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25. (10 分)【概念学习】
在一个三角形中,如果一个角是另一个角的3倍,这样的三角形我们称之为“智慧三角形”. 比如:三个内角分别为$120°,40°,20°$的三角形是“智慧三角形”. 如图,$∠ MON=60°$,在射线$OM$上找一点$A$,过点$A$作$AB ⊥ OM$交$ON$于点$B$,以$A$为端点作射线$AD$,交线段$OB$于点$C$.
【概念理解】
(1)判断$△ ABO$是否为“智慧三角形”,并说明理由；
(2)若$∠ ACB=80°$,求证:$△ AOC$为“智慧三角形”；
【概念应用】
(3)当$△ ABC$为“智慧三角形”时,求$∠ OAC$的度数.
在一个三角形中,如果一个角是另一个角的3倍,这样的三角形我们称之为“智慧三角形”. 比如:三个内角分别为$120°,40°,20°$的三角形是“智慧三角形”. 如图,$∠ MON=60°$,在射线$OM$上找一点$A$,过点$A$作$AB ⊥ OM$交$ON$于点$B$,以$A$为端点作射线$AD$,交线段$OB$于点$C$.
【概念理解】
(1)判断$△ ABO$是否为“智慧三角形”,并说明理由；
(2)若$∠ ACB=80°$,求证:$△ AOC$为“智慧三角形”；
【概念应用】
(3)当$△ ABC$为“智慧三角形”时,求$∠ OAC$的度数.
答案
25. 【点拨】本题考查新定义——“智慧三角形”、三角形内角和定理、三角形外角的性质、直角三角形中两锐角的互余关系、分类讨论思想.
【解析】(1)△ABO是“智慧三角形”. 理由如下：
∵ AB ⊥ OM,
∴ ∠OAB = 90°.
∵ ∠MON = 60°,
∴ ∠ABO = 90° - ∠MON = 90° - 60° = 30°,
∴ ∠OAB = 3∠ABO,
∴ △ABO是“智慧三角形”.
(2)证明:
∵ ∠AOC = 60°,∠ACB = 80°,
∴ ∠CAO = ∠ACB - ∠AOC = 80° - 60° = 20°,
∴ ∠AOC = 3∠CAO,
∴ △AOC为“智慧三角形”.
(3)
∵ AB ⊥ OM,
∴ ∠OAB = 90°.
∵ ∠MON = 60°,
∴ ∠ABO = 90° - ∠MON = 90° - 60° = 30°,
∴ ∠BAC + ∠BCA = 150°.
当△ABC为“智慧三角形”时,分以下几种情况：
①当∠ABC = 3∠BAC时,∠BAC = $\frac{1}{3}$∠ABC = 10°,
∴ ∠OAC = 90° - ∠BAC = 80°;
②当∠ABC = 3∠ACB时,∠ACB = $\frac{1}{3}$∠ABC = 10°,
此时∠ACB ＜ ∠AOC,这种情况不存在;
③当∠BCA = 3∠BAC时,∠BAC + 3∠BAC = 150°,
∴ ∠BAC = 37.5°,
∴ ∠OAC = 90° - ∠BAC = 52.5°;
④当∠BCA = 3∠ABC时,∠BCA = 90°,
∴ ∠BAC = 180° - 90° - 30° = 60°,
∴ ∠OAC = 90° - ∠BAC = 30°;
⑤当∠BAC = 3∠ABC时,∠BAC = 90°,
∴ ∠OAC = 90° - ∠BAC = 0°;
⑥当∠BAC = 3∠ACB时,3∠ACB + ∠ACB = 150°,
∴ ∠ACB = 37.5° ＜ ∠AOC,这种情况不存在.
综上所述,当△ABC为“智慧三角形”时,∠OAC的度数为80°或52.5°或30°或0°.
【解析】(1)△ABO是“智慧三角形”. 理由如下：
∵ AB ⊥ OM,
∴ ∠OAB = 90°.
∵ ∠MON = 60°,
∴ ∠ABO = 90° - ∠MON = 90° - 60° = 30°,
∴ ∠OAB = 3∠ABO,
∴ △ABO是“智慧三角形”.
(2)证明:
∵ ∠AOC = 60°,∠ACB = 80°,
∴ ∠CAO = ∠ACB - ∠AOC = 80° - 60° = 20°,
∴ ∠AOC = 3∠CAO,
∴ △AOC为“智慧三角形”.
(3)
∵ AB ⊥ OM,
∴ ∠OAB = 90°.
∵ ∠MON = 60°,
∴ ∠ABO = 90° - ∠MON = 90° - 60° = 30°,
∴ ∠BAC + ∠BCA = 150°.
