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1. 任意想一个数，把这个数乘$a$后加4，然后除以8，再减去原来想的那个数的$\dfrac{1}{2}$. 若计算结果为固定值，则$a$的值是 （
A.1
B.2
C.4
D.8
C
）A.1
B.2
C.4
D.8
答案
1. C
解析
【分析】
我们可以先设自己任意想的那个数为未知数x，按照题目给出的运算顺序，把整个计算过程转化为含x和a的代数式。题目说明计算结果是固定值，意思就是最终的结果不会随着x的取值变化而变化，也就是化简之后所有含x的项的系数必须为0，这样就能据此建立关于a的方程，求解得到a的值。
【解析】
解：设任意想的数为x，根据题意列出完整运算的代数式：
$\frac{ax + 4}{8} - \frac{1}{2}x$
对该代数式进行通分化简：
$\begin{aligned}原式&=\frac{ax + 4}{8} - \frac{4x}{8}\\&=\frac{ax + 4 - 4x}{8}\\&=\frac{(a-4)x + 4}{8}\end{aligned}$
因为计算结果为固定值，和x的取值无关，因此含x的项的系数必须为0，即：
$a - 4 = 0$
解得$a=4$。
所以答案选C。
【答案】
C
【知识点】
代数式化简；变量无关条件应用
【点评】
本题是代数式运算的典型题型，核心考点是理解“结果为固定值”的数学含义，即最终表达式中变量的系数为0，不需要知晓原数的具体取值即可消去变量求解参数，解题时要注意严格按照题目描述的运算顺序列代数式，避免运算顺序出错。
【难度系数】
0.7
我们可以先设自己任意想的那个数为未知数x，按照题目给出的运算顺序，把整个计算过程转化为含x和a的代数式。题目说明计算结果是固定值，意思就是最终的结果不会随着x的取值变化而变化，也就是化简之后所有含x的项的系数必须为0，这样就能据此建立关于a的方程，求解得到a的值。
【解析】
解：设任意想的数为x，根据题意列出完整运算的代数式：
$\frac{ax + 4}{8} - \frac{1}{2}x$
对该代数式进行通分化简：
$\begin{aligned}原式&=\frac{ax + 4}{8} - \frac{4x}{8}\\&=\frac{ax + 4 - 4x}{8}\\&=\frac{(a-4)x + 4}{8}\end{aligned}$
因为计算结果为固定值，和x的取值无关，因此含x的项的系数必须为0，即：
$a - 4 = 0$
解得$a=4$。
所以答案选C。
【答案】
C
【知识点】
代数式化简；变量无关条件应用
【点评】
本题是代数式运算的典型题型，核心考点是理解“结果为固定值”的数学含义，即最终表达式中变量的系数为0，不需要知晓原数的具体取值即可消去变量求解参数，解题时要注意严格按照题目描述的运算顺序列代数式，避免运算顺序出错。
【难度系数】
0.7
2. 若 $x,y$ 满足 $x^{2}-2x=2y-y^{2}$ ,且 $xy=$ $\dfrac{1}{2}$,则式子 $x^{2}+2xy+y^{2}-2(x+y)+2\ 025$ 的值为（
A.2 023
B.2 024
C.2 025
D.2 026
D
）A.2 023
B.2 024
C.2 025
D.2 026
答案
2. D 提示:原式=$x^2+2xy+y^2-2x-2y+2\ 025=x^2-2x-(2y-y^2)+2xy+2\ 025=2xy+2\ 025$. 又因为 $xy=\dfrac{1}{2}$,所以原式=$2×\dfrac{1}{2}+2\ 025=2\ 026$.
