9. 已知$△ ABC$和$△ ACD$都是等边三角形，用它们拼成一个四边形$ABCD$.把一个含$60°$角的三角板与这个四边形叠合，使三角板的$60°$角的顶点与点$A$重合，两边分别与$AB$，$AC$重合.将该三角板绕点$A$按逆时针方向旋转.
（1）当三角板的两边分别与四边形$ABCD$的两边$BC$，$CD$相交于$E$，$F$两点时（如图①），通过观察或测量$BE$，$CF$的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；
（2）当三角板的两边分别与四边形$ABCD$的两边$BC$，$CD$的延长线相交于$E$，$F$两点时（如图②），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由.

解：​$(1)BE = CF，$​证明如下：∵​$\triangle ABC $​和​$ \triangle ACD $​都是等边三角形∴​$AB = AC，$​​$∠B=∠BAC=∠ACF = 60°$​​$ $​又​$ ∠EAF = 60°$​∴​$∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC = 60°$​∴​$∠BAE=∠CAF$​​$ $​在​$ \triangle BAE $​和​$ \triangle CAF $​中​$\begin {cases}∠BAE=∠CAF\\AB = AC\\∠B=∠ACF\end {cases}$​∴​$\triangle BAE≌\triangle CAF(AS A)$​∴​$BE = CF$​​$ (2)(1)$​中得到的结论成立，即​$ BE = CF，$​理由如下：∵​$\triangle ABC $​和​$ \triangle ACD $​都是等边三角形∴​$AB = AC，$​​$∠B=∠BAC=∠ACF = 60°$​​$ $​又​$ ∠EAF = 60°$​∴​$∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE，$​即​$ ∠BAE=∠CAF$​​$ $​在​$ \triangle BAE $​和​$ \triangle CAF $​中​$\begin {cases}∠B=∠ACF\\AB = AC\\∠BAE=∠CAF\end {cases}$​∴​$\triangle BAE≌\triangle CAF(AS A)$​∴​$BE = CF，$​即​$(1)$​中得到的结论成立

10. *（1）如图①，在$△ ABC$中，$AB = AC$，$∠ BAC = 45°$，$CD ⊥ AB$，$AE ⊥ BC$，垂足分别为$D,E$，$CD$与$AE$相交于点$F$．
① 写出图①中所有的全等三角形：$\underline{\hspace{5cm}}$，
② 线段$AF$与线段$CE$之间的数量关系是$\underline{\hspace{5cm}}$；
（2）如图②，在$△ ABC$中，$AB = BC$，$∠ BAC = ∠ BCA = 45°$，$AD$平分$∠ BAC$，$AD ⊥ CD$，垂足为$D$，$AD$与$BC$相交于点$E$．求证：$AE = 2CD$；
（3）如图③，在$△ ABC$中，$AB = BC$，$∠ BAC = ∠ BCA = 45°$，点$D$在$AC$上，$∠ EDC = \frac{1}{2}∠ BAC$，$DE ⊥ CE$，垂足为$E$，$DE$与$BC$相交于点$F$．试探究$DF$与$CE$之间的数量关系（要求：请你写出辅助线的作法，并在图③中画出辅助线，不需要证明）．

​$\triangle ABE\cong \triangle ACE，$​​$\triangle ADF\cong \triangle CDB$​ ; $AF = 2CE$ ;
;
; 证明：​$(2)$​延长​$ AB，$​​$CD $​相交于点​$ G$​∵​$AD $​平分​$ ∠BAC，$​∴​$∠CAD=∠G AD$​∵​$AD\perp CD，$​∴​$∠ADC=∠ADG = 90°$​​$ $​在​$ \triangle ADC $​和​$ \triangle ADG $​中​$\begin {cases}∠ADC=∠ADG \\AD = AD \\∠CAD=∠G AD\end {cases}$​∴​$\triangle ADC≌\triangle ADG(AS A)$​∴​$CD = G D，$​即​$ CG = 2CD$​∵​$∠BAC=∠BCA = 45°，$​​$∠ABC+∠BAC+∠BCA = 180°$​∴​$∠ABC = 180°-∠BAC-∠BCA = 90°$​∴​$∠CBG = 180°-∠ABC = 90°$​∴​$∠G+∠BCG = 90°$​​$ $​又​$ ∠G+∠BAE = 90°，$​∴​$∠BAE=∠BCG$​​$ $​在​$ \triangle ABE $​和​$ \triangle CBG $​中​$\begin {cases}∠ABE=∠CBG = 90°\\AB = CB \\∠BAE=∠BCG\end {cases}$​∴​$\triangle ABE≌\triangle CBG(AS A)$​∴​$AE = CG，$​即​$ AE = 2CD$​​$ (3)$​如图，过点​$ D $​作​$ DH\perp BC，$​交​$ CE $​的延长线于点​$ H($​画法不唯一​$)$​​$DF $​与​$ CE $​之间的数量关系为​$ DF = 2CE$​