且B为其顶点，将该抛物线平移，使其顶点为A，则平移后抛物线的表达式为
$y=x^2+2x$
。答案
10. $y=x^2+2x$
11.已知二次函数$y=-x^2+bx+c$可以写成$y=-(x-x_1)(x-1)$的形式，也可以写成$y=-(x-2)^2+k$的形式，其中$b,c,x_1,k$为常数.
(1)分别求$b,c,x_1,k$的值；
(2)该函数图象上有三个点$A(-1,y_1)$，$B(4,y_2)$，$C(5,y_3)$，试比较$y_1,y_2,y_3$的大小.
(1)分别求$b,c,x_1,k$的值；
(2)该函数图象上有三个点$A(-1,y_1)$，$B(4,y_2)$，$C(5,y_3)$，试比较$y_1,y_2,y_3$的大小.
答案
11. 解:(1)由题意得 $y=-x^2+bx+c=-x^2+(x_1+1)x-x_1=-x^2+4x-4+k$,
∴$b=x_1+1=4,c=-x_1=-4+k$,
∴$b=4,c=-3,x_1=3,k=1$。
(2)
∵$b=4,c=-3$,
∴$y=-x^2+4x-3=-(x-2)^2+1$,
∴图象开口向下,对称轴为直线 $x=2$,
∴当 $x＞2$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小.
∵点 $A(-1,y_1),C(5,y_3)$ 关于直线 $x=2$ 对称,
∴$y_2＞y_1=y_3$。
∴$b=x_1+1=4,c=-x_1=-4+k$,
∴$b=4,c=-3,x_1=3,k=1$。
(2)
∵$b=4,c=-3$,
∴$y=-x^2+4x-3=-(x-2)^2+1$,
∴图象开口向下,对称轴为直线 $x=2$,
∴当 $x＞2$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小.
∵点 $A(-1,y_1),C(5,y_3)$ 关于直线 $x=2$ 对称,
∴$y_2＞y_1=y_3$。
1.已知二次函数$y=a(x+k)^2 +k$，其图象的顶点坐标是________，当$k$取不同实数值时，图象顶点所在直线的函数表达式是________。
答案
1. 顶点坐标为$(-k,k)$，图象顶点所在直线的函数表达式是$y=-x$
2. 二次函数$y=x^2+ax+3$顶点运动轨迹的函数表达式为
$y=-x^2+3$
。答案
2. $y=-x^2+3$
3. 当$k$取任意实数时，抛物线$y=3(x - k - 1)^2 + k^2 + 2$的顶点所在的函数表达式是
$y=x^2-2x+3$
。答案
3. $y=x^2-2x+3$
4.已知二次函数$y=-\dfrac{1}{4}(x-3m)^2+3-3m$（m为实数）。
(1)小明说：“当m的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动。”你认同他的说法吗？请说明理由。
(2)已知点$A(a-5,c)$，$B(6m+4,c)$都在该二次函数图象上（点A，B不重合），求证：$c≤8$。
(1)小明说：“当m的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动。”你认同他的说法吗？请说明理由。
(2)已知点$A(a-5,c)$，$B(6m+4,c)$都在该二次函数图象上（点A，B不重合），求证：$c≤8$。
答案
4.解:(1)认同.
理由:$\because$抛物线的顶点坐标为$(3m,3-3m),3m+3-3m=3$,$\therefore$点$(3m,3-3m)$在$y=-x+3$上,
$\therefore$当$m$的值变化时,二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动.
(2)$\because$点$A(a-5,c),B(6m+4,c)$都在该二次函数图象上,
$\therefore$点$A,B$关于直线$x=3m$对称,$\therefore \dfrac{a-5+6m+4}{2}=3m$,解得$a=1$,
$\therefore$点$A(-4,c),\therefore c=-\dfrac{1}{4}(-4-3m)^2+3-3m=-(\dfrac{3}{2}m+3)^2+8$,
$\because -1＜0,\therefore c≤ 8.$
理由:$\because$抛物线的顶点坐标为$(3m,3-3m),3m+3-3m=3$,$\therefore$点$(3m,3-3m)$在$y=-x+3$上,
$\therefore$当$m$的值变化时,二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动.
(2)$\because$点$A(a-5,c),B(6m+4,c)$都在该二次函数图象上,
$\therefore$点$A,B$关于直线$x=3m$对称,$\therefore \dfrac{a-5+6m+4}{2}=3m$,解得$a=1$,
$\therefore$点$A(-4,c),\therefore c=-\dfrac{1}{4}(-4-3m)^2+3-3m=-(\dfrac{3}{2}m+3)^2+8$,
$\because -1＜0,\therefore c≤ 8.$