解析
【分析】
这道题的核心思路是用整体代入法求值，不需要单独计算x、y的具体数值。首先先观察已知条件：第一个等式移项后可以得到$x^2+y^2-2x-2y=0$，再观察待求的多项式，我们可以将它重新分组变形，凑出上述的整体部分，剩下的仅包含已知的xy项和常数，直接代入xy的数值就能快速算出结果，避免解方程组的复杂运算。
【解析】
第一步：整理已知等式
由已知条件$x^2 - 2x = 2y - y^2$，将含y的项移到左侧，可得：
$x^2 + y^2 - 2x - 2y = 0$
第二步：对待求式子进行变形拆分
将待求式展开、重新分组：
$\begin{aligned}&x^2+2xy+y^2-2(x+y)+2025\\=&x^2 + 2xy + y^2 - 2x - 2y + 2025\\=&(x^2 + y^2 - 2x - 2y) + 2xy + 2025\end{aligned}$
第三步：代入已知条件计算
把$x^2 + y^2 - 2x - 2y = 0$，以及$xy=\frac{1}{2}$代入上式：
$\begin{aligned}原式&= 0 + 2×\frac{1}{2} + 2025\\&=1 + 2025\\&=2026\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，整体代入求值，整式化简
【点评】
本题属于整式化简求值的常规题型，重点考察学生对整体代入思想的运用，不需要求解x、y的具体值，通过观察式子结构特征，将已知的等式整体代入待求式的变形结果中，大幅简化运算，能有效锻炼学生的代数观察能力，避免硬解方程的冗余步骤。
【难度系数】
0.7
这道题的核心思路是用整体代入法求值，不需要单独计算x、y的具体数值。首先先观察已知条件：第一个等式移项后可以得到$x^2+y^2-2x-2y=0$，再观察待求的多项式，我们可以将它重新分组变形，凑出上述的整体部分，剩下的仅包含已知的xy项和常数，直接代入xy的数值就能快速算出结果，避免解方程组的复杂运算。
【解析】
第一步：整理已知等式
由已知条件$x^2 - 2x = 2y - y^2$，将含y的项移到左侧，可得：
$x^2 + y^2 - 2x - 2y = 0$
第二步：对待求式子进行变形拆分
将待求式展开、重新分组：
$\begin{aligned}&x^2+2xy+y^2-2(x+y)+2025\\=&x^2 + 2xy + y^2 - 2x - 2y + 2025\\=&(x^2 + y^2 - 2x - 2y) + 2xy + 2025\end{aligned}$
第三步：代入已知条件计算
把$x^2 + y^2 - 2x - 2y = 0$，以及$xy=\frac{1}{2}$代入上式：
$\begin{aligned}原式&= 0 + 2×\frac{1}{2} + 2025\\&=1 + 2025\\&=2026\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，整体代入求值，整式化简
【点评】
本题属于整式化简求值的常规题型，重点考察学生对整体代入思想的运用，不需要求解x、y的具体值，通过观察式子结构特征，将已知的等式整体代入待求式的变形结果中，大幅简化运算，能有效锻炼学生的代数观察能力，避免硬解方程的冗余步骤。
【难度系数】
0.7
3. 如图,小惠设计了一个电脑运算程序,已知$x , y$为两个不相等的有理数,则当输出的值$M = 24$时,所输入的$x , y$中较大的数为（
A.$48$
B.$24$
C.$12$
D.$6$
C
）A.$48$
B.$24$
C.$12$
D.$6$
答案
3. C 提示:当 $x＞y$ 时,根据题意,得 $M=x-y+x+y=2x=24$,所以 $x=12$;当 $x＜y$ 时,根据题意得 $M=y-x+x+y=2y=24$,所以 $y=12$. 故输入的$x,y$中较大的数为12.
解析
【分析】
我们先梳理这个运算程序的逻辑，题目明确x、y是不相等的有理数，因此不需要考虑x=y的情况，只需要按判断框的两个分支分类讨论：第一种是x＞y的情况，先按流程得到a的表达式，再代入M的公式化简；第二种是x＜y的情况，同样先得到a的表达式再代入M化简，结合M=24的条件，就能分别算出两种场景下的较大数，最终得到统一结果。
【解析】
已知x≠y，分两种情况计算：
1. 当x＞y时：
按流程可得a = x - y，将其代入M = a + x + y：
$$M = (x-y) + x + y = 2x$ 已知M=24，因此2x=24，解得x=12，此时x是两数中的较大数，为12。2. 当x＜y时： 按流程可得a = y - x，将其代入M = a + x + y： $$M = (y-x) + x + y = 2y$
已知M=24，因此2y=24，解得y=12，此时y是两数中的较大数，为12。
两种情况得到的两数中较大的数均为12。
【答案】
C
【知识点】
程序框图，代数式化简
【点评】
本题是非常基础的条件分支流程图题型，核心考察分类讨论的思路，代入化简后可以发现M恒等于两数中较大值的2倍，不需要额外复杂计算，适合初学者巩固对流程图逻辑的理解。
【难度系数】
0.8
我们先梳理这个运算程序的逻辑，题目明确x、y是不相等的有理数，因此不需要考虑x=y的情况，只需要按判断框的两个分支分类讨论：第一种是x＞y的情况，先按流程得到a的表达式，再代入M的公式化简；第二种是x＜y的情况，同样先得到a的表达式再代入M化简，结合M=24的条件，就能分别算出两种场景下的较大数，最终得到统一结果。
【解析】
已知x≠y，分两种情况计算：
1. 当x＞y时：
按流程可得a = x - y，将其代入M = a + x + y：
$$M = (x-y) + x + y = 2x$ 已知M=24，因此2x=24，解得x=12，此时x是两数中的较大数，为12。2. 当x＜y时： 按流程可得a = y - x，将其代入M = a + x + y： $$M = (y-x) + x + y = 2y$
已知M=24，因此2y=24，解得y=12，此时y是两数中的较大数，为12。
两种情况得到的两数中较大的数均为12。
【答案】
C
【知识点】
程序框图，代数式化简
【点评】
本题是非常基础的条件分支流程图题型，核心考察分类讨论的思路，代入化简后可以发现M恒等于两数中较大值的2倍，不需要额外复杂计算，适合初学者巩固对流程图逻辑的理解。
【难度系数】
0.8
4. 幻方历史悠久，传说最早出现在我国夏禹时代的《洛书》.如图是一个三阶幻方，它的规则如下：将幻方中的每一横行、每一竖列、每一条斜对角线(共2条)上的3个数分别相加，和都相等，则$x$的值为 （
A.2024
B.204
C.24
D.4
D
）A.2024
B.204
C.24
D.4
答案
4. D 提示:设第一行中间的数为$b$,第二行中间的数为$e$,第三行第1个数为$a$.根据三阶幻方的规则可知,$x+e+a=2\ 025+8-m+a$,即 $x+e=2\ 033-m$①,$b+e+m=2\ 025+b+x$,即 $x-e=m-2\ 025$②.①+②,得 $2x=8$,解得 $x=4$.
