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6. 用加减法解方程组$\begin{cases}2x - 3y = 5, & ① \\3x - 2y = 7, & ②\end{cases}$下列错误的是（ ）
A.①×3－②×2，消去x
B.①×2－②×3，消去y
C.①×(-3)+②×2，消去x
D.①×2－②×(-3)，消去y
A.①×3－②×2，消去x
B.①×2－②×3，消去y
C.①×(-3)+②×2，消去x
D.①×2－②×(-3)，消去y
答案
6. D
解析
【分析】
要判断各选项的消元方法是否正确，需掌握加减消元法的核心逻辑：消去某一未知数时，先利用等式的性质，让两个方程中该未知数的系数绝对值相等，再通过相加（系数互为相反数）或相减（系数相等）消去该未知数，我们只需逐个验证每个选项的运算是否能消去对应未知数即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：①×3得：$6x - 9y = 15$，②×2得：$6x - 4y = 14$，两个式子$x$的系数都是6，相减后$x$项抵消，可消去$x$，方法正确，不符合题意。
B选项：①×2得：$4x - 6y = 10$，②×3得：$9x - 6y = 21$，两个式子$y$的系数都是-6，相减后$y$项抵消，可消去$y$，方法正确，不符合题意。
C选项：①×(-3)得：$-6x + 9y = -15$，②×2得：$6x - 4y = 14$，两个式子$x$的系数互为相反数，相加后$x$项抵消，可消去$x$，方法正确，不符合题意。
D选项：①×2得：$4x - 6y = 10$，②×(-3)得：$-9x + 6y = -21$，若用①×2减去②×(-3)，运算后$y$项为$-6y - 6y = -12y$，无法消去$y$，方法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
加减消元法，等式的基本性质
【点评】
本题考查加减消元法的实际应用，解题时要注意消元目标的系数变换，尤其要注意乘法运算和加减运算的符号，避免因符号错误判断失误。
【难度系数】
0.8
要判断各选项的消元方法是否正确，需掌握加减消元法的核心逻辑：消去某一未知数时，先利用等式的性质，让两个方程中该未知数的系数绝对值相等，再通过相加（系数互为相反数）或相减（系数相等）消去该未知数，我们只需逐个验证每个选项的运算是否能消去对应未知数即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：①×3得：$6x - 9y = 15$，②×2得：$6x - 4y = 14$，两个式子$x$的系数都是6，相减后$x$项抵消，可消去$x$，方法正确，不符合题意。
B选项：①×2得：$4x - 6y = 10$，②×3得：$9x - 6y = 21$，两个式子$y$的系数都是-6，相减后$y$项抵消，可消去$y$，方法正确，不符合题意。
C选项：①×(-3)得：$-6x + 9y = -15$，②×2得：$6x - 4y = 14$，两个式子$x$的系数互为相反数，相加后$x$项抵消，可消去$x$，方法正确，不符合题意。
D选项：①×2得：$4x - 6y = 10$，②×(-3)得：$-9x + 6y = -21$，若用①×2减去②×(-3)，运算后$y$项为$-6y - 6y = -12y$，无法消去$y$，方法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
加减消元法，等式的基本性质
【点评】
本题考查加减消元法的实际应用，解题时要注意消元目标的系数变换，尤其要注意乘法运算和加减运算的符号，避免因符号错误判断失误。
【难度系数】
0.8
7. 已知关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}2x+3y=k, \\3x+4y=2k+6,\end{cases}$且$x+y=3$，则$k$的值为（ ）
A.$-1$
B.$-3$
C.$2$
D.$3$
A.$-1$
B.$-3$
C.$2$
D.$3$
答案
7. B
解析
【分析】
我们可以先观察给出的二元一次方程组中x、y的系数特征，利用加减消元法，用第二个方程减去第一个方程，就能直接得到x+y的表达式，再结合题目已知的x+y=3，即可建立关于k的一元一次方程，快速求出k的值。也可以选择将x+y=3与原方程组联立，用代入消元法求解，但构造x+y的整体形式解题更简便。
【解析】
解：记方程组$\begin{cases}2x+3y=k&① \\3x+4y=2k+6&② \end{cases}$
用②式减去①式，可得：
左边=$(3x+4y)-(2x+3y)=x+y$
右边=$(2k+6)-k=k+6$
因此得到等式：$x+y=k+6$
已知$x+y=3$，将其代入上式得：
$k+6=3$
解得$k=3-6=-3$
【答案】
B
【知识点】
加减消元法，一元一次方程求解，整体代入思想
【点评】
