7. 改编题 如图,在$△ ABC$中,$AD ⊥ BC$,且$AD=$$5\ \mathrm{cm}$,$BC=7\ \mathrm{cm}$,点$P$是线段$BC$上一个动点,由$B$向$C$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度移动,运动至点$C$停止,随着点$P$的运动,$△ APC$的面积$S$也发生了变化.

(1) 写出这个变化过程中的两个变量:
.
(2)若设点$P$的运动时间为$x$,则$△ APC$的面积$S$与点$P$的运动时间$x$之间的关系式为
(需写出$x$的取值范围).

7. (1)边 BP 的长度、$△ APC$的面积 S(答案不唯一)
解析:由变量和常量的定义可得答案可以为边 BP 的长度、$△ APC$的面积 S.
(2)$S=-5x+\dfrac{35}{2}(0≤ x≤ \dfrac{7}{2})$ 解析:$\because AD⊥ BC$,且$AD=$$5\ \mathrm{cm}$,$BC=7\ \mathrm{cm}$,$\therefore S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}BC· AD=\dfrac{35}{2}(\ \mathrm{cm}^{2})$,$S_{△ ABP}=$$\dfrac{1}{2}BP· AD=\dfrac{1}{2}×2x×5=5x(\ \mathrm{cm}^{2})$,$\therefore S=S_{△ ABC}-S_{△ ABP}=\dfrac{35}{2}-$$5x$,$\therefore△ APC$的面积 S 与点 P 的运动时间 x 之间的关系式为$S=-5x+\dfrac{35}{2}(0≤ x≤ \dfrac{7}{2})$.

8. (2025·徐州中考改编)如图所示,用黑白两色棋子摆图形,依此规律回答问题.

(1)第9个图形中黑色棋子的个数为;
(2)设第$n$个图形中黑色棋子的个数为$m$,按上述规律推断,则$m$与$n$之间的关系可以用式子表示为.

8. (1)28 解析:观察发现:第 1 个图形有$4=(3×1+1)$个黑色棋子,第 2 个图形有$7=(3×2+1)$个黑色棋子,第 3 个图形有$10=(3×3+1)$个黑色棋子,$···$,第 n 个图形有$(3n+1)$个黑色棋子,则第 9 个图形中黑色棋子的个数为 28.
(2)$m=3n+1$ 解析:由(1)中分析可得,m 与 n 之间的关系可以用式子表示为$m=3n+1$.

9. 弹簧挂上物体后会伸长,已知一弹簧的长度(cm)与所挂物体的质量(kg)之间的关系如表：

(1)表中反映了哪些变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?
(2)当物体的质量为3 kg时,弹簧的长度为多少?
(3)如果物体的质量为x kg,弹簧的长度为y cm,根据上表写出y与x的关系式(不要求写自变量的取值范围).
(4)当物体的质量为2.5 kg时,求弹簧的长度.

9. (1)表中反映了物体的质量与弹簧的长度之间的关系,物体的质量是自变量,弹簧的长度是因变量.
(2)由表可知,当物体的质量为 3 kg 时,弹簧的长度为13.5 cm.
(3)弹簧的长度$y(\mathrm{cm})$与所挂物体的质量$x(\mathrm{kg})$之间的函数关系式为$y=0.5x+12$.
(4)当$x=2.5$时,$y=0.5×2.5+12=13.25(\mathrm{cm})$,即当物体的质量为 2.5 kg 时,弹簧的长度为 13.25 cm.

10. 如图,等腰直角$△ ABC$的直角边长与正方形$MNPQ$的边长均为 12 cm,$AC$ 与 $MN$ 在同一条直线上,开始时 $A$ 点与 $M$ 点重合,当$△ ABC$向右运动时($A$ 点与 $N$ 点重合时运动停止),重叠部分的面积发生了变化.
(1)以下四个量中,属于变量的是(填序号);
①$PQ$ 的长度
②$CM$ 的长度
③$△ ABC$ 的面积
④$△ DMA$ 的面积
(2)试写出重叠部分的面积$y(\mathrm{cm}^2)$与$MA$的长度$x(\mathrm{cm})$之间的关系式;
(3)当$MA=4\ \mathrm{cm}$时,重叠部分的面积是多少?

10. (1)②④ 解析:由题意可得等腰直角$△ ABC$的直角边长与正方形 MNPQ 的边长均为 12 cm,则 PQ 的长度与$△ ABC$的面积均为常量.$\because△ ABC$向右运动,$\therefore CM$的长度与$△ DMA$的面积为变量,故答案为②④.
(2)$y=\dfrac{1}{2}x^{2}$,其中$0≤ x≤12$.
(3)当$x=4$时,$y=\dfrac{1}{2}×4^{2}=8$,即当$MA=4\ \mathrm{cm}$时,重叠部分的面积是$8\ \mathrm{cm}^{2}$.