解析
【分析】
首先明确三阶幻方的核心规则：任意横行、竖列、对角线上的三个数之和都相等。本题已知数中包含参数m，不需要求出m以及所有空白位置的数值，我们可以给空白位置设辅助未知数，利用“和相等”的规则列出两个等式，再通过等式相加消去多余的参数m和辅助未知数，直接求解x，大幅简化计算过程，避免复杂推导。
【解析】
解：设第一行中间的数为$b$，第二行中间的数为$e$，第三行第1个数为$a$。
1. 根据三阶幻方规则，右上到左下的对角线三数$x、e、a$的和，与第一竖列三数$2025、8-m、a$的和相等，可得：
$x + e + a = 2025 + 8 - m + a$
两边同时消去$a$，整理得：
$x + e = 2033 - m \quad ①$
2. 同理，第一横行三数$2025、b、x$的和，与第二竖列三数$b、e、m$的和相等，可得：
$2025 + b + x = b + e + m$
两边同时消去$b$，整理得：
$x - e = m - 2025 \quad ②$
3. 将①和②两个等式左右两边分别相加：
$(x + e) + (x - e) = (2033 - m) + (m - 2025)$
化简后得：$2x = 8$，解得$x=4$。
【答案】
D
【知识点】
三阶幻方性质，等式消元法
【点评】
本题巧妙利用三阶幻方的和相等特性，不需要求解参数m和所有空白位置的数值，通过构造两个等式消去多余未知量即可直接得到x的值，重点考察学生对幻方规则的灵活运用，避免了硬算所有幻方元素的冗余步骤。
【难度系数】
0.6
首先明确三阶幻方的核心规则：任意横行、竖列、对角线上的三个数之和都相等。本题已知数中包含参数m，不需要求出m以及所有空白位置的数值，我们可以给空白位置设辅助未知数，利用“和相等”的规则列出两个等式，再通过等式相加消去多余的参数m和辅助未知数，直接求解x，大幅简化计算过程，避免复杂推导。
【解析】
解：设第一行中间的数为$b$，第二行中间的数为$e$，第三行第1个数为$a$。
1. 根据三阶幻方规则，右上到左下的对角线三数$x、e、a$的和，与第一竖列三数$2025、8-m、a$的和相等，可得：
$x + e + a = 2025 + 8 - m + a$
两边同时消去$a$，整理得：
$x + e = 2033 - m \quad ①$
2. 同理，第一横行三数$2025、b、x$的和，与第二竖列三数$b、e、m$的和相等，可得：
$2025 + b + x = b + e + m$
两边同时消去$b$，整理得：
$x - e = m - 2025 \quad ②$
3. 将①和②两个等式左右两边分别相加：
$(x + e) + (x - e) = (2033 - m) + (m - 2025)$
化简后得：$2x = 8$，解得$x=4$。
【答案】
D
【知识点】
三阶幻方性质，等式消元法
【点评】
本题巧妙利用三阶幻方的和相等特性，不需要求解参数m和所有空白位置的数值，通过构造两个等式消去多余未知量即可直接得到x的值，重点考察学生对幻方规则的灵活运用，避免了硬算所有幻方元素的冗余步骤。
【难度系数】
0.6
5. 长方形$ABCD$内放入两张边长分别为$a$和$b(a＞b)$的正方形纸片，按照图1放置，长方形纸片没有被两个正方形覆
盖的部分(阴影部分)的面积为$S_1$;按照图2放置,长方形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为$S_2$;按图3放置,长方形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为$S_3$.已知$S_1-S_3=4$,$S_2-S_3=16$,设$AD-AB=m$,则下列值确定的是（
A.$m$
B.$ma$
C.$mb$
D.$a+b$
盖的部分(阴影部分)的面积为$S_1$;按照图2放置,长方形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为$S_2$;按图3放置,长方形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为$S_3$.已知$S_1-S_3=4$,$S_2-S_3=16$,设$AD-AB=m$,则下列值确定的是（
C
）A.$m$
B.$ma$
C.$mb$
D.$a+b$
答案
5. C 提示:由$\begin{cases} S_1-S_3=4, \\ S_2-S_3=16, \end{cases}$得 $S_2-S_1=12$. 由题图1,得 $S_{长方形ABCD}=S_1+a^2+b(AD-a)$;由题图2,得 $S_{长方形ABCD}=S_2+a^2+b(AB-a)$. 所以 $S_1+a^2+b(AD-a)=S_2+a^2+b(AB-a)$,所以 $S_2-S_1=b(AD-AB)$. 又因为 $AD-AB=m$,所以 $mb=12$.