本题侧重考查二元一次方程组消元方法的灵活运用，不需要单独求解x、y的取值，通过观察系数特征构造目标整体代入，能大幅简化计算，有助于培养整体代换的解题思维。
【难度系数】
0.7
我们可以先观察给出的二元一次方程组中x、y的系数特征，利用加减消元法，用第二个方程减去第一个方程，就能直接得到x+y的表达式，再结合题目已知的x+y=3，即可建立关于k的一元一次方程，快速求出k的值。也可以选择将x+y=3与原方程组联立，用代入消元法求解，但构造x+y的整体形式解题更简便。
【解析】
解：记方程组$\begin{cases}2x+3y=k&① \\3x+4y=2k+6&② \end{cases}$
用②式减去①式，可得：
左边=$(3x+4y)-(2x+3y)=x+y$
右边=$(2k+6)-k=k+6$
因此得到等式：$x+y=k+6$
已知$x+y=3$，将其代入上式得：
$k+6=3$
解得$k=3-6=-3$
【答案】
B
【知识点】
加减消元法，一元一次方程求解，整体代入思想
【点评】
本题侧重考查二元一次方程组消元方法的灵活运用，不需要单独求解x、y的取值，通过观察系数特征构造目标整体代入，能大幅简化计算，有助于培养整体代换的解题思维。
【难度系数】
0.7
8. 请写出一个关于x，y的二元一次方程组 ______ ，使该方程组的解为$\begin{cases}x=-1, \\ y=2.\end{cases}$
答案
8. 答案不唯一，例如：$\begin{cases}2x + y = 0, \\x - y = -3\end{cases}$
解析
【分析】
要构造解为$\begin{cases}x=-1\\y=2\end{cases}$的二元一次方程组，首先明确两个核心要点：一是二元一次方程组的要求：共含有2个未知数x、y，每个方程都是含未知数的项次数为1的整式方程；二是方程组的解的含义：给出的x、y的值能让方程组中每个方程的左右两边相等。我们可以围绕x=-1、y=2，对两个未知数做加法、减法、或者乘常数后再加减的运算，得到两个成立的等式，整理为二元一次方程后组合即可，答案不唯一。
【解析】
步骤1：构造第一个二元一次方程：将x=-1、y=2代入运算式$2x+y$，计算得$2×(-1)+2=0$，即可得到等式$2x + y = 0$，该式符合二元一次方程的要求；
步骤2：构造第二个二元一次方程：将x=-1、y=2代入运算式$x-y$，计算得$-1-2=-3$，即可得到等式$x - y = -3$，该式也符合二元一次方程的要求；
步骤3：将两个方程组合，就得到符合要求的二元一次方程组，也可按照相同逻辑构造其他满足条件的方程组。
【答案】
答案不唯一，例如：$\begin{cases}2x + y = 0, \\x - y = -3\end{cases}$
【知识点】
1. 二元一次方程组的定义
2. 二元一次方程组的解的定义
【点评】
本题属于开放性基础题，主要考查对二元一次方程组相关概念的理解和应用，构造时注意不要出现含未知数的项次数不为1、或者仅含单个未知数的方程即可，解题思路灵活多样。
【难度系数】
0.8
要构造解为$\begin{cases}x=-1\\y=2\end{cases}$的二元一次方程组，首先明确两个核心要点：一是二元一次方程组的要求：共含有2个未知数x、y，每个方程都是含未知数的项次数为1的整式方程；二是方程组的解的含义：给出的x、y的值能让方程组中每个方程的左右两边相等。我们可以围绕x=-1、y=2，对两个未知数做加法、减法、或者乘常数后再加减的运算，得到两个成立的等式，整理为二元一次方程后组合即可，答案不唯一。
【解析】
步骤1：构造第一个二元一次方程：将x=-1、y=2代入运算式$2x+y$，计算得$2×(-1)+2=0$，即可得到等式$2x + y = 0$，该式符合二元一次方程的要求；
步骤2：构造第二个二元一次方程：将x=-1、y=2代入运算式$x-y$，计算得$-1-2=-3$，即可得到等式$x - y = -3$，该式也符合二元一次方程的要求；
步骤3：将两个方程组合，就得到符合要求的二元一次方程组，也可按照相同逻辑构造其他满足条件的方程组。
【答案】
答案不唯一，例如：$\begin{cases}2x + y = 0, \\x - y = -3\end{cases}$
【知识点】
1. 二元一次方程组的定义
2. 二元一次方程组的解的定义
【点评】
本题属于开放性基础题，主要考查对二元一次方程组相关概念的理解和应用，构造时注意不要出现含未知数的项次数不为1、或者仅含单个未知数的方程即可，解题思路灵活多样。
【难度系数】
0.8
9. 已知关于$x$，$y$的方程$2x^{m-2} - 3y^{1-n}=6$是二元一次方程，则$m+3n$的值是
3
。答案
9. 3
解析
【分析】
首先回忆二元一次方程的定义：含有2个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。本题给出的方程已经包含x、y两个未知数，因此只需保证x的次数、y的次数均为1，即可分别列出关于m、n的一元一次方程，求解出m、n后代入代数式m+3n计算即可。
【解析】