当△ABC为“智慧三角形”时,分以下几种情况：
①当∠ABC = 3∠BAC时,∠BAC = $\frac{1}{3}$∠ABC = 10°,
∴ ∠OAC = 90° - ∠BAC = 80°;
②当∠ABC = 3∠ACB时,∠ACB = $\frac{1}{3}$∠ABC = 10°,
此时∠ACB ＜ ∠AOC,这种情况不存在;
③当∠BCA = 3∠BAC时,∠BAC + 3∠BAC = 150°,
∴ ∠BAC = 37.5°,
∴ ∠OAC = 90° - ∠BAC = 52.5°;
④当∠BCA = 3∠ABC时,∠BCA = 90°,
∴ ∠BAC = 180° - 90° - 30° = 60°,
∴ ∠OAC = 90° - ∠BAC = 30°;
⑤当∠BAC = 3∠ABC时,∠BAC = 90°,
∴ ∠OAC = 90° - ∠BAC = 0°;
⑥当∠BAC = 3∠ACB时,3∠ACB + ∠ACB = 150°,
∴ ∠ACB = 37.5° ＜ ∠AOC,这种情况不存在.
综上所述,当△ABC为“智慧三角形”时,∠OAC的度数为80°或52.5°或30°或0°.
26. (10分)流感期间,小明家购买防护用品的收据如表,有部分数据因污损无法识别.
根据表格,解决下列问题:
(1)小明家此次购买医用口罩和消毒纸巾各多少件?
(2)小明家计划再次购买消毒水和酒精喷剂共10件,且总价不超过360元,则消毒水最多购买多少件?
(3)小明家准备用270元购买医用口罩和消毒纸巾,在270元恰好用完的条件下,有哪些购买方案?
·65·
根据表格,解决下列问题:
(1)小明家此次购买医用口罩和消毒纸巾各多少件?
(2)小明家计划再次购买消毒水和酒精喷剂共10件,且总价不超过360元,则消毒水最多购买多少件?
(3)小明家准备用270元购买医用口罩和消毒纸巾,在270元恰好用完的条件下,有哪些购买方案?
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答案
26. 【点拨】本题考查二元一次方程组的应用,一元一次不等式的应用及二元一次方程的应用.
【解析】(1)设小明家此次购买医用口罩x件,消毒纸巾y件. 根据题意得,$\begin{cases} 2 + 3 + x + y + 1 = 16, \\ 98 + 32 × 3 + 50x + 20y + 189 × 1 = 703, \end{cases}$
化简得$\begin{cases} x + y = 10, \\ 5x + 2y = 32, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x = 4, \\ y = 6. \end{cases}$
答:小明家此次购买医用口罩4件,消毒纸巾6件.
(2)设购买消毒水m件,则购买酒精喷剂(10 - m)件.
根据题意得,$\frac{98}{2}m + 32(10 - m) ≤ 360$,解得m ≤ $2\frac{6}{17}$.
∵ m是整数,
∴ m的最大值为2.
答:消毒水最多购买2件.
(3)设可以购买医用口罩a件,消毒纸巾b件.
根据题意得,50a + 20b = 270,
∴ b = $\frac{27 - 5a}{2}$.
又
∵ a,b均为非负整数.
∴ $\begin{cases} a = 1, \\ b = 11 \end{cases}$ 或$\begin{cases} a = 3, \\ b = 6 \end{cases}$ 或$\begin{cases} a = 5, \\ b = 1, \end{cases}$
∴ 共有3种购买方案.
方案1:购买医用口罩1件,消毒纸巾11件;
方案2:购买医用口罩3件,消毒纸巾6件;
方案3:购买医用口罩5件,消毒纸巾1件.
【解析】(1)设小明家此次购买医用口罩x件,消毒纸巾y件. 根据题意得,$\begin{cases} 2 + 3 + x + y + 1 = 16, \\ 98 + 32 × 3 + 50x + 20y + 189 × 1 = 703, \end{cases}$
化简得$\begin{cases} x + y = 10, \\ 5x + 2y = 32, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x = 4, \\ y = 6. \end{cases}$
答:小明家此次购买医用口罩4件,消毒纸巾6件.
(2)设购买消毒水m件,则购买酒精喷剂(10 - m)件.
根据题意得,$\frac{98}{2}m + 32(10 - m) ≤ 360$,解得m ≤ $2\frac{6}{17}$.
∵ m是整数,
∴ m的最大值为2.
答:消毒水最多购买2件.
(3)设可以购买医用口罩a件,消毒纸巾b件.
根据题意得,50a + 20b = 270,
∴ b = $\frac{27 - 5a}{2}$.
又
∵ a,b均为非负整数.
∴ $\begin{cases} a = 1, \\ b = 11 \end{cases}$ 或$\begin{cases} a = 3, \\ b = 6 \end{cases}$ 或$\begin{cases} a = 5, \\ b = 1, \end{cases}$
∴ 共有3种购买方案.
方案1:购买医用口罩1件,消毒纸巾11件;
方案2:购买医用口罩3件,消毒纸巾6件;
方案3:购买医用口罩5件,消毒纸巾1件.