解析
【分析】
首先从已知的两个面积差条件入手，已知$S_1-S_3=4$，$S_2-S_3=16$，将两个等式相减可直接得到$S_2-S_1=12$，无需单独计算$S_1$、$S_2$、$S_3$的具体值。接下来利用“大长方形ABCD的总面积固定”这个核心等量关系，分别对图1和图2的放置方式，用正方形面积加阴影面积表示大长方形的总面积，两个总面积相等，化简后消去多余参数$a$，最终把$S_2-S_1$和$AD-AB=m$、边长$b$关联起来，就能得到确定的代数式的值。
【解析】
1. 推导$S_2$与$S_1$的差值
已知$\begin{cases} S_1-S_3=4 \\ S_2-S_3=16 \end{cases}$，用第二个等式减去第一个等式，可得：
$S_2 - S_1 = 16 - 4 = 12$
2. 利用总面积相等建立等式
长方形ABCD的总面积是固定值：
对图1：总面积 = 边长为$a$的正方形面积 + 小正方形覆盖部分面积 + 阴影面积$S_1$，小正方形沿$AD$方向放置，覆盖部分的面积为$b(AD-a)$，因此：
$S_{ABCD} = S_1 + a^2 + b(AD - a)$
对图2：同理，小正方形沿$AB$方向放置，覆盖部分的面积为$b(AB-a)$，因此：
$S_{ABCD} = S_2 + a^2 + b(AB - a)$
3. 联立等式化简
两个式子都等于$S_{ABCD}$，因此左右两边相等：
$S_1 + a^2 + b(AD - a) = S_2 + a^2 + b(AB - a)$
两边同时消去$a^2$和$-ab$，整理得：
$S_2 - S_1 = b(AD - AB)$
4. 代入已知条件
已知$AD - AB = m$，且$S_2 - S_1 =12$，代入得：
$mb = 12$，因此$mb$的值是确定值12。
【答案】
C
【知识点】
长方形面积计算，整式加减化简，整体代换思想
【点评】
本题不需要直接计算三个阴影面积的具体数值，巧妙利用大长方形总面积不变的特点建立等式，通过整体作差消去无关变量，避免了复杂的代数式展开计算，重点考察了代数式化简和整体代换的数学思维，是几何与代数结合的典型题型。
【难度系数】
0.4
首先从已知的两个面积差条件入手，已知$S_1-S_3=4$，$S_2-S_3=16$，将两个等式相减可直接得到$S_2-S_1=12$，无需单独计算$S_1$、$S_2$、$S_3$的具体值。接下来利用“大长方形ABCD的总面积固定”这个核心等量关系，分别对图1和图2的放置方式，用正方形面积加阴影面积表示大长方形的总面积，两个总面积相等，化简后消去多余参数$a$，最终把$S_2-S_1$和$AD-AB=m$、边长$b$关联起来，就能得到确定的代数式的值。
【解析】
1. 推导$S_2$与$S_1$的差值
已知$\begin{cases} S_1-S_3=4 \\ S_2-S_3=16 \end{cases}$，用第二个等式减去第一个等式，可得：
$S_2 - S_1 = 16 - 4 = 12$
2. 利用总面积相等建立等式
长方形ABCD的总面积是固定值：
对图1：总面积 = 边长为$a$的正方形面积 + 小正方形覆盖部分面积 + 阴影面积$S_1$，小正方形沿$AD$方向放置，覆盖部分的面积为$b(AD-a)$，因此：
$S_{ABCD} = S_1 + a^2 + b(AD - a)$
对图2：同理，小正方形沿$AB$方向放置，覆盖部分的面积为$b(AB-a)$，因此：
$S_{ABCD} = S_2 + a^2 + b(AB - a)$
3. 联立等式化简
两个式子都等于$S_{ABCD}$，因此左右两边相等：
$S_1 + a^2 + b(AD - a) = S_2 + a^2 + b(AB - a)$
两边同时消去$a^2$和$-ab$，整理得：
$S_2 - S_1 = b(AD - AB)$
4. 代入已知条件
已知$AD - AB = m$，且$S_2 - S_1 =12$，代入得：
$mb = 12$，因此$mb$的值是确定值12。
【答案】
C
【知识点】
长方形面积计算，整式加减化简，整体代换思想
【点评】
本题不需要直接计算三个阴影面积的具体数值，巧妙利用大长方形总面积不变的特点建立等式，通过整体作差消去无关变量，避免了复杂的代数式展开计算，重点考察了代数式化简和整体代换的数学思维，是几何与代数结合的典型题型。
【难度系数】
0.4
二、填空题
6. 已知 $(-2x+1)^{5}=a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+$$a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$ 是关于 $x$ 的恒等式 (即 $x$取任意值时等式都成立),则 $a_{1}+a_{2}+a_{3}+$$a_{4}+a_{5}=$
6. 已知 $(-2x+1)^{5}=a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+$$a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$ 是关于 $x$ 的恒等式 (即 $x$取任意值时等式都成立),则 $a_{1}+a_{2}+a_{3}+$$a_{4}+a_{5}=$
−2
.答案
6. −2 提示:当 $x=0$ 时,$a_0=1$;当 $x=1$ 时,$a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0=-1$. 所以 $a_5+a_4+a_3+a_2+a_1=-2$.