根据二元一次方程的定义，含未知数的项的次数为1，可得：
1. 关于x的项的次数：$m - 2 = 1$，解得$m = 3$；
2. 关于y的项的次数：$1 - n = 1$，解得$n = 0$。
将$m=3$，$n=0$代入$m+3n$得：
$m+3n = 3 + 3×0 = 3$
【答案】
3
【知识点】
二元一次方程的定义；代数式求值
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是准确把握二元一次方程中“未知数的次数为1”的要求，只要熟练掌握相关定义就能顺利求解。
【难度系数】
0.85
首先回忆二元一次方程的定义：含有2个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。本题给出的方程已经包含x、y两个未知数，因此只需保证x的次数、y的次数均为1，即可分别列出关于m、n的一元一次方程，求解出m、n后代入代数式m+3n计算即可。
【解析】
根据二元一次方程的定义，含未知数的项的次数为1，可得：
1. 关于x的项的次数：$m - 2 = 1$，解得$m = 3$；
2. 关于y的项的次数：$1 - n = 1$，解得$n = 0$。
将$m=3$，$n=0$代入$m+3n$得：
$m+3n = 3 + 3×0 = 3$
【答案】
3
【知识点】
二元一次方程的定义；代数式求值
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是准确把握二元一次方程中“未知数的次数为1”的要求，只要熟练掌握相关定义就能顺利求解。
【难度系数】
0.85
10. 小明在解关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}2x - 3y = 5, \\x + y = △\end{cases}$时，解得$\begin{cases}x = 4, \\y = □\end{cases}$，则$△$和$□$代表的数分别是 ______ 和 ______ 。
答案
10. 5 1
解析
【分析】
首先明确二元一次方程组的解满足组内的每一个方程。已知解里x=4，我们可以先把x=4代入第一个没有未知参数△的方程，算出y的值也就是□代表的数；再把得到的x、y的值代入第二个方程，就能求出△代表的数。
【解析】
1. 求□代表的数：
将$x=4$代入方程$2x - 3y = 5$中，可得：
$2×4 - 3y = 5$
计算得$8 - 3y = 5$
移项得$-3y = 5 - 8$，即$-3y=-3$
解得$y=1$，因此$\boxed{□=1}$。
2. 求△代表的数：
将$x=4$，$y=1$代入方程$x + y = △$中，可得：
$△=4+1=5$，因此$\boxed{△=5}$。
【答案】
5；1
【知识点】
二元一次方程组的解；代入求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对二元一次方程组解的含义的理解，只需按照代入计算的步骤就能求出未知参数，解题时注意不要搞混两个参数的对应顺序即可。
【难度系数】
0.85
首先明确二元一次方程组的解满足组内的每一个方程。已知解里x=4，我们可以先把x=4代入第一个没有未知参数△的方程，算出y的值也就是□代表的数；再把得到的x、y的值代入第二个方程，就能求出△代表的数。
【解析】
1. 求□代表的数：
将$x=4$代入方程$2x - 3y = 5$中，可得：
$2×4 - 3y = 5$
计算得$8 - 3y = 5$
移项得$-3y = 5 - 8$，即$-3y=-3$
解得$y=1$，因此$\boxed{□=1}$。
2. 求△代表的数：
将$x=4$，$y=1$代入方程$x + y = △$中，可得：
$△=4+1=5$，因此$\boxed{△=5}$。
【答案】
5；1
【知识点】
二元一次方程组的解；代入求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对二元一次方程组解的含义的理解，只需按照代入计算的步骤就能求出未知参数，解题时注意不要搞混两个参数的对应顺序即可。
【难度系数】
0.85
三、解答题
11. 解下列方程组：
（1）$\begin{cases}2x + y = 3, \\3x + 2y = 5;\end{cases}$
（2）$\begin{cases}7x + 4y = 5, \\5x - 2y = 6.\end{cases}$
11. 解下列方程组：
（1）$\begin{cases}2x + y = 3, \\3x + 2y = 5;\end{cases}$
（2）$\begin{cases}7x + 4y = 5, \\5x - 2y = 6.\end{cases}$
答案
11. 解：(1) $\begin{cases}2x + y = 3, ① \\3x + 2y = 5. ②\end{cases}$
由①，得 $y=3-2x$. ③
将③代入②，得 $3x+2(3-2x)=5$.
解得 $x=1$.
将 $x=1$ 代入③，得 $y=1$.
