27. (10 分)如图1,已知直线$MN// GH$,且$MN$和$GH$之间的距离为1,小明同学制作了两个直角三角形硬纸板$ACB$和$DEF$,其中$∠ ACB = 90°,∠ DFE = 90°,∠ BAC = 45°,∠ EDF = 30°,AC = 1$.小明利用这两块三角板进行了如下的操作探究:
(1)如图1,点$A$在$MN$上,边$BC$在直线$GH$上,边$DE$在直线$AB$上.
①将直角三角形$DEF$沿射线$BA$方向平移,当点$F$在$MN$上时,如图2,求$∠ AFE$的度数;
②将直角三角形$DEF$从图2的位置继续沿射线$BA$的方向平移,当以$A,D,F$为顶点的三角形是直角三角形时,求$∠ FAN$的度数;
(2)将直角三角形$ABC$按如图3放置,若点$A$在直线$MN$上,点$C$在$MN$和$GH$之间(不含$MN,GH$上),边$BC$和$AB$与直线$GH$分别交于点$D,K$.在$△ ABC$绕着点$A$旋转的过程中,设$∠ MAK = n°,∠ CDK = (4m - 2n - 10)°$,求$m$的取值范围.
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27. 【点拨】本题考查平移的性质、直角三角形的性质、三角形外角的性质、平行线的性质、四边形的内角和.
【解析】(1)①
∵ ∠DFE = 90°,
∴ ∠DEF + ∠EDF = 90°.
∵ ∠EDF = 30°,
∴ ∠DEF = 60°.
∵ ∠ACB = 90°,∠BAC = 45°,
∴ ∠ABC = 45°.
∵ MN // GH,
∴ ∠EAF = ∠ABC = 45°.
∵ ∠DEF = ∠EAF + ∠AFE,
∴ ∠AFE = ∠DEF - ∠EAF = 60° - 45° = 15°.
②由题意知,∠AFD = 90°或∠FAD = 90°.
如图1,当∠AFD = 90°时,点A与点E重合.
∵ MN // GH,
∴ ∠BAN = ∠ABC = 45°,
∴ ∠FAN = ∠FAD - ∠BAN = 60° - 45° = 15°;
如图2,当∠FAD = 90°时,
∵ MN // GH,
∴ ∠BAN = ∠ABC = 45°,
∴ ∠FAN = ∠FAD - ∠BAN = 90° - 45° = 45°.
综上所述,当以A,D,F为顶点的三角形是直角三角形时,∠FAN的度数是15°或45°.
(2)
∵ MN // GH,
∴ ∠MAK = ∠AKH = n°.
∵ ∠CAB + ∠ACB + ∠AKD + ∠CDK = 360°,
∴ 45° + 90° + n° + (4m - 2n - 10)° = 360°,
∴ 4m - n = 235,
∴ n = 4m - 235.
∵ 边BC和AB与直线GH分别交于点D,K,
∴ 45 ＜ n ＜ 135,
∴ 45 ＜ 4m - 235 ＜ 135,
∴ 70 ＜ m ＜ 92.5,
即m的取值范围为70 ＜ m ＜ 92.5.