解析
【分析】
这是一道恒等式的系数求和问题，不需要直接展开左边的五次多项式逐个计算系数，使用赋值法就能快速求解：我们要求的$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$，等于所有系数的总和$a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$减去常数项$a_0$。先给x代入特殊值1，就能直接得到所有系数的总和，再给x代入特殊值0，就能直接算出常数项$a_0$，两者相减就可以得到目标结果，完全避免复杂的高次二项展开计算。
【解析】
1. 求常数项$a_0$
令$x=0$，代入恒等式$(-2x+1)^5=a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$：
左边计算得$(-2×0 +1)^5=1^5=1$，右边所有含x的项取值都为0，仅剩$a_0$，因此可得$a_0=1$。
2. 求全部系数的总和
令$x=1$，代入恒等式：
左边计算得$(-2×1 +1)^5=(-1)^5=-1$，右边变为$a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0$，因此可得$a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0=-1$。
3. 计算目标和
将$a_0=1$代入上式移项得：
$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=-1 - a_0=-1-1=-2$。
【答案】$-2$
【知识点】赋值法求系数和；恒等式性质
【点评】本题是二项式系数求和的基础题型，核心是利用恒等式对任意x都成立的特性，代入特殊值快速得到系数和，无需展开高次二项式。解题时要注意所求的和不包含常数项，不要直接把x=1代入得到的-1当成最终结果，避免漏减常数项出错。
【难度系数】0.7
这是一道恒等式的系数求和问题，不需要直接展开左边的五次多项式逐个计算系数，使用赋值法就能快速求解：我们要求的$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$，等于所有系数的总和$a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$减去常数项$a_0$。先给x代入特殊值1，就能直接得到所有系数的总和，再给x代入特殊值0，就能直接算出常数项$a_0$，两者相减就可以得到目标结果，完全避免复杂的高次二项展开计算。
【解析】
1. 求常数项$a_0$
令$x=0$，代入恒等式$(-2x+1)^5=a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$：
左边计算得$(-2×0 +1)^5=1^5=1$，右边所有含x的项取值都为0，仅剩$a_0$，因此可得$a_0=1$。
2. 求全部系数的总和
令$x=1$，代入恒等式：
左边计算得$(-2×1 +1)^5=(-1)^5=-1$，右边变为$a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0$，因此可得$a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0=-1$。
3. 计算目标和
将$a_0=1$代入上式移项得：
$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=-1 - a_0=-1-1=-2$。
【答案】$-2$
【知识点】赋值法求系数和；恒等式性质
【点评】本题是二项式系数求和的基础题型，核心是利用恒等式对任意x都成立的特性，代入特殊值快速得到系数和，无需展开高次二项式。解题时要注意所求的和不包含常数项，不要直接把x=1代入得到的-1当成最终结果，避免漏减常数项出错。
【难度系数】0.7
7. 定义:若$a+b=n$,则称$a$与$b$是关于数$n$的“平衡数”. 比如 3 与$-4$是关于$-1$的“平衡数”,5 与 12 是关于 17 的“平衡数”.现有$a=6x^{2}-8kx+12$与$b=-2(3x^{2}-$$2x+k)$($k$为常数)始终是数$n$的“平衡数”,则$n=$
11
.答案
7. 11 提示:因为 $a=6x^2-8kx+12$ 与 $b=-2(3x^2-2x+k)$($k$为常数)始终是数$n$的“平衡数”,所以 $a+b=6x^2-8kx+12-2(3x^2-2x+k)=6x^2-8kx+12-6x^2+4x-2k=(4-8k)x+12-2k=n$,所以 $4-8k=0$,解得 $k=\dfrac{1}{2}$,所以 $n=12-2×\dfrac{1}{2}=11$.