所以方程组的解为$\begin{cases}x=1, \\y=1.\end{cases}$
(2) $\begin{cases}7x + 4y = 5, ① \\5x - 2y = 6. ②\end{cases}$
①$+$②$×2$，得 $17x=17$.
所以 $x=1$.
把 $x=1$ 代入①，得 $7+4y=5$.
所以 $y=-\dfrac{1}{2}$.
所以方程组的解为$\begin{cases}x=1, \\y=-\dfrac{1}{2}.\end{cases}$
由①，得 $y=3-2x$. ③
将③代入②，得 $3x+2(3-2x)=5$.
解得 $x=1$.
将 $x=1$ 代入③，得 $y=1$.
所以方程组的解为$\begin{cases}x=1, \\y=1.\end{cases}$
(2) $\begin{cases}7x + 4y = 5, ① \\5x - 2y = 6. ②\end{cases}$
①$+$②$×2$，得 $17x=17$.
所以 $x=1$.
把 $x=1$ 代入①，得 $7+4y=5$.
所以 $y=-\dfrac{1}{2}$.
所以方程组的解为$\begin{cases}x=1, \\y=-\dfrac{1}{2}.\end{cases}$
解析
【分析】
解二元一次方程组的核心是消元，将二元方程转化为一元一次方程求解。解题时可先观察未知数的系数特点选择简便的消元方法：
（1）第一个方程中y的系数为1，便于用含x的代数式表示y，适合用代入消元法，先表示出y后代入第二个方程求出x，再回代求y的值即可；
（2）两个方程中y的系数为4和-2，存在2倍的倍数关系，适合用加减消元法，将第二个方程乘2后与第一个方程相加即可消去y，先求出x的值，再回代求y的值即可。
【解析】
(1) $\begin{cases}2x + y = 3, ① \\3x + 2y = 5. ②\end{cases}$
由①，得 $y=3-2x$. ③
将③代入②，得 $3x+2(3-2x)=5$.
解得 $x=1$.
将 $x=1$ 代入③，得 $y=1$.
所以方程组的解为$\begin{cases}x=1, \\y=1.\end{cases}$
(2) $\begin{cases}7x + 4y = 5, ① \\5x - 2y = 6. ②\end{cases}$
①$+$②$×2$，得 $17x=17$.
所以 $x=1$.
把 $x=1$ 代入①，得 $7+4y=5$.
所以 $y=-\dfrac{1}{2}$.
所以方程组的解为$\begin{cases}x=1, \\y=-\dfrac{1}{2}.\end{cases}$
【答案】
(1) $\begin{cases}x=1 \\y=1\end{cases}$；(2) $\begin{cases}x=1 \\y=-\dfrac{1}{2}\end{cases}$
【知识点】
代入消元法，加减消元法，二元一次方程组的解法
【点评】
本题属于二元一次方程组求解的基础题型，解题时根据系数特征灵活选择消元方法，可简化计算、降低出错率，是运用二元一次方程组解决实际问题的必备基础。
【难度系数】
0.8
解二元一次方程组的核心是消元，将二元方程转化为一元一次方程求解。解题时可先观察未知数的系数特点选择简便的消元方法：
（1）第一个方程中y的系数为1，便于用含x的代数式表示y，适合用代入消元法，先表示出y后代入第二个方程求出x，再回代求y的值即可；
（2）两个方程中y的系数为4和-2，存在2倍的倍数关系，适合用加减消元法，将第二个方程乘2后与第一个方程相加即可消去y，先求出x的值，再回代求y的值即可。
【解析】
(1) $\begin{cases}2x + y = 3, ① \\3x + 2y = 5. ②\end{cases}$
由①，得 $y=3-2x$. ③
将③代入②，得 $3x+2(3-2x)=5$.
解得 $x=1$.
将 $x=1$ 代入③，得 $y=1$.
所以方程组的解为$\begin{cases}x=1, \\y=1.\end{cases}$
(2) $\begin{cases}7x + 4y = 5, ① \\5x - 2y = 6. ②\end{cases}$
①$+$②$×2$，得 $17x=17$.
所以 $x=1$.
把 $x=1$ 代入①，得 $7+4y=5$.
所以 $y=-\dfrac{1}{2}$.
所以方程组的解为$\begin{cases}x=1, \\y=-\dfrac{1}{2}.\end{cases}$
【答案】
(1) $\begin{cases}x=1 \\y=1\end{cases}$；(2) $\begin{cases}x=1 \\y=-\dfrac{1}{2}\end{cases}$
【知识点】
代入消元法，加减消元法，二元一次方程组的解法
【点评】
本题属于二元一次方程组求解的基础题型，解题时根据系数特征灵活选择消元方法，可简化计算、降低出错率，是运用二元一次方程组解决实际问题的必备基础。
【难度系数】
0.8