解析
【分析】
首先先读懂题目给出的“平衡数”定义，明确两个数是关于n的平衡数的核心条件是两数之和等于n。题目说明a和b“始终是数n的平衡数”，意味着a+b的结果是固定常数n，和字母x的取值没有关系。我们的解题思路是：第一步先把a和b代入a+b的式子，展开括号、合并同类项，化简得到关于x的一次式；第二步，因为结果不含x、是固定常数，所以x的一次项的系数必须等于0，据此先解出常数k的值；第三步把求出的k代入剩下的常数项部分，就能算出n的具体数值。
【解析】
解：根据“平衡数”的定义，可得$a+b=n$。
将a和b代入并化简：
$\begin{aligned}a+b&=6x^2 -8kx +12 -2(3x^2 -2x +k)\\&=6x^2 -8kx +12 -6x^2 +4x -2k\\&=(4-8k)x +12 -2k\end{aligned}$
因为a和b始终是数n的平衡数，说明a+b的结果是固定常数n，与x的取值无关，因此含x的项的系数必须为0：
即 $4-8k=0$，解得 $k=\frac{1}{2}$。
将$k=\frac{1}{2}$代入常数项部分，得：
$n=12 - 2×\frac{1}{2}=11$。
【答案】
11
【知识点】
新定义运算；整式的加减；代数式与变量无关
【点评】
本题属于新定义结合整式运算的基础拓展题，解题的核心突破口是正确理解“始终是数n的平衡数”的含义，即运算结果与x的取值无关，此时对应变量的系数必须为0，掌握这类“代数式与某变量无关”的处理方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.6
首先先读懂题目给出的“平衡数”定义，明确两个数是关于n的平衡数的核心条件是两数之和等于n。题目说明a和b“始终是数n的平衡数”，意味着a+b的结果是固定常数n，和字母x的取值没有关系。我们的解题思路是：第一步先把a和b代入a+b的式子，展开括号、合并同类项，化简得到关于x的一次式；第二步，因为结果不含x、是固定常数，所以x的一次项的系数必须等于0，据此先解出常数k的值；第三步把求出的k代入剩下的常数项部分，就能算出n的具体数值。
【解析】
解：根据“平衡数”的定义，可得$a+b=n$。
将a和b代入并化简：
$\begin{aligned}a+b&=6x^2 -8kx +12 -2(3x^2 -2x +k)\\&=6x^2 -8kx +12 -6x^2 +4x -2k\\&=(4-8k)x +12 -2k\end{aligned}$
因为a和b始终是数n的平衡数，说明a+b的结果是固定常数n，与x的取值无关，因此含x的项的系数必须为0：
即 $4-8k=0$，解得 $k=\frac{1}{2}$。
将$k=\frac{1}{2}$代入常数项部分，得：
$n=12 - 2×\frac{1}{2}=11$。
【答案】
11
【知识点】
新定义运算；整式的加减；代数式与变量无关
【点评】
本题属于新定义结合整式运算的基础拓展题，解题的核心突破口是正确理解“始终是数n的平衡数”的含义，即运算结果与x的取值无关，此时对应变量的系数必须为0，掌握这类“代数式与某变量无关”的处理方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.6
8. 同一数轴上点$A$,$C$分别表示数$a$,$c$,且$a$,
$c$满足等式$(16+a)^{2}+|c-12|=0$,点$B$表示的数是多项式$2x^{2}-4x+3$的二次项系数,点$A$,$B$,$C$在数轴上同时开始运动,点$A$向左运动,速度为每秒3个单位长度,点$B$,$C$均向右运动,速度分别为每秒3个单位长度和每秒4个单位长度,设运动时间为$t\ \mathrm{s}$.若存在$m$使得$2AB-m\boldsymbol{· }$$BC$的值不随时间$t$的变化而改变,则该定值为
$c$满足等式$(16+a)^{2}+|c-12|=0$,点$B$表示的数是多项式$2x^{2}-4x+3$的二次项系数,点$A$,$B$,$C$在数轴上同时开始运动,点$A$向左运动,速度为每秒3个单位长度,点$B$,$C$均向右运动,速度分别为每秒3个单位长度和每秒4个单位长度,设运动时间为$t\ \mathrm{s}$.若存在$m$使得$2AB-m\boldsymbol{· }$$BC$的值不随时间$t$的变化而改变,则该定值为
−84
.答案
8. −84 提示:因为 $(16+a)^2+|c-12|=0$,所以 $16+a=0$,$c-12=0$,所以 $a=-16$,$c=12$. 因为多项式 $2x^2-4x+3$ 的二次项系数为2,所以点$B$表示的数是2. 由题意可知,运动 $t$ s后,点$A$表示的数是 $-16-3t$,点$B$表示的数是 $2+3t$,点$C$表示的数是 $12+4t$. 所以 $AB=(2+3t)-(-16-3t)=18+6t$,$BC=(12+4t)-(2+3t)=10+t$,所以 $2AB-mBC=2(18+6t)-m(10+t)=36+12t-10m-mt=(12-m)t+36-10m$. 因为 $m$ 使得 $2AB-mBC$ 的值不随时间 $t$ 的变化而改变,所以 $12-m=0$,所以 $m=12$,此时 $2AB-mBC=36-10×12=36-120=-84$.
解析
【分析】
我们可以按照三步思路来解题：第一步，先利用非负数的性质，两个非负数相加和为0则两部分各自为0，求出点A、C初始对应的数，再根据多项式的定义找到二次项系数，得到点B初始对应的数；第二步，结合三个点的运动方向和速度，写出运动t秒后三个点在数轴上表示的数，再用数轴上右侧点的数减去左侧点的数，得到AB、BC关于t的表达式；第三步，把AB、BC代入2AB - mBC，整理成含t的项加常数项的形式，题目要求该式的值不随t变化，说明含t的项的系数必须为0，由此先求出m的值，再代入计算得到对应的定值即可。
【解析】
1. 求初始三点对应的数
因为平方和绝对值都具有非负性，即$(16+a)^2≥0$，$|c-12|≥0$，已知$(16+a)^2+|c-12|=0$，因此可得：
$16+a=0$，$c-12=0$，解得$a=-16$，$c=12$，即初始时点A表示-16，点C表示12。
多项式$2x^2-4x+3$的二次项系数为2，因此初始时点B表示的数是2。
2. 表示运动t秒后三点的数值
点A向左运动，速度为每秒3个单位长度，t秒后表示的数为：$-16-3t$；
点B向右运动，速度为每秒3个单位长度，t秒后表示的数为：$2+3t$；
点C向右运动，速度为每秒4个单位长度，t秒后表示的数为：$12+4t$。
3. 推导AB、BC的长度表达式
运动过程中B始终在A右侧，C始终在B右侧，因此：
$AB=(2+3t)-(-16-3t)=18+6t$
$BC=(12+4t)-(2+3t)=10+t$
4. 整理代数式求定值
将AB、BC代入$2AB-m· BC$得：
$\begin{aligned}2AB - mBC&=2(18+6t)-m(10+t)\\&=36+12t-10m-mt\\&=(12-m)t + 36-10m\end{aligned}$
要让该式的值不随t的变化而改变，则含t的项的系数必须为0，即$12-m=0$，解得$m=12$。
将$m=12$代入常数项，可得定值为$36-10×12=-84$。
【答案】
$-84$
【知识点】
非负数的性质；数轴动点问题；整式定值求值
【点评】
本题是数轴动点中的经典定值类题型，核心考点是理解“代数式的值不随变量t变化”的等价条件：变量t的系数为0。解题过程中先通过非负性、多项式定义求出初始点的数值，再结合运动规律表示出t秒后各点对应的数，进而推导出线段长度的表达式，整理代数式后即可求解，需要学生熟练掌握数轴上两点距离的计算方法。
【难度系数】
0.4
我们可以按照三步思路来解题：第一步，先利用非负数的性质，两个非负数相加和为0则两部分各自为0，求出点A、C初始对应的数，再根据多项式的定义找到二次项系数，得到点B初始对应的数；第二步，结合三个点的运动方向和速度，写出运动t秒后三个点在数轴上表示的数，再用数轴上右侧点的数减去左侧点的数，得到AB、BC关于t的表达式；第三步，把AB、BC代入2AB - mBC，整理成含t的项加常数项的形式，题目要求该式的值不随t变化，说明含t的项的系数必须为0，由此先求出m的值，再代入计算得到对应的定值即可。
【解析】
1. 求初始三点对应的数
因为平方和绝对值都具有非负性，即$(16+a)^2≥0$，$|c-12|≥0$，已知$(16+a)^2+|c-12|=0$，因此可得：
$16+a=0$，$c-12=0$，解得$a=-16$，$c=12$，即初始时点A表示-16，点C表示12。
多项式$2x^2-4x+3$的二次项系数为2，因此初始时点B表示的数是2。
2. 表示运动t秒后三点的数值
点A向左运动，速度为每秒3个单位长度，t秒后表示的数为：$-16-3t$；
点B向右运动，速度为每秒3个单位长度，t秒后表示的数为：$2+3t$；
点C向右运动，速度为每秒4个单位长度，t秒后表示的数为：$12+4t$。
3. 推导AB、BC的长度表达式
运动过程中B始终在A右侧，C始终在B右侧，因此：
$AB=(2+3t)-(-16-3t)=18+6t$
$BC=(12+4t)-(2+3t)=10+t$
4. 整理代数式求定值
将AB、BC代入$2AB-m· BC$得：
$\begin{aligned}2AB - mBC&=2(18+6t)-m(10+t)\\&=36+12t-10m-mt\\&=(12-m)t + 36-10m\end{aligned}$
要让该式的值不随t的变化而改变，则含t的项的系数必须为0，即$12-m=0$，解得$m=12$。
将$m=12$代入常数项，可得定值为$36-10×12=-84$。
【答案】
$-84$
【知识点】
非负数的性质；数轴动点问题；整式定值求值
【点评】
本题是数轴动点中的经典定值类题型，核心考点是理解“代数式的值不随变量t变化”的等价条件：变量t的系数为0。解题过程中先通过非负性、多项式定义求出初始点的数值，再结合运动规律表示出t秒后各点对应的数，进而推导出线段长度的表达式，整理代数式后即可求解，需要学生熟练掌握数轴上两点距离的计算方法。
【难度系数】
0.4
9. (扬州市高邮市期末)若一列数 $a_1,a_2,a_3,$ $a_4,···$ 中的任意三个相邻数之和都是 40，且 $a_3=3m,a_{20}=16,a_{99}=12-m$，则 $a_{{2026}}=$
15
。答案
9. 15 提示:由题意,可得 $a_1+a_2+a_3=a_2+a_3+a_4=40$,$a_2+a_3+a_4=a_3+a_4+a_5=40$,$a_3+a_4+a_5=a_4+a_5+a_6=40$,所以 $a_1=a_4$,$a_2=a_5$,$a_3=a_6$. 以此类推,可得 $a_1=a_{3n-2}$,$a_2=a_{3n-1}$,$a_3=a_{3n}$($n$为正整数). 又因为 $a_3=3m$,$a_{99}=12-m$,$99=3×33$,所以 $a_3=a_{99}$,即 $3m=12-m$,解得 $m=3$,所以 $a_3=9$. 又因为 $20=3×7-1$,所以 $a_{20}=a_2=16$. 所以 $a_1=40-16-9=15$. 又因为 $2026=3×676-2$,所以 $a_{2026}=a_1=15$.
解析
【分析】
我们拿到这道题，首先抓住核心条件“任意三个相邻数之和都是40”，第一步先推导数列的规律：把前后两组相邻的三个数的和划等号，消去公共的两个数，就能得到间隔3位的数相等，也就是数列是周期为3的循环数列。接下来我们就可以把下标很大的项，比如a₂₀、a₉₉、a₂₀₂₆，通过除以3的余数，对应到周期里的a₁、a₂、a₃这三个基础项。首先先利用a₃和a₉₉的对应关系列方程求出m的值，得到a₃的具体数值，再把a₂₀对应到周期里的a₂得到a₂的值，最后用三数和为40算出a₁，再把2026转化为周期对应的下标，就能求出a₂₀₂₆的结果了。
【解析】
解：
1. 推导数列周期：
由题意，任意三个相邻数之和为40，因此：
$a_1+a_2+a_3 = a_2+a_3+a_4 = 40$，消去$a_2,a_3$可得$a_1=a_4$；
同理$a_2+a_3+a_4 = a_3+a_4+a_5 = 40$，消去$a_3,a_4$可得$a_2=a_5$；
$a_3+a_4+a_5 = a_4+a_5+a_6 = 40$，消去$a_4,a_5$可得$a_3=a_6$；
以此类推，可得数列周期为3，满足：
$a_1=a_{3n-2}$，$a_2=a_{3n-1}$，$a_3=a_{3n}$（n为正整数）。
2. 求解m的值：
因为$99=3×33$，属于$a_{3n}$的形式，因此$a_{99}=a_3$，代入已知条件：
$3m = 12 - m$
移项得$4m=12$，解得$m=3$，因此$a_3=3×3=9$。
3. 求$a_2$的值：
因为$20=3×7 -1$，属于$a_{3n-1}$的形式，因此$a_{20}=a_2=16$。
4. 求$a_1$的值：
由三个相邻数之和为40，得$a_1=40 - a_2 - a_3 = 40 -16 -9 =15$。
5. 求$a_{2026}$的值：
因为$2026=3×676 -2$，属于$a_{3n-2}$的形式，因此$a_{2026}=a_1=15$。
【答案】15
【知识点】数列周期规律；一元一次方程求解；有理数加减运算
【点评】本题核心是从给定的相邻数和的条件中归纳出数列周期为3的规律，无需枚举所有大下标的项，通过周期性将大下标转化为前3项的对应值，大幅简化计算，能够有效锻炼学生的归纳推理和规律迁移应用能力。
【难度系数】0.6
我们拿到这道题，首先抓住核心条件“任意三个相邻数之和都是40”，第一步先推导数列的规律：把前后两组相邻的三个数的和划等号，消去公共的两个数，就能得到间隔3位的数相等，也就是数列是周期为3的循环数列。接下来我们就可以把下标很大的项，比如a₂₀、a₉₉、a₂₀₂₆，通过除以3的余数，对应到周期里的a₁、a₂、a₃这三个基础项。首先先利用a₃和a₉₉的对应关系列方程求出m的值，得到a₃的具体数值，再把a₂₀对应到周期里的a₂得到a₂的值，最后用三数和为40算出a₁，再把2026转化为周期对应的下标，就能求出a₂₀₂₆的结果了。
【解析】
解：
1. 推导数列周期：
由题意，任意三个相邻数之和为40，因此：
$a_1+a_2+a_3 = a_2+a_3+a_4 = 40$，消去$a_2,a_3$可得$a_1=a_4$；
同理$a_2+a_3+a_4 = a_3+a_4+a_5 = 40$，消去$a_3,a_4$可得$a_2=a_5$；
$a_3+a_4+a_5 = a_4+a_5+a_6 = 40$，消去$a_4,a_5$可得$a_3=a_6$；
以此类推，可得数列周期为3，满足：
$a_1=a_{3n-2}$，$a_2=a_{3n-1}$，$a_3=a_{3n}$（n为正整数）。
2. 求解m的值：
因为$99=3×33$，属于$a_{3n}$的形式，因此$a_{99}=a_3$，代入已知条件：
$3m = 12 - m$
移项得$4m=12$，解得$m=3$，因此$a_3=3×3=9$。
3. 求$a_2$的值：
因为$20=3×7 -1$，属于$a_{3n-1}$的形式，因此$a_{20}=a_2=16$。
4. 求$a_1$的值：
由三个相邻数之和为40，得$a_1=40 - a_2 - a_3 = 40 -16 -9 =15$。
5. 求$a_{2026}$的值：
因为$2026=3×676 -2$，属于$a_{3n-2}$的形式，因此$a_{2026}=a_1=15$。
【答案】15
【知识点】数列周期规律；一元一次方程求解；有理数加减运算
【点评】本题核心是从给定的相邻数和的条件中归纳出数列周期为3的规律，无需枚举所有大下标的项，通过周期性将大下标转化为前3项的对应值，大幅简化计算，能够有效锻炼学生的归纳推理和规律迁移应用能力。
【难度系数】0.6
